合情推理与演绎推理题型整理总结.docx

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合情推理与演绎推理题型整理总结

合情推理与演绎推理题型整理总结

通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。

；；；、解析：

猜想：

证明：

左边===右边注；注意观察四个式子的共同特征或规律

（1）结构的一致性,

（2）观察角的“共性”

（1）先猜后证是一种常见题型

（2）归纳推理的一些常见形式：

一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性）题型二

用类比推理猜想新的命题例2：

已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______、解析：

原问题的解法为等面积法，即，类比问题的解法应为等体积法，即正四面体的内切球的半径是高注：

（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比

（2）类比推理常见的情形有：

平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；圆锥曲线间的类比等（3）在平面和空间的类比中，三角形对应三棱锥（即四面体），长度对应面积；面积对应体积；点对应线；线对应面；圆对应球；梯形对应棱台等。

（4）找对应元素的对应关系，如：

两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等题型三

利用“三段论”进行推理例3某校对文明班的评选设计了五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为、（填入中的某个字母）解析：

因都为正数，故分子越大或分母越小时，S的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小时，S的值增长越多，，所以c增大1个单位会使得S的值增加最多注：

从分式的性质中寻找S值的变化规律；此题的大前提是隐含的，需要经过思考才能得到

1、下列说法正确的是（）

A、类比推理是由特殊到一般的推理

B、演绎推理是特殊到一般的推理

C、归纳推理是个别到一般的推理

D、合情推理可以作为证明的步骤答案：

C

3、已知，考察下列式子：

；；、我们可以归纳出，对也成立的类似不等式为答案：

4、现有一个关于平面图形的命题：

如图，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为、类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为

、[解析]解法的类比（特殊化）易得两个正方体重叠部分的体积为

5、已知的三边长为，内切圆半径为（用），则；类比这一结论有：

若三棱锥的内切球半径为，则三棱锥体积

[解析]

6、在平面直角坐标系中，直线一般方程为，圆心在的圆的一般方程为；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为________________,球心在的球的一般方程为_______________________、答案；；

7、

（1）已知等差数列的定义为:

在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和、类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义：

；

（2）已知数列是等和数列，且，公和为，那么的值为____________、答案：

（1）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和；

（2）；

8、对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式：

根据上述分解规律，则,若的分解中最小的数是73，则的值为答案：

（xx全国I卷）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：

我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：

我没去过C城市；丙说：

我们三人去过同一个城市、由此可判断乙去过的城市为、1、小王、小刘、小张参加了今年的高考，考完后在一起议论。

小王说：

“我肯定考上重点大学。

”小刘说：

“重点大学我是考不上了。

”小张说：

“要是不论重点不重点，我考上肯定没问题。

”发榜结果表明，三人中考取重点大学、一般大学和没考上大学的各有一个，并且他们三个人的预言只有一个人是对的，另外两个人的预言都同事实恰好相反。

可见：

（）（A）小王没考上，小刘考上一般大学，小张考上重点大学（B）小王考上一般大学，小刘没考上，小张考上重点大学（C）小王没考上，小刘考上重点大学，小张考上一般大学（D）小王考上一般大学，小刘考上重点大学，小张没考上

3、给出下列三个命题：

①若；②若正整数满足，则；③设上任意一点，圆以为圆心且半径为1。

当时，圆相切。

其中假命题的个数是（）（A）0（B）1（C）2（D）3

二、填空题

4、设函数，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得的值为、

一、选择题

（1）由推理知识，可知应选（C）（3）由不等式的基本性质以及圆方程的性质，可知应选（B）

二、填空题（4）分析此题利用类比课本中推导等差数列前项和公式的倒序相加法，观察每一个因式的特点，尝试着计算：

，，，发现正好是一个定值，，、

【典型例题】

例1：

（1）迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。

小王发现由8个质数组成的数列41，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数。

小王欣喜万分，但小王按得出的通项公式，再往后写几个数发现它们不是质数。

他写出不是质数的一个数是（）

A、1643

B、1679

C、1681

D、1697答案：

C。

解析：

观察可知：

累加可得：

，验证可知1681符合此式，且4141=1681。

（2）下面给出了关于复数的四种类比推理：

①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量a的性质|a|2=a2类比得到复数z的性质|z|2=z2；③方程有两个不同实数根的条件是可以类比得到：

