人教版第十三章《轴对称》教案最新版Word格式.docx

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能说明理由吗？

结论：

直线l垂直线段AA′，BB′，直线l平分线段AA′，BB′（或直线l是线段AA′，BB′的垂直平分线）．

轴对称图形的性质：

轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

三、巩固提高：

教科书60页练习1、2

四、课堂小结：

（1）本节课学习了哪些主要内容？

（2）轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系是什么？

（3）成轴对称的两个图形有什么性质？

轴对称图形有什么性质？

我们是怎么探究这些性质的？

五、课后作业：

教科书习题13.1第1、2、3、4、5题

课后反思：

13.1轴对称

（2）

1．理解线段垂直平分线的性质和判定．

2．能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题．

3．会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线，了解作图的道理．

线段垂直平分线的性质．

探索并证明线段垂直平分线的性质

如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l上的点，请猜想点P1，P2，P3，…到点A与点B的距离之间的数量关系．

你能用不同的方法验证这一结论吗？

请在图中的直线l上任取一点，那么这一点与线段AB两个端点的距离相等吗？

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．

证明：

“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．”

已知：

如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上．

求证：

PA=PB．

用符号语言表示为：

∵CA=CB，l⊥AB，

∴PA=PB

线段垂直平分线的性质：

反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？

点P在线段AB的垂直平分线上．

如图，PA=PB．

点P在线段AB的垂直平分线上．

用数学符号表示为：

∵　PA=PB，

∴　点P在AB的垂直平分线上．

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

你能再找一些到线段AB两端点的距离相等的点吗？

能找到多少个到线段AB两端点距离相等的点？

这些点能组成什么几何图形？

在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B的距离都相等；

反过来，与A，B的距离相等的点都在直线l上，所以直线l可以看成与两点A、B的距离相等的所有点的集合．

如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线的垂线？

教科书62页练习1、2.

（1）本节课学习了哪些内容？

（2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？

两者之间有什么关系？

（3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？

教科书习题13.1第6、9题

13.1轴对称（3）

1．能用尺规作线段的垂直平分线．

2．进一步了解作图的一般步骤和作图语言，了解作图的依据．

3．运用尺规作图的方法解决简单的作图问题．

教学重点：

作线段的垂直平分线．

教学难点：

有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？

不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？

作线段的垂直平分线

我们已能用尺规完成：

（1）作一条线段等于已知线段；

（2）作一个角等于已知角；

（3）作一个角的平分线；

（4）经过已知直线外一点作这条直线的垂线．

那么利用尺规还能解决什么作图问题呢？

例1　如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？

怎样作线段AB的垂直平分线呢？

作法：

如图．

（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的为半径作弧，两弧相交于C，D两点；

（2）作直线CD．

CD就是所求作的直线．

这种作法的依据是什么？

这种作图方法还有哪些作用？

确定线段的中点．

如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对称轴？

如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．

如图中的五角星，请作出它的一条对称轴.　

你能作出这个五角星的其他对称轴吗？

它共有几条对称轴？

教科书64页练习1、2、3

（2）作线段的垂直平分线的依据是什么？

举例说明这种作法有哪些运用？

（3）如何用尺规作轴对称图形的对称轴？

教科书习题13.1第10、12题．

13.2画轴对称图形

（1）

1．理解图形轴对称变换的性质．

2．能按要求画出一个平面图形关于某直线对称的图形．

画轴对称图形．

在一张半透明纸张的左边部分，画出左脚印，如何由此得到相应的右脚印？

请动手在一张纸上画一个你喜欢的图形，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么？

由一个平面图形得到与它关于一条直线对称的图形．一个平面图形和与它成轴对称的另一个图形之间有什么关系？

由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；

新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；

连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．

如果有一个图形和一条直线，如何作出这个图形关于这条直线对称的图形呢？

例1如图，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线l对称的图形．

画法：

（1）如图，过点A画直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA′=OA，点A′就是点A关于直线l的对称点；

（2）同理，分别画点B，C关于直线l的对称点B′，C′；

（3）连接A′B′，B′C′，C′A′，得到的△A′B′C′即为所求．

如何验证画出的图形与△ABC关于直线l对称？

已知一个几何图形和一条直线，说一说画一个与该图形关于这条直线对称的图形的一般方法．几何图形都可以看作由点组成．

对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．

教科书68页练习1、2

（2）一个平面图形和与它成轴对称的另一个图形之间有什么关系？

（3）画轴对称图形的一般方法是什么？

依据是什么？

教科书习题13.2第1题．

13.2画轴对称图形

（2）

1．理解在平面直角坐标系中，已知点关于x轴或y轴对称的点的坐标的变化规律．

2．掌握在平面直角坐标系中作出一个图形的轴对称图形的方法．

在平面直角坐标系中关于x轴或y轴对称的点的变化规律和作出与一个图形关于x轴或y轴对称的图形．

如图，如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，对应于东直门的坐标，你能找到西直门的位置，说出西直门的坐标吗？

