数字滤波器设计及其应用.docx

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数字滤波器设计及其应用

数字滤波器设计及其应用

在本文中，我们分别研究了在MATLAB环境下IIR数字滤波器的

典型设计和完全设计等方法。

典型设计是先按一定规则将给出的数字滤波器的技术指标转换成

模拟低通滤波器的技术指标，据此产生模拟滤波器原型，然后把模拟

低通滤波器原型转换成模拟低通、高通、带通、带阻滤波器，最后再

把模拟滤波器转换成数字滤波器。

完全设计方法中我们利用函数直接设计出低通、高通、带通和带阻滤波器，并分别用巴特沃斯（Butterworth）滤波器、切比雪夫（Chebyshev）滤波器、椭圆（Cauw）滤波器来实现，并比较了各自的

频率响应曲线。

在FIR滤波器的设计中，我们用切比雪夫窗和海明窗设计的带通

滤波器的频率响应进行对照，结果表面用海明窗设计的滤波器的频率特性几乎在任何频带上都比切比雪夫窗设计的滤波器的频率特性好，只是海明窗设计的滤波器下降斜度较小。

本文利用不同的滤波器研究了MATLAB环境下的图像处理技术。

对一张无锡马山园林的风景照片进行的二种修正，取得了不同的效果:

先对原图进行线性变换增加了对比度和亮度对这张图像，图像效果有了一定的改善。

后来我们用非锐化滤波器对修正后的图像再进行了处理，对图像的过渡失真进行了补偿。

：

本文还对一幅加噪声婚纱照片的去噪效果进行了研究。

比较去噪效果证明，用小波变换的方法进行去噪，图像处理效果更佳。

关键词：

数字滤波器；图像处理；小波变换；

作者：

王蔚

指导教师：

顾济华

Abstract

Inthisthesis，thetypicalandcompletedesignsunderMATLABarestudied.

Thetypicaldesigngetsthetechnicalparametersfromdigitalfiltersthatshouldbedesigned,andthentransformedintotheanalogparametersofalow-passanalogfilterprototype.Theprototypeisconvertedintotheanaloglow-pass，high-pass，band-passandtheband-stopfiltersrespectively,whicharetransformedintothedigitalones.

Thecompletedesignusesthegivenfunctionsandreleasesthelow-pass，high-pass，band-passandtheband-stopfiltersdirectly.Butterworth,ChebyshevandCaoerfiltersareusedfortheimplementations.

IntheFIRfilterdesigns,ChebyshevandHammingwindowsareusedforaband-passfilter.Theirfrequencyresponsesarecompared.TheadvantageofHammingwindowisshownonallbands.

Finally,theimageprocessingfunctionsusingfiltersunderMATLABarestudied.

Aphoto（WuxiGarden）ismodifiedwithtwodifferentprocessesandthedifferenteffectscanbeseen.Thelineartransformationimprovedthecontrastandbrightnessofthephoto,whiletheun-sharpeningfiltercompensatedthetransitions.

Anotherphotoismodifiedwiththewavelettransformation,whichshowsthebettereffectsonreducingnoises.

Keywords:

digitalfilter,imageprocessing，wavelettransformation

Author:

WangWei

DirectedbyGuJi-Hua

第一章绪

数字滤波在通信、图像编码、语音编码、雷达等许多领域中有着十分广泛的应用1n[2]。

目前，数字信号滤波器的设计图像处理、数据压缩等方面的应用取得了令人瞩目的进展和成就。

近年来迅速发展起来的的小波理论，由于其局部分析性能的优异在图像处理中的应用研究，尤其是在图像压缩、图像去噪等方面的应用研究，受到了越来越多的关注[3H6]。

MATLAB是美国MathWorks公司推出的一套用于工程计算的可视化高性能语言与软件环境m。

MATLAB为数字滤波的研究和应用提供了-个直观、高效、便捷的利器。

它以矩阵运算为基础，把计算、可视化、程序设计融合到了一个交互式的工作环境中。

MATLAB推出的工具箱使各个领域的研究人员可以直观方便地进行科学研究、工程应用，其中的信号处理（signalprocessing）、图像处理（imageprocessing）、小波（wavelet）等工具箱为数字滤波研究的蓬勃发展提供了有力的工具！

