考研数学三真题及答案解析.docx
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考研数学三真题及答案解析
2005年考研数学（三）真题
、填空题
（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）
2）
微分方程xyy0满足初始条件y
（1）2的特解为
4）设行向量组（2,1,1,1），（2,1,a,a），（3,2,1,a），（4,3,2,1）线性相关，且a1，则a=
5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从1,2,,X中任取一个数，记为Y,则
P{Y2}=
6）设二维随机变量（X,Y）的概率分布为
XY
0
1
0
0.4
a
1
b
0.1
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
32
（7）当a取下列哪个值时，函数f（x）2x39x212xa恰好有两个不同的零点.
（A）
2.
（B）
4.（C）6.
（D）8.
[
]
（8）设I1
cos
x2y2d,I
2cos（x2
y2）d
I3
cos（x2
22
y2）2d,其中
D
D
D
D{（x,y）
x2
y21}
，则
（A）
I3
I2
I1.
（B）I1
I2I3
（C）
I2
I1I
3.
（D）I3
I1I2
[
]
（9）设an
0,n
1,2,,若a
n发散，（
n1
1）n1an
收敛，
则下列结论正确的是
n1
n1
（A）
a2n
1收敛，a2n
发散.
（B）
a
2n收敛，a
2n1发散.
n1
n1
n1
n1
（
C）
（a2n
n1
1a2n）收敛.
（D）
（a2n
n1
1a
2n）收敛.
[]
10）设f（x）xsinxcosx,下列命题中正确的是
（A）
f（0）是极大值，
f（）是极小值.
（B）
f（0）是极小值，
f（）是极大值.
2
C）
f（0）是极大值，
f（）也是极大值.
2
（D）
f（0）是极小值，
f（）也是极小值
2
11）
以下四个命题中，
正确的是
[]
（A）若f（x）在（0，1）内连续，则
f（x）在（0，1）内有界
B）若f（x）在（0，1）内连续，则f（x）在（0，1）内有界.
C）若f（x）在（0，1）内有界，则f（x）在（0，1）内有界.
（D）若f（x）在（0，1）内有界，则f（x）在（0，1）内有界.[]
12）设矩阵A=（aij）33满足A*AT，其中A*是A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵.若a11,a12,a13
为三个相等的正数，则a11为
22
14）设一批零件的长度服从正态分布N（,2），其中,2均未知.现从中随机抽取16个零件，
测得样本均值x20（cm），样本标准差s1（cm），则的置信度为0.90的置信区间是
22设f（u）具有二阶连续导数，且g（x,y）f（y）yf（x），求x2g2y2g2xyxy
17）（本题满分9分）
计算二重积分x2y21d，其中D{（x,y）0x1,0y1}.
D
（18）（本题满分9分）
求幂级数（11）x2n在区间（-1,1）内的和函数S（x）.
n12n1
（19）（本题满分8分）
设f（x）,g（x）在[0，1]上的导数连续，且f（0）=0,f（x）0,g（x）0.证明：
对任何a[0,1],有
（20）（本题满分13分）已知齐次线性方程组
x1
2x2
3x3
0,
i）2x1
3x2
5x3
0,
x1
x2
ax3
0,
和x1bx2cx30,
（ii）2
2x1b2x2（c1）x30,同解，求a,b,c的值.
（21）（本题满分13分）
T1
II）利用（I）的结果判断矩阵BCTA1C是否为正定矩阵，并证明你的结论（22）（本题满分13分）
设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
求：
（I）（X,Y）的边缘概率密度fX（x）,fY（y）；
II）Z2XY的概率密度fZ（z）.
（23）（本题满分13分）
设X1,X2,,Xn（n2）为来自总体N（0,2）的简单随机样本，X为样本均值，记
YiXiX,i1,2,,n.
求：
（I）Yi的方差DYi,i1,2,,n；
II）Y1与Yn的协方差Cov（Y1,Yn）.
c.
III）若c（Y1Yn）2是2的无偏估计量，求常数
2005年考研数学（三）真题解析
、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）2x
（1）极限limxsin2=2.
xx21
=limx22.
