单摆的简单描述文档格式.docx

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单摆

英文名称：

simplependulum

定义：

用一根绝对挠性且长度不变、质量可忽略不计的线悬挂一个质点，在重力作用下在铅垂平面内作周期运动，就成为单摆。

单摆在摆角小于5°

（现在一般认为是小于10°

）的条件下振动时，可近似认为是简谐1运动。

单摆运动的周期公式：

T=2π√（L/g）.其中L指摆长，g是当地重力加速度。

在有些振动系统中l不一定是绳长，g也不一定为9.8m/s^2，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题．

物理上有些问题与单摆类似，经过一些等效可以套用单摆的周期公式，这类问题称为“等效单摆”．等效单摆在生活中比较常见．除等效单摆外，单摆模型在其他问题中也有应用．　质点振动系统的一种，是最简单的摆。

绕一个悬点来回摆动的物体，都称为摆，但其周期一般和物体的形状、大小及密度的分布有关。

但若把尺寸很小的质块悬于一端固定的长度为l且不能伸长的细绳上，把质块拉离平衡位置，使细绳和过悬点铅垂线所成角度小于10°

，放手后质块往复振动，可视为质点的振动，其周期T只和l和当地的重力加速度g有关，即而和质块的质量、形状和振幅的大小都无关系，其运动状态可用简谐振动公式表示，称为单摆或数学摆。

如果振动的角度大于10°

，则振动的周期将随振幅的增加而变大，就不成为单摆了。

如摆球的尺寸相当大，绳的质量不能忽略，就成为复摆（物理摆），周期就和摆球的尺寸有关了。

单摆的公式推导

①单摆的平衡位置

当摆球静止在O点时，摆球受到重力G和悬线的拉力Ｆ＇作用，这两个力是平衡的。

O点就是单摆的平衡位置。

②单摆的摆动

演示：

用力将摆球拉离平衡位置，使悬线与竖直方向成一角度，然后释放。

分析：

摆球被拉到位置A＇时，摆球受到重力G，绳的拉力Ｆ＇，且G与拉力Ｆ＇不再平衡，所以摆球在这两个力的共同作用下，将沿以O为中点的一段圆弧做往复运动。

结论：

摆球沿着以平衡位置O为中点的一段圆弧做往复运动，这就是单摆的振动。

（用CAI课件模拟摆球所做的运动）

2、单摆做简谐运动

（1）单摆的回复力

摆球受到的重力G和悬线拉力F＇，在单摆振动时，一方面要使单摆振动，另一方面还要提供摆球沿圆弧的运动的向心力。

在研究摆球沿圆弧的运动情况时，可以不考虑与摆球运动方向垂直的力，而只考虑沿摆球运动方向的力，如图所示。

因为Ｆ＇垂直于v，所以，我们可将重力G分解到速度v的方向及垂直于v的方向。

且G1=Gsinθ=mgsinθ，G2=Gcosθ=mgcosθ。

重力G沿圆弧切线方向的分力G1=mgsinθ是沿摆球运动方向的力，正是这个力提供了使摆球振动的回复力，也可以说成是摆球沿运动方向的合力提供了摆球摆动的回复力。

F=G1=mgsinθ

（2）单摆做简谐运动的推证

在偏角很小时，sinθ≈θ

又回复力Ｆ=mgsinθ 

所以单摆的回复力为 

Ｆ=-mg（

）

（其中x表示摆球偏离平衡位置的位移，L表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反）

对确定的单摆，m、g、L都有确定的数值，可以用一个常数表示，上式可以写成

F=-Cx

可见：

在偏角很小的情况下，单摆所受的回复力与偏离平衡位置的位移成正比而方向相反，单摆做简谐运动。

M=-m*g*l*Sinx.

　　其中m为质量，g是重力加速度，l是摆长，x是摆角。

　　我们希望得到摆角x的关于时间的函数，来描述单摆运动。

由力矩与角加速度的关系不难得到，

　　M=J*β。

　　其中J=m*l^2是单摆的转动惯量，β=x'

'

（摆角关于时间的2阶导数）是角加速度。

　　于是化简得到

　　x'

*l=-g*Sinx.

　　我们对上式适当地选择比例系数，就可以把常数l与g约去，再移项就得到化简了的运动方程

+Sinx=0.

　　因为单摆的运动方程（微分方程）是

+Sinx=0…………

（1）

　　而标准的简谐振动（如弹簧振子）则是

x'

+x=0………………

（2）

　　我们知道

（1）式是一个非线性微分方程，而

（2）式是一个线性微分方程。

所以严格地说上面的

（1）式描述的单摆的运动并不是简谐运动。

　　不过，在x比较小时，近似地有Sinx≈x。

（这里取的是弧度制。

即当x->

0时有Sinx/x=o

（1）。

）因而此时

（1）式就变为

（2）式，单摆的非线性的运动被线性地近似为简谐运动。

　　然后说一下为什么是10°

。

由于Sinx≈x这个近似公式只在角度比较小的时候成立（这一个可以从正弦函数的在原点附近的图象近似看出），所以只有在小角度下

（1）式化作

（2）式才是合理的。

　　事实上5°

≈0.087266弧度，Sin5°

≈0.087155，二者相差只有千分之一点几，是十分接近的。

在低精度的实验中，这种系统误差可以忽略不计（因为实验操作中的偶然误差就比它大）。

但如果换成25°

，误差高达百分之三，就不宜再看成是简谐振动了。

　　由于正弦函数的性质，这个近似是角度越小，越精确，角度越大越不精确。

如果角度很大（比如60度处，误差高达17%），就完全不能说它是简谐振动了。

单摆的周期

单摆做简谐运动的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关。

　单摆是一种理想的物理模型，它由理想化的摆球和摆线组成．摆线由质量不计、不可伸缩的细线提供；

摆球密度较大，而且球的半径比摆线的长度小得多，这样才可以将摆球看做质点，由摆线和摆球构成单摆．在满足偏角<

10°

的条件下，单摆的周期t=2π根号下（l/g）

．从公式中可看出，单摆周期与振幅和摆球质量无关．从受力角度分析，单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大，回复力越大，加速度（gsin）越大，在相等时间内走过的弧长也越大，所以周期与振幅、质量无关，只与摆长l和重力加速度g有关．