8Hm。

本文着重研究了基于MATLAB下的I1R和FIR滤波器的设计实现、数字图像处理中的滤波器的设计，并就利用小波变换滤波器进行数字

图像去噪进行了一些粗浅的尝试。

第二章数字滤波器

2.1什么是数字滤波器

滤波器是指用来对输入信号进行滤波的硬件和软件。

所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。

数字滤波器和模拟滤波器相比，因为信号的形式和实现滤波的方法不同，数字滤波器具有比模拟滤波器精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不要求阻抗匹配等优点。

一般用两种方法来实现数字滤波器：

一是釆用通用计算机，把滤波器所要完成的运算编成程序通过计算机来执行，也就是采用计算机软件来实现；二是设计专用的数字处理硬件。

MATLAB的信号处理工具箱是专门应用于信号处理领域的专用工具箱，它的两个基本组成就是滤波器的设计与实现部分以及谱分析部分.工具箱提供了丰富而简便的设计，使原來繁琐的程序设计简化成函数的调用。

只要以正确的指标参数调用相应的滤波器设计程序或工具箱函数，便可以得到正确的设计结果，使用非常方便。

2.2数字滤波器的分类

数字滤波器从功能上分类：

可分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器。

从滤波器的网络结构或者从单位脉冲响应分类：

可分为IIR滤波器

（即无限长单位冲激响应滤波器）和FIR滤波器（即有限长单位冲激响应滤波器）。

它们的函数分别为：

第一个公式中的H（z）称为N阶IIR滤波器函数，第二个公式中的H（z）称为（N-1）阶FIR滤波器函数。

2.3数字滤波器的设计要求和方法

滤波器的指标常常在频域给出。

数字滤波器的频响特性函数H

（ejw）—般为复函数，所以通常表示为

H（ejw）-|H（ejw）|eje（w）

其中，|H（e>）|称为幅频特性函数；9（w）称为相频特性函数。

幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况，而相频特性反映各频率通过滤波器后在时间上的延时情况。

一般对hr数字滤波器，通常只用幅频响应函数iH（e>）|来描述设计指标，相频特性一般不作要求。

而对线性相位特性的滤波器，一般用FIR数字滤波器设计实现。

IIR低通滤波器指标参数如图2.3.1所示。

图中，toH和u,分别为通带边界频率；

S,和5,分别为通带波纹和阻带波纹；允许的衰减一般用dB数表示，通带内所允许的最大衰减（dB）和阻带内允许的最小衰减（dB）分别为ap和as.表示

-1—n,1+<5^1

aa=-20lg=20lgL

as--20lg82

一般要求：

当0彡|co丨彡％时，-201g|H（ejw）丨彡ap;

当co<|a>|彡ii时，as^-201g|H（ejw）|。

§2.4数字滤波器设计方法概述

IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法很不相同，IIR滤波器设计方法有两类，经常用到的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。

其设计思路是：

先设计模拟滤波器得到传输函数（s）,然后将HJs）按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H（Z）。

这一类方法是基于模拟滤波器的设计方法相对比较成熟，它不仅有完整的设计公式，也有完整的图表供查阅。

更可以直接调用MATLAB中的对应的函数进行设计。

另一类是直接在频域或者时域中进行设计的，设计时必须用计算机作辅助设计，直接调用MATLAB中的一些程序或者函数可以很方便地设计出所需要的滤波器。

FIR滤波器不能采用由模拟滤波器的设计进行转换的方法，经常用的是窗函数法和频率釆样法。

也可以借助计算机辅助设计软件釆用切比雪夫等波纹逼近法进行设计。

第三章IIR滤波器的设计

§3.1典型的IIR数字滤波器的设计

模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有一些典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯（Butterworth）滤波器、切比雪夫（Chebyshev）滤波器、椭圆（Cauer）滤波器、贝塞尔（Bessel）滤波器等，这些典型的滤波器各有特点。

