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涉及到哪八个概念呢？
“约数”、一个“自然数”的约数是“有限的”，最小的是1，最大的是它本身。
“倍数”、一个自然数的倍数是“无限的”，最小的是它本身，最大的没有。
还有“相等”，等等，举例这些错误的出现，说明学生对数学概念没有掌握好。
数学概念是“双基”（即基础知识和基本技能）教学的核心内容；
是基础知识的起点；
是逻辑推理的依据；
是正确、合理、迅速运算的保证。
学生正确、清晰、完整地掌握数学概念，是掌握数学知识的基础。
如果学生对概念不明确，就无法听懂教师的讲解，无法学好新知识。
自然，也会影响学生的学习兴趣和学习效果。
如果不懂什么是“分数”和“分数单位”，就很难理解分数四则运算法则的算理，就会直接影响分数四则计算能力的提高。
正确、迅速、合理、灵活的计算能力只有在概念清楚的基础上，掌握计算法则，经过反复练习才能形成。
学生概念清楚了，解答应用题的思路才能清楚；
才能进行分析推理；
逻辑思维能力和解题能力才能不断提高。
因此，在教学中如何使学生形成概念，正确地掌握和运用概念是极为重要的。
笔者认为，数学教学过程，就是“概念的教学”。
一个好的数学教师，要把概念教学放到突出地位。
小学数学教材中那些名词述语的释义，比较抽象，对小学生来说，由于年龄小，知识不多，生活经验不足，抽象思维能力差，理解起来有一定的困难。
例如乘法概念的建立，被乘数与乘数的区分等。
由一年级开始接触直到六年级毕业前夕仍有错误发生。
因此教师在有关概念的教学过程中，一定要从小学生的年龄实际出发，这样才会收到好的教学效果。
二、教学中怎样讲清楚数学概念
（一）引进概念
1.直观形象地引入概念
数学概念比较抽象，而小学生，特别是低年级小学生，由于年龄、知识和生活的局限，其思维处在具体形象思维为主的阶段。
认识一个事物、理解一个数学道理，主要是凭借事物的具体形象。
如教师忽视小学生这个特点，而单纯抽象地进行概念教学，那么教学效果一定不会好，因此，教师在数学概念教学的过程中，一定要做到细心、耐心，尽量从学生日常生活中所熟悉的事物开始引入。
这样，学生学起来就有兴趣，思考的积极性就会高。
在教长方体表面积这一概念时，为了使学生既避免把体积与表面积弄混，又看到面与体的联系，我不仅做了一个长方体的教具，还给长方体做了一个外套包在外面，通过教具的演示，使学生清楚地看到表面积和体积是两件事。
防止了概念的混淆。
我在外套的上、下，左、右，前、后六面涂上三种不同的颜色，这样就启发了学生求长方体表面积的规律：
两个红面：
长×
宽×
2
两个白面：
高×
两个蓝面：
六个面的面积相加，再运用乘法分配律在形象直观的启迪下，在步步运用概念的过程中，逐步简便，加深理解。
在长方体外套的背面，沿着长、宽、高的数据，我还画出了正方形方格，算出表面积后，再用背面的方格印证他们计算的结果正确与否。
这节课由于使用了直观教具，学生观察得清楚、明白，对表面积的概念和计算方法，理解得清晰，掌握得牢固，教学效果很好。
又如在教平均数应用题时，我利用铅笔做教具，重温“平均分”的概念。
拿12支铅笔分给两个同学，一个给5支，一个给7支，分后问学生：
“这样叫平均分吗？
”答“不叫”。
于是我把5支和7支合起来重新分，每人1支、2支、3支……直到分完。
结果每人分得同样多6支。
这样学生再次亲眼看到平均分的过程，从而进一步理解了“平均分”这一概念的实际含义。
然后我又用9个同样大的小木块摆出三堆，第一堆1块，第二堆2块，第三堆6块，问：
“每堆一样多吗？
哪堆多？
哪堆少？
”学生都能正确回答。
