成都中考26题二次函数应用题.docx
《成都中考26题二次函数应用题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《成都中考26题二次函数应用题.docx（45页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
成都中考26题二次函数应用题
题型26应用题
考点解析
1．一元二次方程的应用
（1）列方程解决实际问题的一般步骤是：
审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
（2）列一元二次方程解应用题中常见问题：
①数字问题：
个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
②增长率问题：
增长率＝增长数量/原数量×100%．如：
若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
③形积问题：
①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
④运动点问题：
物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
a．审：
理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
b．设：
根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
c．列：
根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
d．解：
准确求出方程的解．
e．验：
检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
f．答：
写出答案．
2．分式方程的应用
（1）列分式方程解应用题的一般步骤：
设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：
如设和答叙述要完整，要写出单位等．
（2）要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：
速度＝路程时间；工作量问题：
工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
3．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
4．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
5．一次函数的应用
（1）分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
（2）函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
（3）概括整合
①简单的一次函数问题：
a建立函数模型的方法；b分段函数思想的应用．
②理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
6．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：
几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
五年中考
1．（2019•成都）随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第x（x为正整数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）设该产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台），p与x的关系可以用p
x
来描述．根据以上信息，试问：
哪个销售周期的销售收入最大？
此时该产品每台的销售价格是多少元？
【点拨】
（1）根据函数图象上的两点坐标，用待定系数法求出函数的解析式便可；
（2）设销售收入为w万元，根据销售收入＝销售单价×销售数量和p
x
，列出w与x的函数关系式，再根据函数性质求得结果．
【解析】解：
（1）设函数的解析式为：
y＝kx+b（k≠0），由图象可得，
，
解得，
，
∴y与x之间的关系式：
y＝﹣500x+7500；
（2）设销售收入为w万元，根据题意得，
w＝yp＝（﹣500x+7500）（
x
），
即w＝﹣250（x﹣7）2+16000，
∴当x＝7时，w有最大值为16000，
此时y＝﹣500×7+7500＝4000（元）
答：
第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元．
2．（2018•成都）为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用y（元）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元．
（1）直接写出当0≤x≤300和x＞300时，y与x的函数关系式；
（2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2，若甲种花卉的种植面积不少于200m2，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？
最少总费用为多少元？
【点拨】
（1）由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．
（2）设甲种花卉种植为am2，则乙种花卉种植（1200﹣a）m2，根据实际意义可以确定a的范围，结合种植费用y（元）与种植面积x（m2）之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少．