探究并归纳已知点关于坐标轴对称的点的坐标变化规律

对于平面直角坐标系中任意一点，你能找出其关于x轴或y轴对称的点的坐标吗？

它们之间有什么规律？

在平面直角坐标系中，画出下列已知点及其关于x轴对称的点，把它们的坐标填入表格中．

观察下图中关于x轴对称的每对对称点的坐标有怎样的变化规律？

关于x轴对称的每对对称点的横坐标相等，纵坐标互为相反数．

观察关于y轴对称的每对对称点的坐标有怎样的变化规律？

关于y轴对称的每对对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．

请你再找几个点，分别画出它们的对称点，检验一下你发现的规律．

点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（___，____）；

点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（___，____）．

例如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（-5，1），B（-2，1），C（-2，5），D（-5，4），分别画出与四边形ABCD关于x轴和y轴对称的图形．

归纳画一个图形关于x轴或y轴对称的图形的方法和步骤.

先求出已知图形中一些特殊点（多边形的顶点）的对称点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到这个图形的轴对称图形．

步骤简述为：

（1）求特殊点的坐标；

（2）描点；

（3）连线．

教科书70页练习1、2、3

（2）在平面直角坐标系中，已知点关于x轴或y轴的对称点的坐标有什么变化规律，如何判断两个点是否关于x轴或y轴对称？

（3）说一说画一个图形关于x轴或y轴对称的图形的方法和步骤．

教科书习题13.2第2、4、5题．

13.3等腰三角形

（1）

1．探索并证明等腰三角形的两个性质．

2．能利用性质证明两个角相等或两条线段相等．

3．结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用．

探索并证明等腰三角形性质．

如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？

仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片，你能发现这个等腰三角形有什么特征吗？

同学们剪下的等腰三角形纸片大小不同，形状各异，是否都具有上述所概括的特征？

在练习本上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，折一折，上面得出的结论仍然成立吗？

由此你能概括出等腰三角形的性质吗？

等腰三角形的特征:

（1）等腰三角形的两个底角相等；

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．

利用实验操作的方法，我们发现并概括出等腰三角形的性质1和性质2．对于性质1，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？

（1）你能根据结论画出图形，写出已知、求证吗？

（2）结合所画的图形，你认为证明两个底角相等的思路是什么？

（3）如何在一个等腰三角形中构造出两个全等三角形呢？

从剪图、折纸的过程中你能获得什么启发？

如图，△ABC中，AB=AC．求证：

∠B=∠C．

你还有其他方法证明性质1吗？

可以作底边的高线或顶角的角平分线.

性质2可以分解为三个命题，本节课证明“等腰三角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线”．

在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中，“折痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用，由此，你能发现等腰三角形具有什么特征？

等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴．

教科书77页练习1、2

（2）我们是怎么探究等腰三角形的性质的？

（3）本节课你学到了哪些证明线段相等或角相等的方法？

教科书习题13.3第1、2、4、6题．

13.3等腰三角形

（2）

1．探索等腰三角形判定定理．

2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．

3．了解等腰三角形的尺规作图.

理解和运用等腰三角形的判定定理

问题　等腰三角形性质定理的内容是什么？

这个命题的题设和结论分别是什么？

性质定理的条件是：

一个三角形中有两条边相等．

这两条边所对的角相等．

思考　性质定理证明方法是什么？

作顶角的平分线或底边上的高或底边的中线，将一个三角形的问题转化为两个全等三角形来证明两个角相等．

问题　一个三角形满足什么条件是等腰三角形？

思考1　如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边有什么关系？

这两个角所对的边相等．　

思考2　这个命题的题设和结论又分别是什么呢？

如何证明这个命题？

题设：

一个三角形有两个角相等．

这两个角所对的边相等．

问题　类比等腰三角形性质定理的证明方法，你能选择一种来证明这个命题吗？

如图，在△ABC中，∠B=∠C.求证：

AB=AC．

你还有其他证明方法吗？

思考　能作底边BC上的中线吗？

等腰三角形的判定方法：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．

符号语言：

∵　在△ABC中，∠B=∠C，

∴　AB=AC．

思考　与等腰三角形性质进行比较看有什么区别？

例1　求证：

如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.

∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．

AB=AC.

例2　已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形.

（1）作线段AB=a；

（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D；

（3）在MN上取一点C，使DC=h；

（4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形.

教科书79页练习1、2、3、4

（2）等腰三角形的判定方法有哪几种？

（3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判定的区别和联系．

教科书习题13.3第2、5题．

13.3等腰三角形（3）

1．探索等边三角形的性质和判定．

2．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．

探索等边三角形的性质与判定．

问题　满足什么条件的三角形是等边三角形？

三条边都相等的三角形是等边三角形．

请分别画出一个等腰三角形和等边三角形，结合你画的图形说出它们有什么区别和联系？

联系：

等边三角形是特殊的等腰三角形；

区别：

等边三角形有三条相等的边，而等腰三角形只有两条.

问题　等腰三角形有哪些特殊的性质呢？

从边的角度：

两腰相等；

从角的角度：

等边对等角；

从对称性的角度：

轴对称图形、三线合一．

思考　将等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？

结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应的结论吗？

图形

边

角

轴对称图形

等腰三角形

两边相等

（定义）

两底角相等

（等边对等角）

是（三线合一）

一条对称轴

等边三角形

三边相等

对“等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°

”这一结论进行证明.

△ABC是等边三角形求证：

∠A=∠B=∠C=60°

．

∵　△ABC是等边三角形，

∴　BC=AC，BC=AB．

∴　∠A=∠B，∠A=∠C．

∴　∠A=∠B=∠C．

∵　∠A+∠B+∠C=180°

，

∴　∠A=60°

∴　∠A=∠B=∠C=60°

等边三角形的性质：

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°

.

∵　△ABC是等边三角形，

∴　∠A=∠B=∠C=60°

思考　利用所学知识判断，等边三角形是轴对称图形吗？

若是轴对称图形，请画出它的对称轴.

问题　等边三角形除了用定义（即用边）来判定以外，能否利用角来判定呢？

思考1　一个三角形的三个内角满足什么条件是等边三角形？

思考2　一个等腰三角形满足什么条件是等边三角形？

三个角都相等的三角形或者一个角为60°

的等腰三角形．

请你将得到的这两个命题进行证明.

等边三角形的判定定理1：

三个角都相等的三角形是等边三角形．

在△ABC中，

∵　∠A=∠B=∠C，

∴　△ABC是等边三角形．

等边三角形的判定定理2：

有一个角为60°

的等腰三角形是等边三角形．

在△ABC中，

∵　BC=AC，∠A=60°

，

判定等边三角形的方法：

等边三角形的定义；

等边三角形的两条判定定理．

三个角都相等的三角形是等边三角形．

的等腰三角形．

例1　如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC,分别交AB，AC于点D，E．求证：

△ADE是等边三角形.

教科书80页练习1、2

（1）本节课学习了等边三角形的性质和判定；

（2）等边三角形与等腰三角形相比有哪些特殊的性质？

共有几种判定等边三角形的方法？

（3）结合本节课的学习，谈谈研究三角形的方法．

教科书习题13.3第12、14题．

13.3等腰三角形（4）

1．探索含30°

角的直角三角形的性质．

2．理解含30°

角的直角三角形的性质，并会应用它进行有关的证明和计算．

探索并理解含30°

角的直角三角形的性质.

问题　已知△ABC中，∠A=60°

（ 

）.请你在括号内补充一个条件，使△ABC能成为等边三角形.

思考1　等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？

思考2　这个特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之处，它有什么特殊性质？

活动　用两个全等的含30°

角的直角三角尺，你能拼出怎样的三角形？

能拼出等边三角形吗？

请说说你的理由．

问题　你能借助这个图形，找到含30°

角的直角△ABC的直角边BC与斜边AB之间有什么数量关系吗？

猜想　在直角三角形中，如果一个锐角等于30°

，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

问题　请说一说你猜想的命题中，条件和结论分别是什么？

并结合图形，用符号语言表述出来.

思考　这个命题是真命题吗？

请进行证明．

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°

，∠A=30°

.求证：

BC=AB．

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°

∵　在Rt△ABC中，

　　∠C=90°

∴　BC=AB．　

　例　如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°

，立柱BC、DE要多长？

教科书81页练习

（2）在应用含30°

角的直角三角形的性质时，能解决哪些问题？

需要注意哪些问题？

教科书习题13.3第15题．