这时，我又把这三堆木块混到一起，重新平均分三份，每份都是3块，告诉学生“3”这个新得到的数，是这三堆木块的“平均数”。
我再演示一遍，要求学生仔细看，用心想：
“平均数”是怎样得到的。
学生看我把原来的三堆合并起来，变成一堆，再把这堆木块分做3份，每堆先分一块，再每堆分一块，这样分完，每堆正好3块。
这个演示过程，既揭示了“平均数”的概念，又有意识地渗透“总数量÷
总份数=平均数”的计算方法。
然后，又把木块按原来的样子1块，2块、6块地摆好，让学生观察，平均数“3”与原来的数比较大小。
学生说，平均数3比原来大的数小，比原来小的数大，是一个折中数，又有个学生说：
“从6块里拿出三块，其中的2块，放到原来的1块那一堆上，另外一块，放在原来2块那一堆上，就都是3块了。
”我肯定了他的意见，进一步明确，“求平均数”的过程，就是“移多补少，总数不变”。
这样，学生就形象地理解了“求平均数”这一概念的本质特征。
2.运用旧知识引出新概念
数学中的有些概念，往往难以直观表述。
如比例尺、循环小数等，但它们与旧知识都有内在联系。
我就充分运用旧知识来引出新概念。
在备课时要分析这个新概念有哪些旧知识与它有内在的联系。
利用学生已掌握的旧知识讲授新概念，学生是容易接受的。
苏霍姆林斯基说：
“教给学生能借助已有的知识去获取知识，这是最高的教学技巧之所在。
”我们都知道：
课堂教学最活跃最积极的时候，就是在已会的知识基础上启发诱导学习新知识之时。
从心理学来分析，无恐惧心理，学生容易活跃；
无畏难情绪，易于启发思维；
旧知识记忆好，容易受鼓舞；
所以运用旧知识引出新概念教学效果好。
我讲分数乘以整数的意义时，就从整数乘以整数引进，边扳书、边提问：
以下这些算式是什么意思？
12×
4
150×
2100×
1.5×
0.8×
在学生观察分析的基础上，我指出分数乘以整数的意义和整数乘法的意义相同，是求几个相同加数的和的简便运算，只不过相同的加数不是整数而是分数罢了。
这样从已知到未知，把整数乘法的意义迁移到分数乘以整数乘法的意义上的同时，巩固发展，深化了学生已学过的知识。
又如：
我教求一个数是另一个数的百分之几时，一上课我扳书课题：
“求一个数是另一个数的几倍”。
随后指着板书和学生谈话。
求一个数是另一个数的几倍用什么方法解答？
答：
用除法解答。
为什么用除法解答？
另一个数是一倍数，看一个数里面有几个另一个数，就是有几个1倍数，所以就是一个数是另一个数的几倍。
所以用除法解答。
如果在求一个数是另一个数的几倍，得不到一整倍时怎么说呢？
就说一个数是另一个数的几分之几？
（教师把原扳书“几倍”擦掉，改写为几分之几）
一个数是另一个数的几倍或几分之几，如果用百分数表示，怎样说呢？
那就是求一个数是另一个数的百分之几。
教师又把扳书“几分之几”擦掉，用红粉笔改为“百分之几”。
教师：
今天我们学的是（指扳书）求一个数是另一个数的百分之几。
一个数是另一个数的百分之几，其实还是比较两个数的倍数关系。
说法变了、本质没变，是由一个数是另一个数的几倍发展来的，仍用除法解答。
必须看准哪个数和哪个数比较，问题的顺序就是除法算式的次序，再指扳书课题，第一个数是被除数，“是”字相当除号，第二个数是除数。
只不过求的结果要用百分数表示。
这样很快很自然就引进了新概念。
以旧带新，也就是由已知到未知，这是教学中经常用到的方法。
除上面所举的由旧概念引出新概念以外，有时也用计算引出新概念。
如通过小数除法的计算引出“循环小数”的概念。
从求出几个数各自的“倍数”从而引出“公倍数”、“最小公倍”等概念。
总之，把已有的知识作为学习新知识的基础，以旧带新，再化新为旧，如此循环往复，既促使学生明确了概念，又掌握了新旧概念间的联系。