设摆线与垂直线的夹角为θ,在正下方处时θ=0,逆时针方向为正，反之为负。

则摆的角速度为θ’（角度θ对时间t的一次导数）,角加速度为θ’’（角度θ对时间t的二次导数）。

对摆进行力学分析，

由牛顿第二运动定律，有

（m）*（l）*θ’’=-mg*sinθ

即θ’’+（g/l）*sinθ=0

令ω=（g/l）1/2,有

θ’’+（ω2）*sinθ=0

当θ很小时，sinθ 

≈ 

θ 

（这就是考虑单摆运动时通常强调“微”摆的原因）

这时，有

θ’’+（ω^2）*θ 

≈0

该方程的解为

θ=A*sin（ωt+φ）

这是个正弦函数，其周期为

T=2π/ω=2π*√（l/g）

单摆的用途

Theisochronismofthependulumsuggestedapracticalapplicationforuseasametronometoaidmusicalstudents,andpossiblyforuseinaclock.

（1）利用单摆的等时性计时

单摆振动的周期与振幅的大小无关，这一特点叫做单摆振动的等时性。

惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，摆的周期可以通过改变摆长来调节，计时很方便。

（2）测定当地的重力加速度

单摆的周期和摆长容易用实验准确地测定出来，所以利用单摆能准确地测定各地的重力加速度。

（3）摆的等时建议作为一个节拍器，以帮助音乐的学生为使用的实际应用，并可能在时钟使用。

实验部分

重力加速度

地球上各地区重力加速度g的大小，与该地区的地理纬度和海拔高度有关，其数值略有差异。

近两极的g值最大，赤道附近的g值最小，两者相差大约1/300。

重力加速度的测量是一件古老而有趣的事，虽然它是一个早已解决的问题，但是，通过自己动手做实验，你可以学到很多方法和技能，还可以对各种方法得到的测量结果进行分析比较，找出各种方法的优缺点，锻炼自己的实验能力，广泛的获取实验知识。

实验目的测量拉萨当地不同地区的重力加速度

仪器用具单摆实验装置，秒表，米尺，游标卡尺

实验原理小角度的单摆满足周期T=2π根号下（l/g），即g=4lπ^2/T^2

实验内容与要求

（1）、调单摆使立柱竖直。

（2）、米尺测摆线长l和游标卡尺测小球的直径D.（3）用渐进法测量摆动一次的时间，周期。

（4）、计算g,写出g

研究单摆周期T与摆长L的关系

（1）、调整摆线的长度L，使摆长L等于50.00cm；

测量小球摆动30个周期所用的时间t.

（2）、改变摆长L等于60.00、70.00、80.00、90.00、100.00、110.00、120.00、130.00时，重复上述测量步骤。

（3）、在坐标纸上绘制T^2-L曲线，求出直线的斜率K=T^2/L;

由K=4π^2/g，求出重力加速度g。

实验地点：

西藏大学理学院实验室。

摆长L（cm）

60.00

70.00

80.00

90.00

100.00

110.00

周期T30（S）

T^2

（1）、作图法：

根据表1的数据，作T^2-L直线，在直线上取两点A和B，求直线的斜率K=

，g=

注意事项

正弦图像

我们知道简谐运动的图象是正弦（或余弦曲线），那么在摆角很小的情况下，既然单摆做的是简谐运动，它振动的图象也是正弦或余弦曲线。

仪器介绍：

硬纸板，注射器，墨水，单摆实验装置。

实验：

用装有墨水的注射器，演示振动图象。

（用实物投影仪投影）

现象：

注射器漏出的墨水洒到匀速拉动的硬纸板上形成的图线是正弦或余弦曲线。

总结：

从实际得到的图象中均可看出，在摆角很小的情况下，单摆振动的图象符合简谐运动的要求，单摆做简谐运动。

单摆的设计性实验

实验目的：

学会用相图法探究单摆的运动行为。

改变摆线和摆球，考查阻力对单摆运动行为的影响。

实验原理：

单摆的线性振动是一种近似，实际上，单摆在振动过程中，既受到阻力又与摆角有关，在小阻尼条件下，可认为单摆所受到的阻尼力与摆的速度成正比，因此，在单摆的运动方程中加进了阻尼力项后，其动力学方程为：

式中，第二项就是单摆受到的阻尼力，γ为阻尼系数，在小阻尼条件下，γ可视为常数，取β=γ/2m,β为无量级阻尼系数，由上式，得

，

上式为一非线性方程。

物体运动的分线性行为比较复杂，下面我们讨论上式的几种特殊情况，介绍描述运行行为的相图法。

1、小角度无阻尼单摆运行的相轨图

无阻尼情况下，γ=0（β=0）。

正弦函数用级数展开为

在小角度情况下，忽略上式的高次项，有sin