用MATLAB进行典型的数字滤波器的设计，一般步骤如下：

⑴按一定规则将给出的数字滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标；

⑵根据转换后的技术指标使用滤波器阶数选择函数，确定最小阶数N和固有频率Wn，根据选用的模拟低通滤波器的类型可分别用函数：

buttord、cheblord、cheb2ord、ellipord等；

⑶运用最小阶数N产生模拟滤波器原型，模拟低通滤波器的创建函数有:

buttap、cheblap、cheb2ap、ellipap、besselap等；

⑷运用固有频率Wn把模拟低通滤波器原型转换成模拟低通、高通、带通、带阻滤波器，可分别用函数丨p21p、lp2hp、lp2bp、]p2bs；

（5）运用冲激响应不变法或双线性变换法把模拟滤波器转换成数字滤波器，分别用函数impinvar和bilinear来实现。

低通ChebyshevI型数字滤波器的设计：

设计中需要限定其通带上

限临界频率wp，阻带临界滤波频率ws，在通带内的最大衰减rp，阻带内的最小衰减rs。

设计过程如下：

把数字滤波器的频率特征转换成模拟滤波器的频率特征；

（例如设定各参数wp=30*2*pi;ws=40*2*pi;Fs=100;rp=0.3;rs-80;）

选择滤波器的阶数：

[N,Wn]=cheblord（wp,ws,rp,rs/sr）;

创建ChebyshevI型滤波器原型：

[z，p，k]=cheblap（N，rp）;

表达形式从零极点增益形式转换成状态方程形式：

[A，B,C，D]=zp2ss（z，p，k）;

把模拟低通滤波器原型转换成模拟低通滤波器：

[At，Bt’Ct，Dt]=lp21p（A,B，C，D，Wn）;

表达形式从状态方程形式转换成传递函数形式：

[numl，denl]=ss2tf（At，Bt’Ct,Dt）;

釆用冲激响应不变法将模拟滤波器转换成数字滤波器:

[num2,den2]=impinvar（numl,denl,100）;

频率响应如图3.1.1:

ChebyshevI

图3.1.1低通ChebyshevI型数字滤波器的频率响应

[N，Wn]=cheblord（Wp，wS，rp，rs，Y）该函数返回模拟滤波器的最小阶数N和Chebyshev；[型固有频率Wn。

其中的wp、ws是以弧度为单位。

如果rp=3dB,则固有频率Wn等于通带截止频率WJK

[z,p?

k]=cheblap（N,rp）该函数返回一个N阶ChebyshevI型滤波器的零点、极点和增益。

这个滤波器有通带内的最大衰减为rp。

ChebyshevI型滤波器的主要特点是在阻带内达到最大平滑。

[At，Bt，Ct，Dt]-lp21p（A，B，C，D，Wn）该函数把模拟低通滤波器

原型转换成截止频率为Wn的低通滤波器。

[num2>den2]=impinvar（nutnl，denl，Fs）该函数模拟滤波器传递

函数形式[numl，denl]转换为采样频率为Fs的数字滤波器的传递函数形式[num2，den2]。

Fs缺省时默认为1Hz。

[H，W]=freqz（num2，den2，N）该函数返回数字滤波器的频率响应。

当N是一个整数时，函数返回N点的频率向量H和N个点的复频响应向量W。

N最好选用2的整数次幂，这样使用FFT进行快速运算。

N个频率点均匀地分布在单位圆的上半圆上。

系统的N默认值为512。

§3.2完全滤波器设计

除了典型设计以外，MATLAB信号处理工具箱提供了几个直接设计IIR数字滤波器的函数，直接调用就可以设计滤波器，这为设计通用滤波器提供了方便。

设计Butterworth滤波器用函数butter（），可以设计低通、高通、带通和带阻的数字和模拟滤波器，其特性是通带内的幅度响应最大限度的平滑，但损失了截止频率处的下降斜度。