【解析】解：
（1）y
（2）设甲种花卉种植为am2，则乙种花卉种植（1200﹣a）m2．
∴
，
∴200≤a≤800
当200≤a≤300时，W1＝130a+100（1200﹣a）＝30a+120000．
当a＝200时．Wmin＝126000元
当300＜a≤800时，W2＝80a+15000+100（1200﹣a）＝135000﹣20a．
当a＝800时，Wmin＝119000元
∵119000＜126000
∴当a＝800时，总费用最少，最少总费用为119000元．
此时乙种花卉种植面积为1200﹣800＝400m2．
答：
应该分配甲、乙两种花卉的种植面积分别是800m2和400m2，才能使种植总费用最少，最少总费用为119000元．
3．（2017•成都）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：
千米），乘坐地铁的时间y1（单位：
分钟）是关于x的一次函数，其关系如下表：
地铁站
A
B
C
D
E
x（千米）
8
9
10
11.5
13
y1（分钟）
18
20
22
25
28
（1）求y1关于x的函数表达式；
（2）李华骑单车的时间（单位：
分钟）也受x的影响，其关系可以用y2
x2﹣11x+78来描述，请问：
李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？
并求出最短时间．
【点拨】
（1）根据表格中的数据，运用待定系数法，即可求得y1关于x的函数表达式；
（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则y＝y1+y2
x2﹣9x+80，根据二次函数的性质，即可得出最短时间．
【解析】解：
（1）设y1＝kx+b，将（8，18），（9，20），代入得：
，
解得：
，
故y1关于x的函数表达式为：
y1＝2x+2；
（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则
y＝y1+y2＝2x+2
x2﹣11x+78
x2﹣9x+80，
∴当x＝9时，y有最小值，ymin
39.5，
答：
李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5分钟．
4．（2016•成都）某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．
（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系；
（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？
最大为多少个？
【点拨】
（1）根据每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子列式即可；
（2）根据题意列出函数解析式，利用配方法把二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可．
【解析】解：
（1）平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系为：
y＝600﹣5x（0≤x＜120）；
（2）设果园多种x棵橙子树时，可使橙子的总产量为w，
则w＝（600﹣5x）（100+x）
＝﹣5x2+100x+60000
＝﹣5（x﹣10）2+60500，
∵a＝﹣5＜0，
∴w的最大值是60500，
则果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个．
5．（2015•成都）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
【点拨】
（1）可设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，根据第二批这种衬衫单价贵了10元，列出方程求解即可；
（2）设每件衬衫的标价y元，求出利润表达式，然后列不等式解答．
【解析】解：
（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，依题意有
10
，
解得x＝120，
经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意．
答：
该商家购进的第一批衬衫是120件．
（2）3x＝3×120＝360，
设每件衬衫的标价y元，依题意有
（360﹣50）y+50×0.8y≥（13200+28800）×（1+25%），
解得y≥150．
答：
每件衬衫的标价至少是150元．
一年模拟
1．（2019•成华二诊）随着人们生活水平的提高，对饮水品质的需求也越来越高，某商场购进甲、乙两种型号的净水器，每台甲型净水器比每台乙型净水器进价多200元，已知用5万元购进甲型净水器与用4.5万元购进乙型净水器的数量相等．
（1）求每台甲型，乙型净水器的进价各是多少元？
（2）该商场计划花费不超过9.8万元购进两种型号的净水器共50台进行销售，甲型净水器每台销售2500元，乙型净水器每台售价2200元，商场还将从销售甲型净水器的利润中按每台a元（70＜a＜80）捐献给贫困地区作为饮水改造扶贫资金．设该公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W元，求W的最大值．
【点拨】
（1）设每台乙型净水器的进价是x元，则每台甲型净水器的进价是（x+200）元，根据数量＝总价÷单价结合用5万元购进甲型净水器与用4.5万元购进乙型净水器的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进甲型净水器m台，则购进乙型净水器（50﹣m）台，根据总价＝单价×数量结合总价不超过9.8万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再由总利润＝每台利润×购进数量，即可得出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解析】解：
