运筹复习题.docx
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运筹复习题
1.
假定一个成年人每天需要从食物中获得3000千卡的热量、55克蛋白质和800毫克的钙。
如果市场上只有四种食品可供选择，它们每千克所含的热量和营养成分和市场价格见下表。
问如何选择才能在满足营养的前提下使购买食品的费用最小？
各种食物的营养成分表
食品名称
热量
（千卡）
蛋白质
（克）
钙
（毫克）
价格
（元）
猪肉
1000
50
400
14
鸡蛋
800
60
200
6
大米
900
20
300
3
白菜
200
10
500
2
2.
一艘运货的飞机有三个用于存放货物的机舱：
前、中、后。
这些机舱有载货的重量与体积的限制，如下表1所示。
表1
机舱
载货量/吨
空间/立方英尺
前舱
12
7000
中舱
18
9000
后舱
10
5000
此外，在每个机舱里的货物重量的比例必须与载货量的比例大致相同，以保持飞机的平衡。
具体要求是前舱与后舱的载重比例偏差不超过载货量比例的10%，前舱与中舱、后舱与中舱的载重比例偏差不超过载货量比例的15%。
下表2是为一架飞机所准备的4种货物。
表2
货物
重量/吨
体积/立方英尺/吨
利润/美元/吨
1
20
500
320
2
16
700
400
3
25
600
360
4
13
400
290
目标是要确定每种货物的运载量以及在各个机舱中如何分配，使得一个航班的收益最大化。
3.
G.A.T公司的产品之一是一种新式玩具，该产品的估计单位利润为3美元。
因为该产品具有极大的需求，公司决定增加该产品原来每天1000件的生产量。
但是从卖主那里可以购得的玩具配件（A,B）是有限的。
每一玩具需要两个A类配件，而卖主只能将其供应量从现在的每天2000增加到3000。
同时，每一玩具需要一个B类的配件，但卖主却无法增加目前每天1000的供应量。
因为目前无法找到新的供货商，所以公司决定自己开发一条生产线，在公司内部生产玩具配件A和B。
据估计，公司自己生产的成本将会比从卖主那里购买增加2.5美元每件（A,B）。
管理层希望能够确定玩具以及两种配件的生产组合以取得最大的利润。
将该问题视为资源分配问题，公司的一位管理者为该问题建立如下的参数表：
使用Excel求解，求解后的电子表格和灵敏度报告如下图所示
可变单元格
终
递减
目标式
允许的
允许的
单元格
名字
值
成本
系数
增量
减量
$B$8
活动量单位资源使用量
2000
0
3
2
0.5
$C$8
活动量生产配件
1000
0
-2.5
1
0.5
约束
终
阴影
约束
允许的
允许的
单元格
名字
值
价格
限制值
增量
减量
$D$5
资源A所需资源
3000
0.5
3000
1E+30
1000
$D$6
资源B所需资源
1000
2
1000
500
1E+30
（1）用Excel建模时，单元格F8的输入是什么？
（2）针对第一个活动（生产玩具），运用Excel敏感性报告，给出该活动单位利润从3美元增加到4美元时问题的最优解和总利润。
（3）运用Excel敏感性报告来找到每个活动单位利润的允许变动范围（即最优范围）。
（4）运用Excel敏感性报告来给出每个约束的阴影价格，分别对其进行解释。
4.
K&L公司为其冰激凌经营店供应三种口味的冰激凌：
巧克力、香草和香蕉。
因为天气炎热，对冰激凌的需求大增，而公司库存的原料已经不够了。
记这些原料分别为：
牛奶、糖和奶油。
公司无法完成接收的订单，但是为了在资源有限的条件下使利润最大化，公司需要确定各种口味产品的最优组合。
巧克力、香草和香蕉三种口味的冰激凌的销售利润分别为每加仑1.00美元、0.90美元和0.95美元。
公司现在有200加仑牛奶、150磅糖和60加仑奶油库存。
这一问题代数形式的线性规划表示如下：
假设：
C=巧克力冰激凌的产量（加仑），V=香草冰激凌的产量（加仑），B=香蕉冰激凌的产量（加仑）
最大化：
利润=1.00C+0.90V+0.95B
约束条件
牛奶：
0.45C+0.50V+0.40B≤200（加仑）
糖：
0.50C+0.40V+0.40B≤150（磅）
奶油：
0.10C+0.15V+0.20B≤60（加仑）
且C≥0，V≥0，B≥0
使用Excel求解，求解后的电子表格和灵敏度报告如下图所示（注意，因为在（6）中将会讨论牛奶约束，所以该部分在下面的图中隐去了）。
不用Excel重新求解，尽可能详尽地回答下列问题，注意，各个部分是互不干扰、相互独立
（1）最优解和总利润是多少？
（2）假设香草冰激凌每加仑的利润变为1.00美元，最优解是否改变，对总利润又会产生怎样的影响？
（3）假设香蕉冰激凌每加仑的利润变为92美分，最优解是否改变，对总利润又会产生怎样的影响？
（4）公司发现有3加仑的库存奶油已经变质，只能扔掉，最优解是否改变，对总利润又会产生怎样的影响？
（5）假设公司有机会购得10磅糖，总成本15美元，公司是否应该购买这批糖，为什么？
（6）在灵敏度报告中加入牛奶的约束。
5.