3.通过实践认识事物本质、形成概念
常言说，实践出真知，手是脑的老师。
学生通过演示学具，可以理解一些难以讲解的概念。
如一年级小学生初学数的大小比较。
是用小鸡小鸭学具，一一对比。
如一只小鸡对一只小鸭，第二只小鸡对第二只小鸭，……直到第六只小鸡没有小鸭对比了，就叫小鸡比小鸭多1只。
又如二年级小学生学习“同样多”这个概念也是用学具红花和黄花，学生先摆5朵红花、再摆和红花一般多的5朵黄花，这样就把“同样多”这个数学概念，通过演示（手），思维（脑），形成概念，符合实践、认识，再实践、再认识的规律。
这比老师演示、学生看，老师讲解、学生听效果好，印象深、记忆牢。
小学几何初步知识教学，也往往是由学生独立操作学具，或集体研究演示学具得到许多认识，形成概念的。
我讲长方形的面积的计算时，事先我让他们准备许多一平方厘米的小方片，装在塑料袋里，用白纸画一个长5厘米、宽3厘米的长方形和一个边长4厘米的正方形。
课上复习了什么叫作面积，什么叫作一平方米、一平方厘米等，以及常用的面积单位有哪些后，首先让学生用数方格的方法算书上长方形面积，然后用目测比较长、正方形面积的大小。
学生交头接耳，课堂一阵活跃，有的说长方形面积大、有的说正方形面积大，还有的沉默在渴望知道谁大谁小的情绪中。
我要求同学先用一平方厘米方片测量，再小组讨论，讨论好选代表到幻灯机前演示。
学生立即投入到求“面积”这一新知识的探讨中。
我行间巡视，各组讨论得非常热烈积极，在测量长方形面积时有的顺长摆5个一平方厘米，继而摆3排，也有的竖着每排摆3个一平方厘米，一共摆5排，算出面积是15个1平方厘米，又讨论怎么算出来，最后让一位同学代表演示，列式为（平方厘米）。
不少的小组表示意见一致，这时我提出质疑，长和宽是两个长度，怎么一乘就是面积多少的数呢？
学生默默地想，仔细地分析，最后老师点拨了一下说：
“计算面积前，已知道用面积单位，这个长方形长、宽都是厘米，所以就得用1平方厘米来测量计算，并用红粉笔板书出“1平方厘米”，然后重复学生的讲解，因为长5厘米，所以第一排就是1平方厘米×
5，又因宽3厘米，所以就是3排，是3个5平方厘米，接续扳书成：
1平方厘米×
5×
3=15平方厘米，宽是多少就再乘几。
所以求长方形面积就是同学所讨论的结论：
用长的数乘以宽的数，就是面积多少的数。
板书长方形面积=长×
宽。
这样，概念的引出比老师演示学生看，老师讲解学生听，理解深刻、印象牢固。
长方形周长和面积也不易混淆，这样不仅可以激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性帮助学生更好地掌握基础知识和基本规律，而且还可以提高他们观察、思维、以及独立解决问题的能力。
（二）讲清概念的本质特征
1.从具体到抽象，揭示概念的本质
在教学中既要注意适应学生以形象思维为主的特点，也要注意培养他们的抽象思维能力。
在概念教学中，要善于为学生创造条件，引导他们通过观察、思考、探求概念的含义，沿着由感性认识到理性认识的认知过程去掌握概念。
这样，可以培养学生的逻辑思维能力。
如圆周率这个概念比较抽象。
我在上课的前一天，布置每个学生用硬纸板做一个圆，半径自定，第二天带一把尺子。
如果所做圆的直径是公制的，就带米尺，是市制的就带市尺。
上课时，我让每个同学在课堂练习本上写出三项内容：
①写出自己做的圆的直径；
②滚动自己的圆（老师先示范说明），量出圆周的长度，写在练习本上；
③计算出圆的周长是直径的几倍。
全班做完后，我要求每个学生汇报自己的计算结果。
教师把结果一个一个地板书，然后引导学生分析：
甲圆：
直径1寸，周长3.1寸，周长是直径的3.1倍。
乙圆：
直径1寸，周长3.2寸，周长是直径的3.2倍。