（1）设每台乙型净水器的进价是x元，则每台甲型净水器的进价是（x+200）元，
依题意，得：
，
解得：
x＝1800，
经检验，x＝1800是原分式方程的解，且符合题意，
∴x+200＝2000．
答：
每台甲型净水器的进价是2000元，每台乙型净水器的进价是1800元．
（2）设购进甲型净水器m台，则购进乙型净水器（50﹣m）台，
依题意，得：
2000m+1800（50﹣m）≤98000，
解得：
m≤40．
W＝（2500﹣2000﹣a）m+（2200﹣1800）（50﹣m）＝（100﹣a）m+20000，
∵100﹣a＞0，
∴W随m值的增大而增大，
∴当m＝40时，W取得最大值，最大值为（24000﹣40a）元．
2．（2019•青羊二诊）某健身馆普通票价为40元/张，6﹣9月为了促销，新推出两种优惠卡：
①金卡售价1200元/张，每次凭卡不再收费．
②银卡售价300元/张，每次凭卡另收10元．
普通票正常出售，两种优惠卡仅限6﹣9月使用，不限次数．设健身x次时，所需总费用为y元．
（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；
（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出A、B、C的坐标；
（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．
【点拨】
（1）理解题目意思：
健身馆普通票价为40元/张，没有其他费用了，健身的时间是x小时，那么普通的消费就可以列出来；而银卡售价300元/张，每次凭卡另收10元，健身的时间是x小时，那么银卡票消费也可以用一元一次方程列出来；
（2）能够根据图象，用二次一方程组的知识求交点坐标，理解一次函数的特征，看图求坐标；
（3）根据一次函数的特征来比较数的大小；当x的值为交点时，它们的费用是相同的；当小于交点的x值时，位于下面的函数图象，其y值最小；当大于交点的x值时，位于下面的函数图象，其y值最小．
【解析】解：
（1）根据题意可得：
银卡消费：
y＝10x+300普通消费：
y＝40x
（2）令y＝10x+300中的x＝0，则y＝300故点A的坐标为（0，300），联立
解得：
故点B的坐标为（10，400）
令y＝1200代入y＝10x+300，则x＝90，故点C的坐标为（90，1200）
综上所述：
点A的坐标为（0，300），点B的坐标为（10，400），点C的坐标为（90，1200）
（3）根据函数图象，可知：
当0＜x＜10时，选择购买普通票更合算；
当x＝10时，选择购买银卡、普通票的总费用相同；
当10＜x＜90时，选择购买银卡更合算．
当x＝90时，选择购买银卡和金卡更合算．
当x＞90时，选择购买金卡更合算．
3．（2019•武侯二诊）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面
的最大距离是5m．
（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是 方案二 （填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是 （10，0） ，求出你所选方案中的抛物线的表达式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．
【点拨】
（1）根据题意选择合适坐标系即可，结合已知条件得出点B的坐标即可，根据抛物线在坐标系的位置，可知抛物线的顶点坐标为（5，5），抛物线的右端点B坐标为（10，0），可设抛物线的顶点式求解析式；
（2）根据题意可知水面宽度变为6m时x＝2或x＝8，据此求得对应y的值即可得．
【解析】解：
（1）选择方案二，根据题意知点B的坐标为（10，0），
由题意知，抛物线的顶点坐标为（5，5），且经过点O（0，0），B（10，0），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣5）2+5，
把点（0，0）代入得：
0＝a（0﹣5）2+5，即a
，
∴抛物线解析式为y
（x﹣5）2+5，
故答案为：
方案二，（10，0）；
（2）由题意知，当x＝5﹣3＝2时，
（x﹣5）2+5
，
所以水面上涨的高度为
米．
4．（2019•锦江二诊）十三五”以来，党中央，国务院不断加大脱贫攻坚的支持决策力度，并出台配套文件，国家机关各部门也出台多项政策文件或实施方案．某单位认真分析被帮扶人各种情况后，建议被帮扶人大力推进特色产业，大量栽种甜橙；同时搭建电商运营服务平台，开设网店销售农产品橙．丰收后，将一批甜橙采取现场销售和网络销售相结合进行试销，统计后发现：
同样多的甜橙，现场销售可获利800元，网络销售则可获利1000元，网络销售比现场销售每件多获利5元
（1）现场销售和网络销售每件分别多少元？
（2）根据甜橙试销情况分析，现场销售量a（件）和网络销售量b（件）满足如下关系式：
b
a2+12a﹣200．求a为何值时，农户销售甜橙获得的总利润最大？
最大利润是多少？
【点拨】
（1）设现场销售每件x元，则网络销售每件获利（x+5）元，根据同样多的甜橙，现场销售可获利800元，网络销售则可获利1000元，列分式方程求解；
（2）根据总利润等于现场销售的利润加网络销售的利润，列式，得二次函数，根据顶点处取得最大值，且符合问题的实际意义，可以求解．
【解析】解：
（1）设现场销售每件x元，则网络销售每件获利（x+5）元，由题意得：
解得x＝20
经检验x＝20符合题意，所以x+5＝25
答：
现场销售每件20元，网络销售每件获利25元．