设计ChebyshevI型滤波器用函数cheby1（卜可以设计低通、高通、带通和带阻的数字和模拟ChebyshevI型滤波器，其通带内为等波紋，阻带内为单调。

ChebyshevI型滤波器的下降斜度比]I型大，但其代价目是通带内波纹较大。

设计ChebyshevH型滤波器用函数cheby2（）。

可以设计低通、高通、带通和带阻的数字和模拟Chebyshev】1型滤波器，其通带内为单调，阻带内等波纹。

ChebyshevH型滤波器的下降斜度比I型小，但其阻带内波纹较大。

设计椭圆滤波器用函数ellip（）,与chebyl、cheby2类似，可以设计低通、高通、带通和带阻的数字和模拟滤波器。

与Butterworth和chebyshev滤波器相比，ellip函数可以得到下降斜度更大的滤波器，得

通带和阻带均为等波纹。

一般情况下，椭圆滤波器能以最低的阶实现指定的性能指标。

在使用各类滤波器函数时应当注意以下重点：

A、阶数和固有频率的选择：

[N，Wn]=buttord（Wp，Ws，Rp，Rs）可得到符合要求性质的滤波器的最小阶数N以及数字Buttenvorth滤波器的固有频率Wn（即3dB）。

设计的要求是在通带内的衰减不超过Rp，在阻带内的衰减不小于Rs,通带和阻带有截止频率分别是Wp，Ws,它们是归一化的频率，范围是[0，1],对应TT弧度。

[N，Wn]=cheblord（Wp，Ws，Rp，Rs）可得到符合要求性质的滤波器的最小阶数N以及chebyshevI型数字滤波器的固有频率Wn（即3dB）。

设计的要求是在通带内的衰减不超过Rp,在阻带内的衰减不小于rs，通带和阻带有截止频率分别是Wp，Ws,它们都是归一化的频率。

[N，Wn]=cheb2ord（WP，Ws，Rp，Rs）可得到符合要求性质的滤波器的最小阶数N以及chebyshevII型数字滤波器的固有频率Wn（即3dB）。

设计的要求是在通带内的衰减不超过Rp，在阻带内的衰减不小于Rs，

通带和阻带有截止频率分别是Wp，Ws,它们都是归一化的频率。

[N，Wn]=eIlipord（WP，WS，RP，Rs）可得到符合要求性质的滤波器的最小阶数N以及椭圆数字滤波器的固有频率Wll（即3dB）。

设计的要求是在通带内的衰减不超过Rp，在阻带内的衰减不小于RS,通带和阻带有截止频率分别是Wp，Ws,它们都是归一化的频率。

B、有关滤波器设计当中的频率归一化问题：

信号处理工具箱中经

吊使用的频率是Nyquist频率’它被定义为采样频率的一半，在滤波器

的阶数选择和设计中的截止频率均使用Nyquist频率进行归一化处理。

例如对于一个采样频率为1000Hz的系统，400Hz的归一化即为

400/500=0*8。

归一化频率的范围在[0，1]之间。

如果要将归一化频率转

换为角频率，则将归一化频率乘以n;如果要将归一化频率转换为Hz,则将归一化频率乘以釆样频率的一半。

C、设计一个N阶的低通Butterworth滤波器使用函数[BsA]-buUer（N?

Wn）f返回滤波器系数矩阵[B,A],其中固有频率Wn必须是归一化频率《>它的最大值是釆样频率的一半。

Fs缺省时默认为2Hl如果Wn-[W1，W2]是一个两元素的向量，则函数将设计出一个2N阶的带通滤波器，通带为[W1，W2]。

用[B，A]=butter（N，Wti，’high’）可设计一个高通滤波器。

使用[B，A]=buUer（N，Wn，’stop’）可设计一个带阻滤波器。

其中Wn必须是一个两元素的向量，阻带的宽度为[W1，W2]。

buUer（N，Wn，’s，），buUer（N，Wn，，high，，’s，），butter（N，Wn/stop，，，s’）分别用来设计Buttenvorth的低通、高通、带通和带阻模拟滤波器。

D、设计一个N阶的低通chebyshevI型滤波器可使用函数[B，A]-chebyl（N，R，Wn）,返回滤波器系数矩阵[B，A]。

其中固有频率Wn必须是归一化频率。

它的最大值是釆样频率的一半。

Fs缺省时默认为2Hzc如果Wn=[Wl，W2]是一个两元素的向量，则函数将设计出一个2N阶的带通滤波器，通带为[W1,W2]。

R是滤波器通带内的最大衰减&如果无法确定R的值，即可以选用0,5dB作为起始点。

[B，A]-chebyl（N,R，Wn，’high’）设计一个高通滤波器。

[B，A]-chebyl（N，R，Wn，’stop’）设计一个带阻滤波器。

其中Wn必须是一个两元素的向量，阻带的宽度为[W1，W2]。

Chebyl（N，R，Wn,，s，）,chebyl（N，R，Wn，，high，，，s，），chebyl（N，R，Wn，，stop’，’s’）分别用来设计chebyshevI型的低通、高通、带通和带阻模拟滤波器。