丙圆：
直径1分米，周长3.1分米，周长是直径的3.1倍。
丁圆：
直径2厘米，周长6.3厘米，周长是直径的3.15倍。
圆的周长与它的直径有什么关系呢？
学生通过观察、思考，分析，很快就发现不管圆的大小如何，每个圆的周长都是直径的3倍多一点。
教师指出：
“这个倍数是个固定的数，数学上叫做“圆周率”。
这样，引导学生把大量感性材料，加以分析综合，抽象概括抛弃事物非本质东西（如圆的大小，纸板的颜色，测量用的单位等）抓住事物的本质特征（不论圆的大小，周长总是直径的3倍多一点）。
形成了概念。
2.用“变式”引导学生理解概念的本质
在学生初步掌握了概念之后，我经常变换概念的叙述方法，让学生从各个侧面来理解概念。
概念的表述方式可以是多种多样的。
如质数，可以说是“一个自然数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数。
”有时也说成“仅仅能被1和它本身整除的数叫做质数”。
学生对各种不同的叙述都能理解，就说明他们对概念的理解是透彻的，是灵活的，不是死背硬记的。
有时变概念的非本质特征，让学生来辨析，加深他们对本质特征的理解。
如我教梯形时，在按教材讲了梯形认识后，再揭示图27，问它是不是梯形？
当学生回答后，我再让他们指出这个梯形的上底、下底和高。
接着出示图28，要求和前一样。
最后出示图29，要求学生说出图中有无梯形？
并分别指出这些梯形的高，上底和下底。
有的学生认出a是梯形，有的认出b是梯形，还有的认出a+b是个大梯形。
这样改变一下形式，就能了解到他们对梯形的认识，以及对它的底和高是否确实理解和掌握了。
3.要避虚求实，透彻理解概念的本质
学生掌握概念的过程中还存在“虚”和“浮”的现象，所谓虚指的是虚假，不实实在在地理解，“浮”即浮于表面认识，不能自觉深入去探讨其本质因素。
例如求比一个数多几的数，学生常常说成求一个数比一个数多几，这显然是两个完全不同的概念，前者是求一个比已知数多上几的新数，用加法求。
后者是已知两个数求它们相差多少，用减法求。
这说明学生对这两个概念含混不清。
又如小数基本性质是“小数末尾添上零或去掉零、小数大小不变”，而不是小数点末尾，这显然也是完全不同的两个概念。
再比如一米多长，一平方分米多大，学生比划不出长短、大小，这都说明对概念的理解模模糊糊似是而非，不肯定，不透彻，这都说明学生对概念的本质特征，未能很好地理解与掌握。
我教乘法分配定律时，当师生总结出“（a+b）×
c=a×
c+b×
c”这一规律后，我马下板书“c×
（a+b）”并问学生：
“可以使用乘法分配定律计算吗？
为什么？
”学生回答：
“可以，因为乘法算式中两个因数可以相互交换，积不变。
”我又问：
“a×
c，可以使用乘法分配律计算吗？
“可以把算式中的c提出来，就是a×
c=（a+b）×
c，这实际上把乘法分配律反过来使用。
”有的学生还能举例说明：
10+5×
30=5×
（10+30）就是说10个5，加上30个5，等于40个5。
这样，学生对乘法分配律的理解，不是停留在表面上，而是比较深刻了。
4.对近似的概念加以对比辨析
在小学数学中，有些概念的含义接近，但本质属性有区别。
除法中等分概念与包含概念、整除与除尽、数位与位数、体积与容积，减少与减少到等等相对应概念，存在许多共同点与内在联系。
对这类概念，学生常常容易混淆，必须把它们加以比较，避免互相干扰。
比较，主要是找出它们的相同点和不同点，这就要对进行比较的两个概念加以分析，看各有哪些本质特点。
然后把它们的共同点和不同点分别找出来，使学生既看到进行比较对象的内在联系，又看到它们的区别。
这样，学的概念就会更加明确。