1xx21
【分析】本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.【详解】limxsin22x2x
xx2
分析】直接积分即可
【分析】基本题型，直接套用相应的公式即可
【详解】zexyxexyln（1y）,x
zxyx1
xe,
y1y
于是dz2edx（e2）dy.
（1,0）
4）设行向量组（2,1,1,1），（2,1,a,a），（3,2,1,a），（4,3,2,1）线性相关，且a1，则a=1
2
分析】四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a.
详解】由题设，有
X中任取一个数，记为Y,则
5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从1,2,
13
P{Y2}=.
48
【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式,且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.
【详解】P{Y2}=P{X1}P{Y2X1}+P{X2}P{Y2X2}
+P{X3}P{Y2X3}+P{X4}P{Y2X4}
1
=4
6）设二维随机变量（X,Y）
11
23
的概率分布为
（0
113
）
448
XY
0
1
0
0.4
a
1
b
0.1
0}与{X
{X
Y
已知随机事件
1}相互独立，则a=0.4,b=0.1
【分析】a,b的取值.
【详解】
首先所有概率求和为
1，可得a+b=0.5,其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定
由题设，知
a+b=0.5
又事件{X0}与{X
Y1}相互独立，于是有
P{X0,X
Y1}P{X0}P{XY1}，
即a=（0.4a）（ab）,
由此可解得a=0.4,b=0.1
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
7）当a取下列哪个值时，函数f（x）2x39x212xa恰好有两个不同的零点
（A）2.（B）4.（C）6.（D）8.[B]
【分析】先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极值为零时，函数
f（x）恰好有两个不同的零点
详解】
f（x）
2
6x18x12=6（x1）（x2），知可能极值点为x=1,x=2，且
a，可见当
a=4时，函数f（x）恰好有两个零点，
故应选（B）.
（8）
设I1cosx2
D
y2d
I2
{（x,y）
22
x2y21}，则
（A）
I3I2I1.
（B）
（C）
I2I1I3.
（D）
【分析】关键在于比较x2
2
y、
2x
【详解】在区域D{（x,y）
2x
y21
f
（1）
5a,f
（2）4
D
由于cosx在（0,）
上，有0
I1
I3
22y与（x
2上为单调减函数，于是
cos（x2
y2）d
I3cos（x2
D
y2）2d,其中
I2
I1
I3.
I2.
22
y2）2在区域D{（x,y）x
2
y21}上的大小.
22
xy1，从而有
因此
22
cosxyd
D
cos（x2y2）d
D
cos（x2y2）2d，故应选（A）.
D
9）设an
0,n1,2,
若an发散，
n1
n1
（1）n1an收敛，则下列结论正确的是n1
（A）
a2n1
收敛，a2n发散
.（B）
a2n收敛，
a2n1发散
n1
n1
n1
n1
（C）
（a2n
n1
1a2n）收敛.
（D）（a2n
n1
1a2n）收敛.
[D]
分析】可通过反例用排除法找到正确答案.
详解】取an1，则an发散，
（1）n1an收敛，
nn1n1
故应选（D）.
但a2n1与a2n均发散，排除（A）,（B）选项，且（a2n1a2n）发散，进一步排除（C）,
n1n1n1
事实上，级数（a2n1a2n）的部分和数列极限存在.
n1
（10）设f（x）xsinxcosx,下列命题中正确的是
C）f（0）是极大值，f（）也是极大值.（D）f（0）是极小值，f（）也是极小值22
[B]分析】先求出f（x）,f（x），再用取极值的充分条件判断即可.
详解】
f（x）sinxxcosxsinxxcosx，显然f（0）
0,f
（2）
0，
又f（x）cosxxsinx，且f（0）应选（B）.
（11）以下四个命题中，正确的是
10,f
（2）
0，故f（0）是极小值，f
2
是极大值，
（A）若f（x）在（0，1）内连续，则f（x）在（0，1）内有界.
B）若f（x）在（0，1）内连续，则f（x）在（0，1）内有界.
C）若f（x）在（0，1）内有界，则f（x）在（0，1）内有界.
分析】通过反例用排除法找到正确答案即可.
