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数与代数（教材第63~88页）
一、数的认识
（一）整数（教材第63~67页）
知识点1：
整数
1．整数的定义：
像-3，-2，-1,0,1,2,3，…这样的数称为整数。
整数的个数是无限的。
在整数中，大于零的数称为正整数，小于零的数称为负整数。
正整数、零与负整数统称为整数。
0既不是正整数，也不是负整数。
2．整数的计数单位和数位。
（1）整数数位顺序表。
数级
亿级
万级
个级
数位
…
千亿位
百亿位
十亿位
亿位
千万位
百万位
十万位
万位
千位
百位
十位
个位
计数单位
千亿
百亿
十亿
亿
千万
百万
十万
万
千
百
十
一
（2）数的分级：
按照我国的计数习惯，整数从个位起，每四个数位是一级。
个位、十位、百位、千位是个级，表示多少个一；
万位、十万位、百万位、千万位是万级，表示多少个万；
亿位、十亿位、百亿位、千亿位是亿级，表示多少个亿……
（3）计数单位：
一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿……
都是整数的计数单位。
（4）数位：
在计数时，计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫数位。
（5）位数：
一个整数由几个数字组成，这个整数就是几位数。
位数指的是含有数位的个数。
如35412占有5个数位，就是五位数。
（6）十进制计数法：
每相邻的两个计数单位之间的进率都是10，这样的计数方法就叫作十进制计数法，即10个一等于1个十，10个十等于1个百……十进制计数法遵循“满十进一”的原则，它是全世界通用的计数方法。
3．整数的读法：
先分级，再读数，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续有几个0都只读一个零。
4．整数的写法：
从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个计数单位也没有，就在哪一个数位上写0。
知识点2：
自然数
1．自然数的定义：
我们在数物体的时候，用来表示物体个数的0,1,2,3,4,5，……叫作自然数。
“0”是最小的自然数，自然数的个数是无限的，没有最大的自然数。
2．自然数的基本单位：
任何非“0”的自然数都是由若干个“1”组成的，因此“1”是自然数的基本单位。
3．“0"
的含义：
一个物体也没有，用“0"
表示，但并不是说“0”只表示没有物体，它还有多方面的含义。
如在表示温度时，它是正、负温度的分界线；
在刻度尺上，它是起点；
在数轴上，它是正数和负数的划分点；
在计数中，“0”起占位作用。
还可以从运算的角度认识“0"
，如任何数加“0”都等于任何数，“0"
和任何数相乘都得0，“0”不能作除数等。
4．自然数的基数和序数。
（1）基数：
表示物体有多少个的数叫基数。
如12个苹果中的12就是基数：
（2）序数：
表示物体位于第几个的数叫序数。
如小明坐在第2排，这里的2就是序数。
知识点3：
正数和负数
1．正数的意义：
像5,6,12.3，…这样的数叫正数。
正数的读、写法：
正数前面可以加“+”，读作“正”。
如“+5”读作“正五”。
“+”一般可以省略不写。
2．负数的意义：
像-5，-0.3，…这样的数叫负数。
负数的读、写法：
“-”是负号，读数时直接读成“负几”。
如“-5”读作“负五”。
写数时在数的前面写“-”。
3．0既不是正数，也不是负数。
4．在生活中运用正负数表示相反意义的量时有的是约定俗成的习惯规定如：
零上温度用正数，零下温度用负数表示；
海平面以上用正数表示，而海平面以下用负数表示；
存折上的收入用正数表示，而支出用负数表示。
而一些则是事先规定的哪个量是正（或负）如表示方向或上升下降等。
知识点4：
整数大小的比较方法
1．正整数大小的比较方法。
（1）位数不同的正整数的比较方法：
如果位数不同，那么位数多的数就大。
（2）位数相同的正整数的比较方法：
位数相同，左起第一位上数大的那个数就大：
左起第一位上的数相同，就比较左起第二位上的数。
依次类推直到比较出数的大小。
2．正、负数的大小比较。
（1）正数都大于0和负数，0大于负数。
（2）负数相比较时，负号后面的数越大，这个数反而越小。
知识点5：
整数的改写
把一个较大的多位数改写成用“万’’或“亿”做单位的数的方法：
（1）直接改写时，先把原数的小数点向左移4位或8位（若小数部分末尾有0，则要划掉），再在数的后面加写“万”字或“亿”字，与原数相等，用“=”连接。
（2）省略尾数改写时，根据需要先用“四舍五入”法省略万位或亿位后面的尾数，再加上相应的计数单位“万”字或“亿”字，得到近似数与原数近似相等，用“≈”连接。
