听课手册 第43讲立体几何的综合问题Word文件下载.docx

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在空间垂直关系中,线面垂直是核心,已知线面垂直,既可为证明线线垂直提供依据,又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫.应用面面垂直的性质定理时,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而可转化为线线垂直问题.

探究点一　平行与垂直关系的证明

例1[2018·

北京卷]如图7-43-1,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.

（1）求证:

PE⊥BC;

（2）求证:

平面PAB⊥平面PCD;

（3）求证:

EF∥平面PCD.

图7-43-1

[总结反思]证明面面关系的核心是证明线面关系,证明线面关系的核心是证明线线关系.证明线线平行的常用方法:

（1）线面平行的性质定理;

（2）三角形中位线法;

（3）平行四边形法.证明线线垂直的常用方法:

（1）等腰三角形三线合一;

（2）勾股定理逆定理;

（3）线面垂直的性质定理;

（4）菱形对角线互相垂直.

例2[2018·

烟台二模]如图7-43-2所示,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是矩形,E,F分别为BC,AP的中点.

EF∥平面PCD;

（2）若平面PAB⊥平面ABCD,AD=AP=1,AB=2,∠PAB=45°

求三棱锥P-DEF的体积.

图7-43-2

[总结反思]求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题去求解,注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.①割补法:

求一些不规则几何体的体积时,常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法:

等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形（或几何体）的面积（或体积）通过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的高（或几何体的高）,特别是在求三角形的高（或三棱锥的高）时,这一方法回避了通过具体作图得到三角形（或三棱锥）的高,而通过直接计算得到高的数值.

变式题[2018·

合肥二模]如图7-43-3所示,在多面体ABCDPQ中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥CD∥PQ,AB⊥AD,△PAD为正三角形,O为AD的中点,且AD=AB=2,CD=PQ=1.

平面POB⊥平面PAC;

（2）求多面体ABCDPQ的体积.

图7-43-3

探究点二　探索性问题中的平行与垂直关系

例3[2018·

山东、湖北部分重点中学模拟]如图7-43-4所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1是矩形,∠BAC=90°

AA1⊥BC,AA1=AC=2AB=4,且BC1⊥A1C.

平面ABC1⊥平面A1ACC1.

（2）设D是A1C1的中点,判断并证明在线段BB1上是否存在点E,使得DE∥平面ABC1?

若存在,请说明理由并求点E到平面ABC1的距离.

图7-43-4

[总结反思]处理空间中平行或垂直的探索性问题,一般是先根据条件假设相关结论正确,再给出证明.探索点的存在性问题时,点多为中点或三等分点中的一个,也可以根据相关的知识确定点的位置.

衡水中学月考]如图7-43-5,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=,BC=4,点A1在底面ABC上的投影是线段BC的中点O.

在侧棱AA1上存在一点E,使得OE⊥平面BB1C1C,并求出AE的长;

（2）求三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积.

图7-43-5

探究点三　折叠问题中的平行与垂直关系

例4如图7-43-6所示,在△PBE中,AB⊥PE,D是AE的中点,C是线段BE上的一点,且AC=,AB=AP=AE=2,将△PBA沿AB折起使得二面角P-AB-E是直二面角,连接PE.

CD∥平面PAB;

（2）求三棱锥E-PAC的体积.

图7-43-6

[总结反思]在解决折叠问题时,需要明确翻折的过程中哪些量是不变的,哪些量是变化的,翻折的角度等.求体积时,注意等体积法的应用.

湖北重点高中联考]如图7-43-7①,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AE⊥CD,将△ADE沿AE折起到△AD1E的位置,使二面角D1-AE-C成直二面角,连接D1B,D1C（如图7-43-7②）.

D1E⊥BC;

（2）若BC=CE=2DE=2,求点A到平面BCD1的距离.

图7-43-7

完成课时作业（四十三）