高中数学必修一至必修五知识点总结完整版1Word文档格式.docx

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（2）A与B是同一集合。

反之:

集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

2．“相等”关系（5≥5，且5≤5，则5=5）

实例：

设A={x|x2-1=0}B={-1,1}

“元素相同”

结论：

对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何

一个元素都是集合A的元素，我们就说集合

A等于集合B，即：

A=B

任何一个集合是它本身的子集。

AA

②真子集:

如果A

B,且BA那就说集合A是集合B的真子集，记作A

B（或BA）

③如果AB,B

C,那么AC

④如果AB同时BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定:

空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算

1．交集的定义：

一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．

记作A∩B（读作”A交B”），即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

2、并集的定义：

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。

-1-

记作：

A∪B（读作”A并B”），即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．

3、交集与并集的性质：

A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A,

A∪φ=A,A∪B=B∪A.

4、全集与补集

（1）补集：

设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）

（2）全集：

如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全

集。

通常用U来表示。

四、函数的有关概念

1．函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：

A→B为从集合A到集合B的一

个函数．记作：

y=f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；

与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．

如果只给出解析式y=f（x），而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；

函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．定义域补充

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

（1）分式的分母不等于零；

（2）偶次方根的被开方数不小于零；

（3）对数式的真数必须大于零；

（4）

指数、对数式的底必须大于零且不等于

1.（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.

那么，它的定义域是使各部分都有意义的

x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零

（6）

实

际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义

.（注意：

求出不等式组的解集即为函数的定义域。

）

构成函数的三要素：

定义域、对应关系和值域

（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，

所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）

（2）两

个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

相

同函数的判断方法：

①表达式相同；

②定义域一致

（两点必须同时具备）（见课本21页相关例2）

值域补充

（1）

、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域

.

（2）.应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值

域的基础。

3.

函数图象知识归纳

定义：

在平面直角坐标系中，以函数

y=f（x）,（x

∈A）中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点

P（x，y）的集合C，叫做函数y=f（x）,（x∈A）的图象．

集合C上每一点的坐标（x，y）均满足函数关系y=f（x），反过来，以满足y=f（x）的每一组有序实数对

x、y为坐标的点（x，y），均在C上.即记为C={P（x,y）|y=f（x）,x∈A},图象C一般的是一

条光滑的连续曲线（或直线）,也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。

（2）画法

A、描点法：

根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以（x,y）为坐标在坐标系内描出相应的点P（x,y），最后用平滑的曲线将这些点连接起来.

B、图象变换法（请参考必修4三角函数）

常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换

（3）作用：

1、直观的看出函数的性质；

2、利用数形结合的方法分析解题的思路。

提高解题的速度。

发现解题中的错误。

-2-

4．了解区间的概念

（1）区间的分类：

开区间、闭区间、半开半闭区间；

（2）无穷区间；

（3）区间的数轴表示．

5．什么叫做映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元

素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：

A→B为从集合A到集合B的一个映射。

记作“f：

A→B”

给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；

②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；

③对于映射f：

A→B来说，则应满足：

（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

常用的函数表示法及各自的优点：

1:

函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是

函数图象的依据；

2:

解析法：

必须注明函数的定义域；

3:

图象法：

描点法作图要注意：

确定函数的

定义域；

化简函数的解析式；

观察函数的特征；

4:

列表法：

选取的自变量要有代表性，应能反映定

义域的特征．

解析法：

便于算出函数值。

列表法：

便于查出函数值。

图象法：

便于量出函数值.

补充一：

分段函数（参见课本P24-25）

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。

分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个

左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．

（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；

（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

补充二：

复合函数

如果y=f（u）,（u∈M）,u=g（x）,（x∈A）,则y=f[g（x）]=F（x），（x∈A）称为f、g的复合函数。

例如:

y=2sinxy=2cos（2x+1）

7．函数单调性

（1）．增函数

设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量a，b，当a<

b时，

都有f（a）<

f（b），那么就说f（x）在区间D上是增函数。

区间D称为y=f（x）的单调增区间（睇清楚课本

单调区间的概念）

如果对于区间D上的任意两个自变量的值a，b，当a<

b时，都有f（a）＞f（b），那么就说f（x）在这个区间上是减函数.区间D称为y=f（x）的单调减区间.