知识点6：
倍数和因数
1．倍数和因数的定义：
自然数a（a≠0）乘自然数b（b≠0），所得的积c就是a和b的倍数，a和b就是c的因数。
如3x6=18，3和6是18的因数，18是3和6的倍数。
倍数和因数是相互依存的。
2．倍数的特征：
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
3．因数的特征：
一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
知识点7：
最大公因数、最小公倍数和互质数
1．最大公因数的定义：
几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数，其中最大的一个，叫作这几个数的最大公因数。
2．最小公倍数的定义：
几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫作这几个数的最小公倍数。
3．互质数：
公因数只有1的两个数，叫作互质数。
1和任何自然数互质。
相邻的两个自然数互质。
两个不同的质数互质。
4．求两个数的最大公因数及最小公倍数的方法：
（1）枚举法。
找最大公因数时从较小数开始，找最小公倍数时从较大数开始；
（2）短除法：
①把一个合数分解质因数，通常用短除法。
先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。
②．求几个数的最大公因数的方法是：
先用这几个数的公因数连续去除，一直除到所得的商只有公因数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公因数。
（3）分解质因数法。
把一个合数写成几个质数相乘的形式叫作分解质因数，如12=2x2x3。
5．求两个数的最大公因数和最小公倍数的特殊情况。
（1）两个数成倍数关系时，最小公倍数是较大数，最大公因数是较小数。
（2）两个数是互质数时，最大公因数是1，最小公倍数是它们的积。
6．几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
知识点8：
2,5,3的倍数的特征
1．2的倍数的特征：
个位上是0,2,4,6或8的数是2的倍数。
2．5的倍数的特征：
个位上是0或者5的数是5的倍数。
3．3的倍数的特征：
一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
4．同时是2,5,3的倍数的特征：
一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，且个位上是0，这个数一定同时是2,5,3的倍数。
知识点9：
奇数、偶数
1．奇数：
不是2的倍数的数叫作奇数，也就是生活中常说的单数。
2．偶数：
是2的倍数的数叫作偶数，也就是生活中常说的双数。
0也是偶数。
自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。
3．数的奇偶性：
（1）两个相同性质的数（都是偶数或都是奇数）相加减，结果是偶数。
（2）两个不同性质的数（一个是奇数，另一个是偶数）相加减，结果是奇数。
知识点10：
质数、合数
1．质数的含义：
一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数或素数。
2．合数的含义：
一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫作合数
3．1既不是质数，也不是合数；
最小的质数是2，最小的合数是4。
4．判断一个数是质数还是合数的方法：
需要看这个数的因数的个数，只有两个因数的数一定是质数，有3个或3个以上因数的数是合数。
5．20以内的质数有：
2、3、5、7、11、13、17、19。
（二）小数、分数、百分数（教材第68、69页）
小数
1．小数的意义：
分母是10，100，1000．…的分数可以用小数丧示．小数的计数单位是“十之一，百分之一，干分之一，……分别写作0.1，0.01，0.001，…，每相邻两个计数单位之间的进率是10。
2．小数的读、写法。
（1）读法：
读小数的时候，整数部分按照整数的读法来读（整数部分是0的读作“零”），小数点读作“点”，小数部分从高位到低位依次读出每个数位上的数字。
（2）写法：
写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写（整数部分是零的写作“0”），小数点点在个位的右下角，小数部分从高位到低位依次写出每个数位上的数字。
（3）数位顺序表。
整数部分
小数点
小数部分
亿级
万级
个级
.