我教了整除这个概念后，就让学生比较“整除”与“除尽”的异同。
我先让同学看下面的算式：
1）8÷
2=4
（2）48÷
8=6
（3）30÷
7=4……2（4）8÷
5=1.6
（5）6÷
0.2=30（6）1.8÷
3=0.6
引导学生分析、比较：
第（3）题是有余数的除法，当然不能说被除数让除数“整除”或者“除尽”；
其它各题都可以说被除数被除数除尽了，但是只有第
（1）、第
（2）两题被除数、除数是自然数，商是整数而没有余数，这两道题既可说被除数被除数除尽，又可以说“被除数”能被“除数”整除。
从上面的分析，可以看出：
“除尽”包含着“整除”，整除是“除尽”的一种特殊情况。
又如我教锥体体积时，为了课上实验时准确，给学生留有清楚的印象，事先我做了一个使学生看得见高的圆锥体教具，并把与圆锥等底等高的玻璃缸画上两条白漆线段，把玻璃缸容积分为三等份，实验时我用带色的水灌满圆锥形的容器里，问圆锥里边的水是什么形状的？
（圆锥形状）马上倒入等底等高的圆柱玻璃缸内，正好到圆柱形玻璃缸内的第一道横线。
连续倒完三次，玻璃缸内水升到缸顶面。
每次倒水都留有充分的时间让学生观察思考，其后，还让学生动手实验，印证这一关系。
随即提出几个问题。
帮助学生分析判断：
师问：
圆柱体体积和圆锥体体积哪个大？
生答：
圆柱体体积大。
因为三个圆锥体体积的水倒入圆柱体缸内才满。
圆锥体体积和圆柱体体积哪个小？
圆锥体体积小。
因为我看到三个圆锥体体积才是一个圆柱体体积。
以圆锥体体积为一倍，圆柱体体积相当等底等高圆锥体体积的几倍？
三倍。
以圆柱体体积为一倍，等底等高圆锥体体积是圆柱体体积的几分之几？
三分之一。
我们怎样求圆锥体体积呢？
除以3和乘以1/3，哪种方法简便？
乘以1/3简便，因为可以约分，计算简便。
对近似的概念经常引导学生进行比较和区分，既能培养学生对易混概念自觉地进行比较的习惯，也能提高学生理解概念的能力。
多年来教学实践的体会：
重视培养学生的比较思想有几点好处：
（1）有利于培养学生思维的逻辑性。
（2）有利于提高学生的分析问题的能力。
（3）有利于培养学生系统化的思维方式。
5.教师启发、引导、帮助学生总结归纳出概念的含义
教学中学生的主体地位是必要的，但教师在教学的全过程中的主导地位也不能忽视。
教师应发挥好主导作用。
教师与学生的主、客体地位是相互依存相互规定，在一定条件下又相互转化。
在概念教学中，教师要善于为学生创造条件，让学生沿着观察、思维、理解、表达的过程，由感性到理性的过程，由具体到抽象的过程去掌握概念。
这样极易调动学生的积极性、主动性，也可以教会学生去发现真理。
比如我教质数，合数两个概念。
我先板书九个数：
1、2、4、5、6、8、9、11、12，让三个好同学在复习检查时分别写出每个数的约数来。
为了便于学生观察，有意识地做如下的排列，学生写出下列答案：
1——1 2——1、2 6——1、2、3、6
4——1、2、4 5——1、5 8——1、2、4、8
9——1、3、9 11——1、11 12——1、2、3、4、6、12
订正后，让学生仔细观察，找自然数的约数规律。
学生观察后发现了规律。
有的说有三种规律，有的则认为四种情况。
我表扬同学观察分析得好。
是三种规律。
于是又启发他们看是哪三种？
①一个自然数只有一个约数；
②一个自然数有两个约数；
③一个自然数有三个以上约数。
在这个情况下，我再次启发提问：
一个约数的是什么样的数？
两个的是什么样的？
三个以上又是什么样的约数？
学生则发现一个的只有1；
两个的则有1还有本身；
三个以上的则有1、自己本身、还有其它的约数。
最后老师一一肯定，并由学生看书后总结出质数、合数概念，这时学生很受鼓舞，认为自己发现了真理。