1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

2必须是对于区间D内的任意两个自变量a，b；

当a<

b时，总有f（a）<

f（b）。

（2）图象的特点

如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f（x）在这一区间上具有（严格的）单调

性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

（3）.函数单调区间与单调性的判定方法

（A）定义法：

任取a，b∈D，且a<

b；

2作差f（a）－f（b）；

3变形（通常是因式分解和配方）；

4定号（即判断差f（a）－f（b）的正负）；

5下结论（指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）．

（B）图象法（从图象上看升降）_

（C）复合函数的单调性

复合函数f[g（x）]的单调性与构成它的函数u=g（x），y=f（u）的单调性密切相关

-3-

1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗？

8．函数的奇偶性

（1）偶函数

一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函数．

（2）．奇函数

一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=—f（x），那么f（x）就叫做奇函数．注意：

1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

函数可能

没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。

2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则

－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

3、具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；

奇函数的图象关于原点对称．

总结：

利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原

点对称；

2确定f（－x）与f（x）的关系；

3作出相应结论：

若f（－x）=f（x）或f（－x）－f（x）=0，

则f（x）是偶函数；

若f（－x）=－f（x）或f（－x）＋f（x）=0，则f（x）是奇函数．

函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对

称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，

（1）再根据定义判定;

（2）有时判定f（-x）=±

f（x）比较

困难，可考虑根据是否有f（-x）±

f（x）=0或f（x）/f（-x）=±

1来判定;

（3）利用定理，或借助函数的图

象判定.

9、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）.求函数的解析式的主要方法有：

待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；

已知复合函数f[g（x）]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；

当已知表达式较简单时，也可用凑配法；

若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f（x）10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

（1）、利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值.

（2）、利用图象求函数的最大（小）值（3）、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，

在区间[b，c]上单调递减则函数y=f（x）在x=b处有最大值f（b）；

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）；

第二章基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：

一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根（nthroot），其中n>

1，且n∈

N*．

当n是奇数时，正数的

n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．此时，a的n次方根用

符号na表示．式子n

a叫做根式（radical

），这里n叫做根指数（radicalexponent），a叫做被

开方数（radicand）．

当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数

a的正的n次方根用符

号n

a表示，负的n次方根用符号－

na表示．正的n次方根与负的

n次方根可以合并成±

na

（

a

）．由此可得：

负数没有偶次方根；

的任何次方根都是

，记作n

00

。

>

当n是奇数时，nan

a，当n是偶数时，nan

|a|

（a

0）

-4-

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

m

n1），a

1

an

n

*

n

1）

（a0,m,nN

nam

0,m,nN

0的正分数指数幂等于

0，0的负分数指数幂没有意义

指出：

规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．

3．实数指数幂的运算性质

（1）ar·

ar

ars

0,r,s

R）；

（2）（ar）s

ars

（a

0,r,s

（3）（ab）r

aras

0,r,sR）．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：

一般地，函数y

ax（a0,且a1）叫做指数函数（exponential

function），

其中x是自变量，函数的定义域为

R．

指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和

1．

2、指数函数的图象和性质

a>

0<

a<

6

5

4

3

2

-4

-2

246

-1

图象特征

a10a1

向x、y轴正负方向无限延伸图象关于原点和y轴不对称函数图象都在x轴上方

函数图象都过定点（0，1）

自左向右看，图自左向右看，图

象逐渐上升象逐渐下降

在第一象限内在第一象限内

的图象纵坐标的图象纵坐标

都大于1都小于1

在第二象限内在第二象限内

都小于1都大于1

图象上升趋势图象上升趋势

是越来越陡是越来越缓

函数性质

函数的定义域为R

非奇非偶函数

函数的值域为R+

a01

增函数减函数

x0,ax1x0,ax1

x0,ax1x0,ax1

函数值开始增函数值开始减

长较慢，到了某小极快，到了某

一值后增长速一值后减小速

度极快；

度较慢；

利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上，f（x）

ax（a

0且a

值域是[f（a）,f（b）]或[f（b）,f（a）]；

（2）若x0，则f（x）

1；

f（x）取遍所有正数当且仅当x

R；

（3）对于指数函数f（x）

，总有f

（1）a；

（4）当a1时，若x1

x2，则f（x1）

f（x2）；

-5-

二、对数函数

（一）对数

1．对数的概念：

一般地，如果axN（a0,a1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作：

．．．

xlogaN（a—底数，N—真数，logaN—对数式）

○1

注意底数的限制a

0，且a

○2ax

NlogaNx；

○3注意对数的书写格式．

两个重要对数：

○常用对数：

以

10为底的对数

lgN

；

e2.71828

为底的对数的对数

lnN

．

○自然对数：

以无理数

对数式与指数式的互化

logaN

x

ax

N

对数式

指数式

对数底数

←

→幂底数

对数

→

指数

真数

幂

（二）对数的运算性质

如果a

，且a

，M0

，N

，那么：

（1）loga（M·

N）

logaM＋logaN；

（2）

logaM

logaM－logaN；

（3）logaMn

nlogaM

（n

R）．

换底公式logab

logcb（a

c

0，且c1；

b

0）．

logca

利用换底公式推导下面的结论（

1）log

b

b；

（）

loga

logab

logba

（二）对数函数

1、对数函数的概念：

函数

y

x（a

0，且a1）