十分位
百分位
千分位
万分位
……
位
个
一（个）
十分之一
百分之一
千分之一
万分之一
由表中可以看出，小数部分的最高计数单位是“十分之一”，整数部分的最低计数单位是“一”，它们之间的进率也是10。
3．小数的大小比较：
比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；
整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；
十分位上的数相同的，百分位上数大的那个数就大……
4．求小数的近似数：
根据要求保留小数位数，确定好从哪一位起按照“四舍五入”的方法省略尾数。
5．小数化成分数、百分数的方法。
（1）小数化成分数的方法：
先把小数改写成分母是10、100、1000.....的分数，再化简成最简分数。
（2）小数化成百分数的方法：
先将小数点向右移动两位，再在后面添上“%”。
6．小数的分类
（1）按整数部分分类，可以分为纯小数和带小数两类。
纯小数：
整数部分是零的小数，叫做纯小数。
例如：
0.25、0.368都是纯小数。
带小数：
整数部分不是零的小数，叫做带小数。
3.25、5.26都是带小数。
纯小数都小于1，带小数都等于1或大于1。
（2）按小数部分分类，可以分为有限小数和无限小数两类。
有限小数：
小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。
41.7、0.23都是有限小数。
无限小数：
小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。
4.33……3.1415926……。
（3）无限小数的分类。
无限小数又分为无限循环小数和无限不循环小数。
无限循环小数：
一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。
3.555……0.0333……12.109109……，简称“循环小数”。
无限不循环小数：
一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。
π。
一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。
3.99……的循环节是”9”，0.5454……的循环节是”54”。
（3无限循环小数的分类。
无限循环小数又分为纯循环小数和混循环小数。
纯循环小数：
循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。
3.111……0.5656……
混循环小数：
循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。
3.1222……0.03333……
写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。
如果循环节只有一个数字，就只在它的上面点一个点。
7．小数化成分数、百分数的方法：
（1）小数化成分数：
原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分；
（2）小数化成百分数：
只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。
8．小数的性质：
在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。
9．小数点位置的移动引起小数大小的变化：
（1）小数点向右移动一位，就扩大到原来的10倍；
小数点向右移动两位，就扩大到原来的100倍；
小数点向右移动三位，就扩大到原来的1000倍……
（2）小数点向左移动一位，就缩小到原来的十分之一；
小数点向左移动两位，就缩小到原来的百分之一……（3）小数点向左移或者向右移位数不够时，要用”0”补足位。
分数
1．分数的意义
把单位”1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
表示其中的一份的数就是这个分数的分数单位。
2．分数的分类
真分数：
分子比分母小的分数叫做真分数。
真分数小于1。
假分数：
分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。
假分数大于或等于1。
带分数：
假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。
3．分数的读法：
读真分数和假分数时，先读分母，再读”分之”，然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读；
读带分数时，先读整数部分，再读”又”，最后读分数部分。
4．分数的写法：
先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。
5．分数大小的比较：
真分数、假分数或整数部分相同的带分数，分母相同比分子，分子大，分数就大；
分子相同比分母，分母小的分数大；
分子和分母都不同的分数，先化成和分子或分母相同的分数，再比较大小；
整数部分不同的带分数，整数部分大的分数大。
6．假分数与带分数或整数之间的互化：
（1）将假分数化为带分数：
分母不变，分子除以分母所得整数为带分数的整数部分，余数作分子。
（2）将带分数化为假分数：
分母不变，用整数部分与分母的乘积再加原分子的和作为分子。
（3）将带分数化为整数：
用分子除以分母，能整除的，所得的商为整数。
7．分数化成小数、百分数的方法：
（1）分数化成小数：
用分子除以分母。
能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。
（2）分数化成百分数：
通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。
（3）判断一个分数能否化成有限小数的方法：
一个分数在最简分数的情况下，如果它的分母只含有2和5两个质因数，这个分数就能化成有限小数；
如果分母除了含有2和5以外质因数，那么这个分数就不能化成有限小数。
8．分数的基本性质：
分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。
9．最简分数：
分子和分母的公因数只有1的分数叫作最简分数。
10．分数与除法的关系：
（1）分数的分子相当于除法中的被除数，分数的分母相当于除法中的除数，分数线相当于除法中的除号。
（2）在除法中，除数不能为“0"
；
在分数中，分母不能为“0”，否则无意义。
（3）分数值：
分数的分子除以分母所得的商就是这个分数的分数值。
11．约分与通分。
（1）约分：
把一个分数化成最简分数的过程叫约分。
约分的方法：
用分子和分母的公因数（1除外）去除分子、分母；
通常要除到得出最简分数为止。
（2）通分：
