人教版七年级数学下册第八章教案.docx

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人教版七年级数学下册第八章教案

8.1二元一次方程组

教学目标：

1．认识二元一次方程和二元一次方程组.

2．了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会求二元一次方程的整数解.

教学重点：

理解二元一次方程组的解的意义.

教学难点：

求二元一次方程的正整数解.

教学过程：

篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？

思考：

这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？

设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？

由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件：

胜的场数＋负的场数＝总场数，

胜场积分＋负场积分＝总积分.

这两个条件可以用方程

x＋y＝22

　　　　　　　2x＋y＝40

表示.

上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数（x和y），并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.

把两个方程合在一起，写成

x＋y＝22

　　　　　　　2x＋y＝40

像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.

探究：

满足方程①，且符合问题的实际意义的x、y的值有哪些？

把它们填入表中.

x

y

上表中哪对x、y的值还满足方程②

一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.

二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

例1　

（1）方程（a＋2）x+（b-1）y=3是二元一次方程，试求a、b的取值范围.

（2）方程x∣a∣–1+（a-2）y=2是二元一次方程，试求a的值.

例2　　若方程x2m–1+5y3n–2=7是二元一次方程.求m、n的值

例3　　已知下列三对值：

　　　　　　　x＝－6　　　　　　x＝10　　　　　　　　x＝10

　　　　　　　y＝－9　　　　　　y＝－6　　　　　　　y＝－1

（1）

x－y＝6　

2x＋31y＝－11

哪几对数值使方程

x－y＝6的左、右两边的值相等？

（2）哪几对数值是方程组　　　　　　　　　　的解？

例4　　求二元一次方程3x＋2y＝19的正整数解.

课堂练习：

教科书第102页练习

习题8.1　　1、2题

8.2消元

（一）

教学目标：

1．会用代入法解二元一次方程组.2．初步体会解二元一次方程组的基本思想――“消元”.3．通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神.

重点：

用代入消元法解二元一次方程组.

难点：

探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程.

教学过程：

一、复习提问：

篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部20场比赛中得到38分，那么这个队胜负场数分别是多少？

解：

设这个队胜x场，根据题意得　　

解得　　x＝18

　　　则　20－x＝2

答：

这个队胜18场，负2场.

二、新课：

在上述问题中，我们可以设出两个未知数，列出二元一次方程组，

设胜的场数是x，负的场数是y，　　　　　　　x＋y＝20

　　　　　　　2x＋y＝38

那么怎样求解二元一次方程组呢？

上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？

可以发现，二元一次方程组中第1个方程x＋y＝20说明y＝20－x，将第2个方程2x＋y＝38的y换为20－x，这个方程就化为一元一次方程

.

二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想.

三、归纳：

上面的解法，是由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.

例1　把下列方程写成用含x的式子表示y的形式：

（1）2x－y＝3　　　　

（2）3x＋y－1＝0

例2　用代入法解方程组　　　　　　　　　　x－y＝3　　　　　①

　　　　　　　3x－8y＝14　　　　②

例3　根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量比（按瓶计算）为2:

5.某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？

四、小结：

用代入消元法解二元一次方程组的步骤：

（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.

（2）把

（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）把所求得的一个未知数的值代入

（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.

五、课堂练习：

教科书第107页2、3、4题

六、作业：

教科书第111页第1题　　　第112页第2题

8．2　消元

（二）（第一课时）

一、知识与技能目标

1.用代入法、加减法解二元一次方程组.毛2.了解解二元一次方程组时的“消元思想”,“化未知为已知”的化归思想.3.会用二元一次方程组解决实际问题.4.在列方程组的建模过程中,强化方程的模型思想,培养学生列方程解决实际问题的意识和能力.5.将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体,进一步提高解方程组的技能.

二、过程与方法目标

1.通过探索二元一次方程组的解法的过程,了解二元一次方程组的“消元”思想,培养学生良好的探索习惯.2.通过对具体实际问题分解,组织学生自主交流、探索,去发现列方程建模的过程,培养学生用数学的意识.

三、情感态度与价值观目标

1.在学生了解二元一次方程组的“消元”思想，从而初步理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想中，享受学习数学的乐趣，增强学习数学的信息。

2.培养学生合作交流，自主探索的良好习惯。

3.体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，培养应用数学的意识。

4.在用方程组解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣。

教学过程：

一、创设情境，导入新课

甲、乙、丙三位同学是好朋友，平时互相帮助。

甲借给乙10元钱，乙借给丙8元钱，丙又给甲12元钱，如果允许转帐，最后甲、乙、丙三同学最终谁欠谁的钱，欠多少？

二、师生互动，课堂探究

（一）提高问题，引发讨论

①②

我们知道，对于方程组

可以用代入消元法求解。

这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？

利用这种关系你能发现新的消元方法吗？

（二）导入知识，解释疑难

1.问题的解决

①②

上面的两个方程中未知数y的系数相同，②－①可消去未知数y，得（2x+y）-（x+y）=40-22即x=18,把x=18代入①得y=4。

另外，由①－②也能消去未知数y，得（x+y）-（2x+y）=22-40即-x=-18,x=18,把x=18代入①得y=4.