11
详解】设f（x）=,则f（x）及f（x）2均在（0，1）内连续，但f（x）在（0，1）内无界，排除（A）、
xx
*T*T
12）设矩阵A=（aij）33满足A*AT，其中A*是A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵.若a11,a12,a13
为三个相等的正数，则a11为
分析】题设与A的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式：
AA*A*AAE..
【详解】由A*AT及AA*A*AAE，有aijAij,i,j1,2,3，其中Aij为aij的代数余子式，
23
且AATAEA2A3A0或A1
（13）设1,2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为1,2，则1，A（12）线
性无关的充分必要条件是
（A）
10.（B）20.（C）10.（D）20.
[D]
分析】
讨论一组抽象向量的线性无关性，
可用定义或转化为求其秩即可
详解】
方法一：
令k11k2A（1
2）0，则
k1
1k211k2220，
（k1k21）1k2220.
由于1,2线性无关，于是有
当20时，显然有k10,k20，此时1，A（12）线性无关；反过来，若1，A（12）
2）=11线性相关），故应选（B）.
线性无关，则必然有20（,否则，1与A（1
方法二：
由于[1,A（1
2）][1,11
22][1,
2]
可见1，A（1
2）线性无关的充要条件是
20.故应选（D）.
2均未知.现从中随机抽取16个零件，
14）设一批零件的长度服从正态分布N（,2），其中
测得样本均值x20（cm），样本标准差s1（cm），则的置信度为0.90的置信区间是
1111
（A）（20t0.05（16）,20t0.05（16））.（B）（20t0.1（16）,20t0.1（16））.
4444
1111
t0.05（15）,20t0.05（15））.（D）（20t0.1（15）,20t0.1（15））.[C]
4444
x
~t（n1）.
sn
（C）（20
分析】
总体方差未知，求期望的区间估计，用统计量：
详解】
由正态总体抽样分布的性质知，
1），故的置信度为0.90的置信区间是
1
（xt（n
n2
11
1）,xt（n1）），即（20t0.05（15）,20
n24
1
t0.05（15））.故应选（C）.
4
、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15）（本题满分
1x
求lxim0（1
【分析】
8分）
1x）.
x
"型未定式，
般先通分，再用罗必塔法则
详解】
lxim0（1
1x
x
e
1x）
x
x
2
x
1
xe
0
x（1
e
x）
2
1
x
x
x
e
2
x
1
2x
xe
2x
2
xe
3
2
2
lxim0
=lxim0
=lxim0
=lxim0
16）（本题满分8分）
设f（u）具有二阶连续导数，
2
g（x,y）f（y）yf（x），求x2g2xyx
2
y2y2g2.
y2
分析】先求出二阶偏导数，详解】由已知条件可得
再代入相应表达式即可
gy
2xx
f（y）f（x），
xy
所以
2
2g
2
x
2y
3x
f（y）x
2yx4
f（x）1f（x），
y
y
y
g
1
f（y）
f（x）
xf
（x），
y
x
x
y
y
y
2
2
g
2
1
2
f
（yx）
x2f
2
（xy）
x2f
2
（yx）x23f
（xy）
y
x
x
y
y
y
yy3
y
2
2
g
2
g
2
y
2
x
y
2
2
2
2
=2yf
（y
）
xy22f
（x）
x2f
（x）
y22f（y）
x
x
x
x
y
y
y
xx
y
x2
（x）y
=2yf
x17）（本题满分
（yx）.
x
9分）
2
x
D
被积函数含有绝对值，
计算二重积分
分析】
详解】
x2
18）
1d
，其中D
{（x,y）0
x1,0
y1}.
应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可
记D1{（x,y）
D2
y21d
1,（x,y）
D}，
{（x,y）x2
（x2
D1
（r2
2
y2
1）rdr
1,（x,y）
1）dxdy
（x2
D}，
（x2
D2
1）dxdy
y21）dxdy
（x2
D1
y21）dxdy
1
dx（x
y21）dy
2d
0
0（r2
1）rdr=
4
本题满分9分）
1
求幂级数（1
n12n1
1）x2n在区间（-1,1）内的和函数
S（x）.
【分析】幂级数求和函数一般采用逐项求导或逐项积分，从而达到求和的目的.