（2）设农户销售甜橙获得的总利润为w，由题意得：
W＝20a+25（
a2+12a﹣200）＝﹣a2+320a+5000
∴当a＝160时，W有最大值，最大值为20600元．
答：
当a为160时，农户销售甜橙获得的总利润最大，最大利润是20600元．
5．（2019•武侯二诊）成都市某商场购进甲、乙两种商品，甲商品的购进总价y（元）与购进数量x（件）之间的函数关系如图l1所示，乙商品的购进总价y（元）与购进数量x（件）之间的函数关系如图l2所示．
（1）请分别求出直线l1，l2的函数表达式，并直接写出甲、乙两种商品的购进单价各是多少元？
（2）现该商场购进甲、乙两种商品各100件，甲、乙商品的销售单价均为70元，销售一段时间后，商场对甲商品搞促销活动，打八折继续销售剩余甲商品，乙商品的销售单价始终保持不变．若商场规定甲商品打折前的销售数量不得多于甲商品打折后的销售数量的
，那么甲商品应接原销售单价销售多少件，才能使得甲、乙两种商品全部销售完后商场获得最大利润？
最大利润为多少元？
【点拨】
（1）根据待定系数法求出l1的函数关系式，进而求出a的值，再运用待定系数法即可求出l2的函数关系式，从而求出甲、乙两种商品的购进单价；
（2）设甲商品应接原销售单价销售m件，则打折销售（100﹣m）件，根据题意列不等式求出m的取值范围；设甲、乙两种商品全部销售完后商场获得的利润为w元，列出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质解答即可．
【解析】解：
（1）设l1：
y＝k1x，
∵l1过点（50，2500），
∴50k1＝2500，解答k1＝50，
∴y＝50x；
设l2：
y＝k2x，
∵点（20，a+160）在y＝50x的图象上，
∴a+160＝1000，解得a＝840，
∵点（20，840）在y＝k2x的图象上，
∴20k2＝840，解得k2＝42，
∴y＝42x，
当x＝1时，y＝50x＝50，y＝42x＝42，
∴甲种商品的购进单价是50元，乙种商品的购进单价是42元；
（2）设甲商品应接原销售单价销售m件，则打折销售（100﹣m）件，根据题意得，
，解得m≤40，
设甲、乙两种商品全部销售完后商场获得的利润为w元，则
w＝（70﹣42）×100+（70﹣50）m+（70×0.8﹣50）（100﹣m）＝2800+20m+600﹣6m＝14m+3400，
∵14＞0，∴w随m的增大而增大，
∴当m＝40时，w取最大值，最大值为14×40+3400＝3960（元）．
答：
甲商品应接原销售单价销售40件，才能使得甲、乙两种商品全部销售完后商场获得最大利润，最大利润为3960元．
6．（2019•双流二诊）某文具店出售一种文具，每个进价为2元，根据长期的销售情况发现：
这种文具每个售价为3元时，每天能卖出500个，如果售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个．物价局规定售价不能超过进价的240%．
（1）如果这种文具要实现每天800元的销售利润，每个文具的售价应是多少？
（2）该如何定价，才能使这种文具每天的利润最大？
最大利润是多少？
【点拨】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．依据题意根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润W（元）与销售价x（元/个）之间的函数关系式W＝（x﹣2）（500﹣
10），再依据函数的增减性求得最大利润．
【解析】解：
（1）设实现每天800元利润的售价为x元/个，根据题意，得
（x﹣2）（500﹣
10）＝800
整理得：
x2﹣10x+24＝0，解得：
x1＝4，x2＝6
∵物价局规定，售价不能超过进价的240%，即2×240%＝4.8（元）
∴x＝6不合题意，舍去，∴x＝4
∴售价为4元/个，每天可获得800元的利润
（2）设每天利润为w元，定价为x元/个，得
w＝（x﹣2）（500﹣
10）＝﹣100x2+1000x﹣1600＝﹣100（x﹣5）2+900
当x≤5时w随x的增大而增大，且x≤4.8
∴当x＝4.8时，w最大
w最大＝﹣100×（4.8﹣5）2+900＝896
∴当定价为4.8元/个时，每天利润最大，最大利润是896元
7．（2019•金牛二诊）为更新果树品种，某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种树苗的单价为7元/棵，购买B种苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若在购买计划中，B种树苗的数量不超过35棵，但不少于A种树苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．
【点拨】
（1）根据函数图象找出点的坐标，结合点的坐标分段利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量可得出关于x的一元一次不等式组，解不等式组求出x的取值范围，再根据“所需费用为W＝A种树苗的费用+B种树苗的费用”可得出W关于x的函数关系式，根据一次函数的性质即可解决最值问题．
【解析】解：
（1）设y与x的函数关系式为：
y＝kx+b，
当0≤x≤20时，把（0，0），（20，160）代入y＝kx+b中，
得：
，解得：
，
此时y与x的函数关系式为y＝8x；
当20≤x时，把（20，160），（40，288）代入y＝kx+b中，
得：
，解得：
，
此时y与x的函数关系式为y＝6.4x+32．
综上可知：
y与x的函数关系式为y
．
（2）∵B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量，
∴
，
∴22.5≤x≤35，
设总费用为W元，则W＝6.4x+32+7（45﹣x）＝﹣0.6x+347，
∵k＝﹣0.6，
∴W随x的增
升级会员 