2.想一想：

联系上面的解法，想一想应怎样解方程组

分析：

这两个方程中未知数y的系数互为相反数，因此由①＋②可消去未知数y，从而求出未知数x的值。

解：

由①＋②得19x=11.6x=

把x=

代入①得y=-

∴这个方程组的解为

3.加减消元法的概念

从上面两个方程组的解法可以发现，把两个二元一次方程的两边分别进行相加减，就可以消去一个未知数，得到一个一元一次方程。

两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

①②

4.例题讲解

用加减法解方程组

分析：

这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同，直接加减两个方程不能消元，试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。

解：

①×3,得9x+12y=48③

②×2,得10x-12y=66④

③＋④,得19x=114x=6

把x=6代入①，得3×6+4y=164y=-2,y=-

所以，这个方程组的解是

议一议：

本题如果用加减法消去x应如何解？

解得结果与上面一样吗？

解：

①×5，得15x+20y=80③

②×3,得15x-18=99④

③-④,得38y=-19y=-

把y=-

代入①，得3x+4×（-

）=163x=18x=6

所以，这个方程组的解为

如果求出y=-

后，把y=

代入②也可以求出未知数x的值。

5.做一做

①②

解方程组

点评:

当方程组比较复杂时,应先化简,并整理成标准形式.本题还可以把2x+3y和2x-3y当成两个整体,用换元法,设2x+3y=A,2x-3y=B,转化为以A、B为未知数的二元一次方程组.

6.想一想

（1）加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么?

（2）用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些?

师生共析:

（1）用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.

（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤:

第一步:

在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数.

第二步:

如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数（选最小公倍数较小的一组系数）,求出它们的最小公倍数（如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数）,然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等（都等于原系数的最小公倍数）,再加减消元.

第三步:

对于较复杂的二元一次方程组,应先化简（去分母,去括号,合并同类项等）,通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,常数项在方程的右边的形式,再作如上加减消元的考虑.

（三）归纳总结,知识回顾

本节课,我们主要是学习了二元一次方程组的另一解法──加减法.通过把方程组中的两个方程进行相加或相减,消去一个未知数,化“二元”为“一元”.

8．2　消元

（二）（第二课时）

一、创设情境,导入新课

七年级（3）班在上体育课时,进行投篮比赛,体育老师做好记录,并统计了在规定时间内投进n个球的人数分布情况,体育委员在看统计表时,不慎将墨水沾到表格上（如下表）.

进球数n

0

1

2

3

4

5

投进球的人数

1

2

7

●

●

2

同时,已知进球3个和3个以上的人平均每人投进3.5个球;进球4个和4个以下的人平均每人投进2.5个球,你能把表格中投进3个球和投进4个球对应的人数补上吗?

二、师生互动,课堂探究

（一）指出问题,引发讨论

你能不能用二元一次方程组,帮助体育委员把表格中的两个数字补上呢?

（经过学生思考、讨论、交流）

（二）导入知识,解释疑难

1.例题讲解（见P109）

分析:

如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷,那么2台大收割机和5台小收割机1小时收割小麦______公顷,3台大收割机和2台小收割机1小时收割小麦_______公顷.

解:

设1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦x公顷和y公顷.根据两种工作方式中的相等关系,得方程组

①②

去括号,得

②-①,得11x=4.4

解这个方程,得x=0.4

把x=0.4代入①,得y=0.2

这个方程组的解是

答:

1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦0.4公顷和0.2公顷.

2.上面解方程组的过程可以用下面的框图表示:

3.做一做

为了保护环境,某校环保小组成员收集废电池,第一天收集1号电池4节,5号电池5节,总重量为460克,第二天收集1号电池2节,5号电池3节,总重量为240克,试问1号电池和5号电池每节分别重多少克?

分析:

如果1号电池和5号电池每节分别重x克,y克,则4克1号电池和5节5号电池总重量为4x+5y克,2节1号电池和3节5号电池总重量为2x+3y克.

解:

设1号电池每节重x克,5号电池每节重y克,根据题意可得

①②

②×2-①,得y=20

把y=20代入②,得2x+3×20=240,x=90

所以这个方程组的解为

答:

1号电池每节重90克,5号电池每节重20克.

4.练一练:

P111练习第2、３题.

（三）归纳总结,知识回顾

这节课我们经历和体验了列方程组解决实际问题的过程,体会到方程组是刻画现实世界的有效模型,从而更进一步提高了我们应用数学的意识及解方程组的技能.