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
通分的方法：
先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
12．常见分数化小数：
1/2=0.51/4=0.253/4=0.751/5=0.22/5=0.4
3/5=0.64/5=0.81/8=0.1253/8=0.3755/8=0.625
7/8=0.8751/20=0.051/25=0.041/50=0.02
百分数
1．百分数的意义：
像3%，27%，150%，…这样的分数叫百分数，也叫百分比或百分率。
表示一个数是另一个数的百分之几。
2．百分数的读法：
读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数。
3．百分数的写法：
百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号”%”来表示。
4．百分数化成小数、分数的方法：
（1）百分数化成小数：
把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。
（2）百分数化成分数：
先把百分数改写成分母为100的分数，能约分的要约成最简分数。
5．分数和百分数的联系与区别：
（1）联系：
百分数是分数的特殊情况，分数表示一个数是另一个数的几分之几时，百分数和分数的意义相同，可以互换。
（2）区别：
分数既可以表示一个数，也可以表示两个数的比；
而百分数表示一种关系，它表示一个数占另一个数的百分比，不能用来表示具体数。
因此分数可以带单位，百分数不能带单位。
二、数的运算
（一）运算的意义（教材第70、71页）
四则运算的意义
1．加法的意义，把两个数合并成一个数的运算。
2．减法的意义，已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。
减法是加法的逆运算。
3．整数乘法的意义，求几个相同加数的和的简便运算；
小数乘法的意义，一个数乘小数就是求这个数的十分之几，百分之几……是多少；
分数乘法的意义，一个数乘分数就是求这个数的几分之几是多少。
在乘法里，0和任何数相乘都得0。
1和任何数相乘都的任何数。
4．除法法的意义：
已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
除法是乘法的逆运算。
在除法里，0不能做除数。
因为0和任何数相乘都得0，所以任何一个数除以0，均得不到一个确定的商。
5．乘方（平方）：
求几个相同因数的积的运算叫做乘方。
6²
=6×
6＝36。
四则运算中各部分的关系
1．减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。
2．关系式。
（1）加数十加数=和；
和一一个加数=另一个加数。
（2）被减数一减数=差；
被减数一差=减数；
减数+差=被减数。
（3）乘数×
乘数=积；
积÷
一个乘数=另一个乘数。
（4）被除数÷
除数=商；
被除数÷
商=除数；
除数×
商=被除数；
商+余数=被除数。
（二）计算与应用（教材第72~76页）
四则运算的法则
1．加、减法的计算法则。
（1）整数加法计算法则：
相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。
（2）整数减法计算法则：
相同数位对齐，从低位减起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。
（3）小数加、减法：
计算小数加、减法时，先把小数点对齐（也就是相同数位对齐），再按照整数加、减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点，点上小数点。
（4）分数加、减法：
同分母的分数相加、减，分母不变，只把分子相加、减；
异分母的分数相加、减，先通分，然后按照同分母分数加、减法的法则进行计算。
2．乘法的计算法则。
（1）整数乘法的计算法则：
从低位到高位分别用一个乘数的每一位去乘另一个多位数；
用一个乘数的哪一位去乘，求得的数的末位就要和哪一位对齐。
（2）小数乘法的计算法则：
计算小数乘法，先按照整数乘法的法则算出积，再看乘数中一共有几位小数，就从积的右边起，数出几位，点上小数点。
如果位数不够，那么要在前面用0补足。
（3）分数乘法的计算法则：
分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；
分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，能约分的要约分。
3．除法的计算法则。
（1）整数除法的计算法则：
从被除数的高位除起，除数有几位就先看被除数的前几位，如果被除数的前几位比除数小，那么就多取一位再除，除到哪一位，商就写在哪一位的上面；
每次除得的余数必须比除数小；
在求出商的最高位以后，被除数的哪一位上不够商1，就在哪一位上写“0”。
（2）小数除法的计算法则：
除数是整数时，按整数除法的计算法则计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐。
除数是小数时，先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够时，末尾用“0”补足），然后按照除数是整数的小数除法法则进行计算。
（3）分数除法的计算法则：
甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。
求倒数的方法是把这个数的分子和分母调换位置。
1的倒数是它本身，0没有倒数。
倒数是对两个数来说的，并不是孤立存在的。
4．商不变的规律：
在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍数，商不变。
四则混合运算
1．加法和减法称为第一级运算。
乘法和除法称为第二级运算。
2．没有括号的混合运算：
同级运算从左往右依次运算；
两级运算先算乘、除法，后算加减法。
3．有括号的混合运算：
先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。
分数、百分数应用题
1．甲是乙的几分之几（百分之几）：
甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙。
2．求甲比乙多几分之几（百分之几）（甲－乙）÷
乙×
100%
求乙比甲少几分之几（百分之几）（甲－乙）÷
甲×
以上可以统一用公式：
几（百）分之几=（大数—小数）÷
比后面的数
口诀：
“一减一除”（大的减小的除以比后面的量）
3．解分数或百分数乘、除法应用题的步骤和解题技巧（一找二
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