对质数、合数的概念印象极为深刻永不忘记。
我又有意识地让学生研究“1”到底算哪类？
学生沉默了，我说：
“从书上找找是怎么说的？
知道的就发言”。
通过学生的口，说出“1”既不是质数，也不是合数。
我问：
“为什么”？
学生答：
因为“1”的约数只占一条，算1就没有本身，算本身又没有“1”，这样可比老师直接告诉、或叮咛他们注意主动。
让学生在教师的帮助下，把大量感性材料经过分析综合，抽象概括。
抛弃事物和现象的非本质的东西，抓住事物和现象的本质特征形成概念。
因为是学生付出了脑力劳动而获取得到的，所以记忆牢固。
（三）运用概念巩固概念
教学中不仅要求学生理解概念，而且还要使学生熟记并灵活地运用概念。
我认为概念的记忆与应用是相辅相成的。
因此在教学中，加强练习，及时复习并做归纳整理，对巩固概念具有特殊意义。
1.启发学生多思，巩固概念，开扩学生思维的广度，加深理解概念，从理解中求巩固。
在学生初步理解了概念以后，教师要提出恰当的思考问题，让学生进一步思考。
既使学生一时答不上来，也会促使他们开动脑筋思想，这是加深理解和巩固概念的良好办法。
如二年级小学生刚刚学过乘法概念，学完表内乘法（乘数最大是9）后，在复习乘法意义时，我问：
乘数是10呢？
20呢？
36呢？
100呢？
虽然问题超出了当时的教学范围，但却起到了促进学生积极思考问题的作用，有利于学生加深对乘法意义的理解。
学了百分数概念，并
吗？
”启发他们对百分数概念的深入思考。
经过议论之后，有的说不一样，有的说一样，有的表示沉默，但学生头脑中思维活动很激烈，渴望解决这个问题。
这时我表态说：
“意义不一样。
你们可以再想想怎么不一样呢？
”学
确切的数量。
9％不能加单位名称，它是表示两个数的倍数关系的。
”
又如，推导出圆面积公式之后，我提问：
“‘半径×
半径’得到一个什么样的数值？
”引导学生想象。
学生回答后，再用幻灯映出一个圆，以及这个圆的半径为边长的正方形加以印证（见图30）。
我再问，“半径×
半径”再乘以2比圆面积大还是小？
（比圆面积小）随即映出图31。
“半径×
半径再乘以4比圆面积大还是小？
”（比圆面积大）随即映出图32。
这时学生具体形象地体会到圆的面积比r2×
2大，比r2×
4小。
留一定思考时间再问：
“那么乘以几才正好和圆面积相等？
”（乘以3个多点）这样就使学生扩大了思考范围，加深了对圆面积公式的理解。
2.通过计算及用规范化语言表述，巩固概念
掌握概念对计算有指导作用，反之，通过计算对理解和巩固概念也起促进作用。
如整除、约数、倍数这三个概念互相之间联系密切，不懂整除就不能很好地理解约数与倍数。
当学生明确了整数概念后，我就用幻灯片或小黑板写出很多组除法算式：
8÷
221÷
718÷
923÷
5
10÷
530÷
624÷
650÷
10
12÷
348÷
835÷
860÷
12
15÷
450÷
940÷
772÷
14
我指着一个算式问学生：
“8能不能被2整除？
”，一般是先由教师示范回答问题，然后学生照着老师的样子一一回答。
学生回答：
“8÷
2，8和2都是自然数，8除以2，商是4，没有余数。
我说8能被2整除。
”……我还指着50÷
9问学生：
“50能不能被9整除？
”学生回答“50和9都是自然数，50除以9，商是5、余数是5，所以50不能被9整除。
”……就这样通过大量口算，从正、反两个方面把整除的概念加以巩固。
在这个基础上明确约数与倍数概念之后，仍用上述方法提问练习：
“10能被5整除，10和5两个数是什么关系？
”也是先由老师示范，
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