作业：

1.王大伯承包了25亩土地,今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜,用去了

44000元,其中种茄子每亩用了1700元,获纯利2400元,种西红柿每亩用了1800元,获纯利2600元,问王大伯一共获纯利多少元?

再探实际问题与二元一次方程组教学设计

教学设计思想

本节主要内容是用二元一次方程组解决实际问题。

例题分析与讲解时根据学生的实际情况，为学生构造恰当的探索、研究、交流的空间，老师不能代替学生思维，而是引导学生学会“逐步抽象”，将实际情景中的数量关系抽象出来，使学生分析问题和解决问题的能力通过这一具体化的途径得以提高，加深对数学模型的认识。

最后通过反馈练习，检查学生掌握知识的情况，以便有针对性地进行差漏补缺。

教学目标

知识与技能

会根据具体问题中的数量关系，经过自主探索、互相交流，列出二元一次方程组并求解，养成对所得结果进行检验的意识；

能熟练地列二元一次方程组解决简单的实际问题；

通过将实际问题中的数量关系转化为二元一次方程组，体会数学化的过程，提高用数学分析和解决问题的能力。

过程与方法

经历探索、研究、交流的过程，将实际情景中的数量关系抽象出来。

情感态度价值观

通过实际问题，感受二元一次方程组的广泛应用，加深对数学模型的认识，增强数学的应用意识。

重点难点

重点：

根据简单应用题的题意列出二元一次方程组。

难点：

将实际情景中的数量关系抽取出来，并用二元一次方程组表示。

解决办法：

通过反复读题、审题，分析出题目中存在的两个相等关系是列方程组的关键。

教具准备

多媒体，或投影仪、自制胶片。

课时安排

1课时

前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组。

本节我们继续探究如何用二元一次方程组解决实际问题。

同学们可以先独立分析问题中的数量关系，列出方程组，得出问题的解答，然后再互相交流。

（一）探究1

养牛场原有30只母牛和15只小牛，l天约需用饲料675kg；一周后又购进12只母牛和5只小牛，这时1天约需用饲料940kg。

饲养员李大叔估计平均每只母牛1天约需饲料18～20kg，每只小牛1天约需饲料7～8kg。

你能否通过计算检验他的估计?

分析：

设平均每只母牛和每只小牛1天各约需饲料xkg和ykg。

根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，列方程组

（1）

解这个方程组，得

（2）

这就是说，平均每只母牛1天约需饲料_______kg，每只小牛1天约需饲料_______kg。

饲养员李大叔对母牛的食量估计_______，对小牛的食量估计________。

（3）

答案

（1）

（2）

（3）20，5。

较准确，偏高。

（二）探究2

据以往的统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：

1.5，现要在一块长200m，宽100m的长方形土地上种植这两种作物，怎样把这块地分为两个长方形，使甲、乙两种作物的总产量的比是3：

4（结果取整数）?

问题中要达到的结果是“甲、乙两种作物的总产量的比是3：

4”，而为达到这一点就需要适当确定两个长方形。

本题具有开放性，即它的答案不唯一。

分析：

如图8.3—l，一种种植方案为：

甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE。

设AE＝xm，BE＝ym，根据问题中涉及长度、产量的数量关系，列方程组

（1）

解这个方程组，得

（2）

过长方形土地的长边上离一端约_______处，把这块地分为两个长方形。

较大一块地种_______种作物，较小一块地种_______种作物。

（3）

答案

（1）

（2）

（3）106m，甲种，乙种。

注：

还有其他方案，例如画出与这块土地的长平行的一条线，将这块土地分割为两个长方形。

这条直线的具体确定方法，可以通过列方程组产生。

（三）探究3

图中黑白相间的线表示铁路，其他线表示公路。

如图8.3—2，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连。

这家工厂从A地购买一批每吨l000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地。

公路运价为1.5元／（吨·千米），铁路运价为1.2元／（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元。

这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元?

问题中的一些已知条件是用图及其标注数据给出的。

分析：

销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关。

设产品重x吨，原料重y吨。

根据题中数量关系填写下表。

产品x吨

原料y吨

合计

公路运费（元）

铁路运费（元）

价值（元）

（1）

题目所求数值是______，为此需先解出______与______。

（2）

由上表，列方程组

（3）

解这个方程组，得

（4）

因此，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多_______元。

（5）

答案

（1）

产品x吨

原料y吨

合计

公路运费（元）

1.5×20x

1.5×10y

1.5×（20x＋10y）

铁路运费（元）

1.2×110x

1.2×120y

1.2×（110x＋120y）

价值（元）

8000x

1000y

（2）产品销售款－（原料费+运输费）

产品重（x），原料重（y）。

（3）

（4）

（5）1887800

从以上探究可以看出，方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具。

列出方程组要根据问题中的数量关系，解出方程组的解后，应进一步考虑它是否符合问题的实际意义。

（四）小结引导学生总结本节的知识点，解题思路。

（五）板书设计