E、设计一个N阶的低通chebyshevII型滤波器可使用函数[B,A]=cheby2（N,R,Wn），返回滤波器系数矩阵[B，A]。

其中固有频率Wn必须是归一化频率。

它的最大值是采样频率的一半。

Fs默认为2Hz。

如果Wn=[Wl,W2]是一个两元素的向量，则函数将设计出一个2N阶的

带通滤波器，通带为[W1，W2]。

R是滤波器通带内的最大衰减。

如果无法确定R的值，即可以选用0.5dB作为起始点。

[B，A]=cheby2（N，R，Wn，’high’）设计一个髙通滤波器。

[B，A]=cheby2（N，R，Wn，’stop’）设ii个带阻滤波器。

其中Wn必须是一个两元素的向量，阻带的宽度为[W1，W2]。

Cheby2（N，R，Wn，，s’），cheby2（N，R，Wn，，high，，，s，），cheby2（N，R，Wn，，stop’，’s’）分别用来设计chebyshevll型的低通、高通、带通和带阻模拟滤波器。

F、设计一个N阶的低通椭圆滤波器用[B，A]=ellip（N，rp，rs，Wn）,返回滤波器系数矩阵[B，A]。

其中固有频率Wn必须是归一化频率。

它的最大值是采样频率的一半。

Fs默认为是2Hz。

如果Wn=[Wl，W2]是一个两元素的向量，则函数将设计出一个2N阶的带通滤波器，通带为[W1，W2]。

rp是滤波器通带内的最大衰减，rs是滤波器阻带内的最小衰减。

如果无法确定rp和rs的值，即可以选用0.5dB和20dB作为起始点。

[B，A]=ellip（N,rp，rS，Wn，’high’）设计一个高通滤波器。

[B，A]=ellip（N，rp，rS，Wn，’St0p’）设计一个带阻滤波器。

其中Wn必须是一个两元素的向量，阻带的宽度为[W1，W2]。

ellip（N，R，Wn，，s，），ellip（N，R，Wn，，high，，，s’）ellip（N’R，Wn，’stop，,，s，）分别用来设计椭圆低通、高通、带通和带阻模拟滤波器。

⑴几种类型在低通滤波器设计中的比较：

设：

Wp=30Hz，Ws;35Hz,Fs=100，Rp=0.5dB,Rs=40dB分别用巴特沃斯（Butterworth）滤波器、切比雪夫（Chebyshev）滤波器、椭圆（Cauer）滤波器，程序设计如下：

巴特沃斯低通滤波器：

[nl,Wnl]=buttord（wp/（Fs/2））ws/（Fs/2）,rp,rs5,zf）;

[numl,denl]=butter（nlsWnl）;

切比雪夫1型低通滤波器：

[n2,Wn2]=;cheblord（wp/（Fs/2）>ws/（Fs/2）,rp>rsJ,zT）;

[num2，den2]=chebyl（n2，rp，Wn2）;

切比雪夫II型低通滤波器：

[n3，Wn3]=cheb2o^d（wp/（Fs/2），ws/（Fs/2），rp，^s，’z,）;

[num3，den3]=cheby2（n3，rp，Wn3）;

椭圆低通滤波器：

[n4，Wn4]=ellipord（wp/（Fs/2），ws/（Fs/2），rp，rs，，z'）;

[num4,den4]:

:

:

:

ellip（n3,rp,rsTWn3）;

设计出的低通滤波器的频率响应如图3.2.1。

⑵几种类型在高通滤波器设计中的比较：

设：

Wp=35Hz，Ws=30Hz，Fs=100，Rp=0,5dB，Rs=40dB分别用巴特沃

斯（Butterworth）滤波器、切比雪夫（Chebyshev）滤波器、椭圆（Cauer）

滤波器程序设计如下：

butterworth高通滤波器：

[nl，Wnl]=buttord（wp/（Fs/2）,ws/（Fs/2）:

rp,rs,,zt）;

[num1,denl]=butter（n1,Wnl;'highr）;chebyshevI高通滤波器：

[n2，Wn2]=cheblordfwp/CFs/SXws/fFs/^Xrp’rsJz,）;[num2,den2]=chebyl（n2srp,Wn2/highr）;chebyshevII高通滤波器：

[n3，Wn3]=cheb2ord（wp/（Fs/2），ws/（Fs/2），rp，rs，tzf）;[num3Jden3]-cheby2（n3,rp,Wn3/high'）;

椭圆高通滤波器：

[n4,Wn4]=ellipord（wp/（Fs/2），ws/（Fs/2）-rp，rs，V）;[num4，den4]=ellip（n4，rp，rs，Wn4,’high_）;

设计出的高通滤波器的频率响应如图3.2.2。

（C）

（d）

图3,2,1低通数字滤波器频率响应

Butterworth低通滤波器

ChebyshevI