某造船厂根据合同要求从当年起连续三年末各提供三条规格型号相同的大型客货轮。
已知该厂这三年内生产大型客货轮的能力以及每艘客货轮成本如下表3所示，已知加班生产时，每艘客轮成本比正常生产时高70万元。
如果客轮当年不交货，每艘客轮每积压一年的积压损失为40万元。
在签订合同时。
该厂已存了两艘客轮，而该厂希望在第三年未完成合同后还能储存一艘。
问该厂应如何安排生产量使总的生产费用加积压损失最少？
表3：
6、
考斯雷司（Cost-Less）公司从它的工厂向它的四个零售点供应货物，从每一个工厂到每一个零售点供应货物，从每一个工厂到每一个零售点的运输成本如下所示：
工厂1、2、3、4每个月的生产量为10、20、20、10个运输单位。
零售点1、2、3、4每个月所需货物量为20、10、10、20个运输单位。
配送经理兰迪·史密斯现在需要确定每个月从每一个工厂要运送多少给相应零售点的最佳方案。
兰迪的目标就是要使总的运输成本最小。
（1）把这个问题描述为一个运输问题并写出相应的出发地、供应量、目的地、需求量和单位成本。
（2）建立该运输问题的数学模型。
7、速达（Speedy）航空公司中有一架班机将从西雅图（节点SE）直飞伦敦（节点LN）。
由于天气因素的影响，在明确选择路线时存在一定的灵活性。
风力对于飞行的时间（以及燃油的耗用）是有很大影响的。
根据最新的气象报道，各条航线飞行时间（以小时计算）标注在弧线上，因为燃油十分昂贵，速达（Speedy）航空公司的管理层，需要制定一套方案，选择飞行时间最短的航线。
在电子表格中建立该问题的规划模型并求解最优方案如图（其它节点分别代表不同的途经地点）。
试完成下列问题：
（1）根据下图所示的EXCEL规划求解模型，划出该问题的航空路线图，并表示完整；
（2）写出单元格G2中所输入公式；
（3）写出单元格G9中所输入公式；
（4）写出单元格C16中所表达目标函数的公式。
8.
通用公司的董事会正在考虑几个大型的投资项目，每个投资项目只能投资一次，且各项目所需要的投资金额与能够产生的预期收益是不同的，如表1所示。
表1
投资金额
预期收益/百万美元
所需资金/百万美元
1
17
43
2
10
28
3
15
34
4
19
48
5
7
17
6
13
32
7
9
23
假设公司现有的总投资金额为1亿美元，其中投资项目1和项目2是互斥的，项目3与项目4也是互斥的。
此外，如果不选择项目1或是项目2，就不能选择项目3或项目4.投资项目5、项目6、项目7没有附加约束。
问题的目标是通过组合各种投资，使得估计的预期收益最大。
9．某医院的护士分4个班次，每班工作12小时。
报到的时间分别是早上6点、中午12点、下午6点、夜间12点。
每班需要的人数分别为19人、21人、18人、16人。
问：
（1）试建立每天最少需要派多少护士值班的数学模型。
（2）如果早上6点上班和中午12点上班的人每月有120元加班费，下午6点和夜间12点上班的人每月分别有100元和150元加班费，那么应如何安排上班人数，使得医院支付的加班费最少？
试建立此种情形的数学模型。
10．运用贪婪算法，找出由下面的节点和供选择的边组成的网络的最小支撑树。
每两个节点间的虚线代表备选边，虚线旁边的数字代表把这个边插入到网络中的成本（单位：
千元）。
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