【详解】设
转化为几何级数或已知函数的幂级数展开式，
1
S（x）n1（2n111）x2n，
由于
因此
S1（x）n12n11x2n
S2（x）
2n
x，
1
S（x）S1（x）S2（x），x
S2（x）
n
（xS1（x））
xS1（x）
1,1）.
2n
x
2n
x
2,x（x
1,1）,
t2
01tt2dt
11x
ln
21x
又由于
S1（0）
0，故
所以
S（x）
S1（x）S2（x）
11x
ln
2x1x
0,
x2,xx01,.
19）
本题满分
8分）
设f（x）,g（x）在[0，
1］上的导数连续，且f（0）=0,f
（x）
0,g（x）0.证明：
对任何a[0,1],有
【分析】可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论【详解】方法一：
设
x1
F（x）0g（t）f（t）dt0f（t）g（t）dtf（x）g
（1），
则F（x）在［0，1］上的导数连续，并且
F（x）g（x）f（x）f（x）g
（1）f（x）［g（x）g
（1）］，
由于x
[0,1]时，f（x）
0,g（x）
0，因此F（
）0，即F（x）在［0，1］上单调递减
注意到
1
F
（1）0g（t）f
（t）dt
1
0f（t）g（t）dt
f
（1）g
（1），
而
1
0g（t）f（t）dt
1
0g（t）df（t）g（t）f（t）
11
00f（t）g（t）dt
1
=f
（1）g
（1）0f（t）g（t）dt，
故F
（1）=0.
因此x[0,1]时，F（x）0，由此可得对任何a[0,1]，有
a
=f（a）g（a）0f（x）g（x）dx，
f（x）g（x）dx
a
=f（a）g（a）0f（x）g（x）dx
由于x[0,1]时，g（x）0，因此
f（x）g（x）f（a）g（x），x[a,1]，
a1
从而g（x）f（x）dxf（x）g（x）dx（20）（本题满分13分）已知齐次线性方程组
x1
2x2
3x3
0,
i）2x1
3x2
5x3
0,
x1
x2
ax3
0,
和x1bx2cx30,
（ii）2
2x1b2x2（c1）x30,
同解，求a,b,c的值.
a，这样先求出
.因为方程组（i）
【分析】方程组（ii）显然有无穷多解，于是方程组（i）也有无穷多解，从而可确定（i）的通解，再代入方程组（ii）确定b,c即可.
【详解】方程组（ii）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（ii）有无穷多解
与（ii）同解，所以方程组（i）的系数矩阵的秩小于3.
对方程组（i）的系数矩阵施以初等行变换
123101
235011
11a00a2
从而a=2.此时，方程组
的系数矩阵可化为
故（1,1,1）T是方程组（i）的一个基础解系
将x11,x21,x31代入方程组（ii）可得
b1,c2或b0,c1.
当b1,c2时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有
1
12
10
1，
2
13
01
1
显然此时方程
组（
i）与（ii）
同解.
当b0,c
1时，
对方程组（
ii）的系数矩阵施以初等行变换，有
1
01
10
1，
2
02
00
0
显然此时方程组（i）与（ii）的解不相同
分析】第一部分直接利用分块矩阵的乘法即可；第二部分是讨论抽象矩阵的正定性，一般用定义
EmoACEm
CTA1EnCTBo
1ACEmA1C
oBCTA1CoEn
AooBCTA1C
II）矩阵BCTA1C是正定矩阵.
由（I）的结果可知，矩阵D合同于矩阵
又D为正定矩阵，可知矩阵M为正定矩阵.
因矩阵M为对称矩阵，故BCTA1C为对称矩阵.对X（0,0,,0）T及任意的
Y（y1,y2,,yn）T0，有
（XT,YT）oAo
o
BCTA1C
TT1T1
YT（BCTA1C）Y0.故BCTA1C为正定矩阵.
13分）
（22）（本题满分
设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
求：
（I）
（X,Y）的边缘概率密度fX（x）,fY（y）；
II）
Z2XY的概率密度fZ（z）.
（III）
P{Y1X
2
12}.
求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，
即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度;直接用条件概率公式计算即可.
关于X的边缘概率密度
2x
0dy,0
0,
分析】
详解】（I）
fX（x）=
f（x,y）dy=
x1,
其他.
关于Y
fY（y）=
II）
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