方程有两个不同复数根的条件是；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义、其中类比错误的是（）

A、①③

B、②④

C、①④

D、②③答案：

D。

解析：

由复数的性质可知。

（3）定义的运算分别对应下图中的

（1）、

（2）、（3）、（4），那么下图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是（）

（1）

（2）（3）（4）（A）（B）

A、

B、

C、

D、答案：

B。

例3：

在△ABC中，若∠C=90，AC=b,BC=a，则△ABC的外接圆的半径，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。

答案：

本题是“由平面向空间类比”。

考虑到平面中的图形是一个直角三角形，所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑。

取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体ALMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是、答案：

。

9、已知椭圆C：

具有性质：

若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值。

试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明。

答案：

本题明确要求进行“性质类比”。

类似的性质：

若M、N是双曲线上关于原点对称的两点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值。

证明如下：

设，其中设，由，得将代入得。

10、观察下面由奇数组成的数阵，回答下列问题：

（Ⅰ）求第六行的第一个数、（Ⅱ）求第20行的第一个数、（Ⅲ）求第20行的所有数的和、答案：

（Ⅰ）第六行的第一个数为31（Ⅱ）∵第行的最后一个数是，第行共有个数，且这些数构成一个等差数列，设第行的第一个数是∴∴∴第20行的第一个数为3（Ⅲ）第20行构成首项为381，公差为2的等差数列，且有20个数设第20行的所有数的和为则

【作业本】

A组

1、在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为（）

A、25

B、6

C、7

D、8答案：

C。

解析：

对于中，当n＝６时，有所以第２５项是７。

OxABFy

2、如图,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”、类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e等于（）

A、

B、

C、

D、答案：

A。

解析：

猜想出“黄金双曲线”的离心率等于、事实上对直角△应用勾股定理,得,即有,注意到,,变形得、3、下面几种推理过程是演绎推理的是（）

A、两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180

B、由平面三角形的性质，推测空间四面体性质

C、某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人

D、在数列中，，由此推出的通项公式答案：

A。

解析：

B是类比推理，

C、D是归纳推理。

4、由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是。

答案：

②③①。

解析：

②是大前提，③是小前提，①是结论。

5、公比为的等比数列中，若是数列的前项积，则有也成等比数列，且公比为；类比上述结论，相应地在公差为的等差数列中，若是的前项和，则数列也成等差数列,且公差为。

答案：

，，；300。

解析：

采用解法类比。

6、二世纪六年代，日本数学家角谷发现了一个奇怪现象：

一个自然数，如果它是偶数就用2除它，如果是奇数，则将它乘以3后再加1，反复进行这样两种运算，必然会得到什么结果，试考查几个数并给出猜想。

答案：

取自然数6，按角谷的作法有：

62=3，33+1=10，35+1=16，162=8，82=4，42=2，22=1，其过程简记为6→3→10→5→16→8→4→2→1。

取自然数7，则有7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→……→1。

取自然数100，则100→50→25→76→38→19→58→29→88→44→22→……→1。

归纳猜想：

这样反复运算，必然会得到1。

7、圆的垂径定理有一个推论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，这一性质能推广到椭圆吗？

设AB是椭圆的任一弦，M是AB的中点，设OM与AB的斜率都存在，并设为KOM、KAB，则KOM与KAB之间有何关系？

并证明你的结论。

答案：

KOMKAB=。

证明：

设，则=0∵即KOMKAB=，而，即KOMKAB≠－1∴OM与AB不垂直，即不能推广到椭圆中。

B组

1、为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文（加密）,接收方由密文→明文（解密）,已知加密规则为:

明文对应密文,例如,明文对应密文、当接收方收到密文时,则解密得到的明文为（）

A、

B、

C、

D、答案：

C。

解析：

本题考查阅读获取信息能力,实则为解方程组，解得，即解密得到的明文为。

2、平面上有n个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成块区域，有，则的表达式为（）

A、

B、

C、

D、答案：

B。

解析：

由，利用累加法，得。

3、设，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得的值为（）

A、

B、2

C、3

D、4答案：

C。

解析：

。

4、考察下列一组不等式：

、将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是___________________、答案：

（或为正整数）。

解析：

填以及是否注明字母的取值符号和关系，也行。

5、如下图，第

（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第

（2）个多边形是由正四边形“扩展”而来，……如此类推、设由正边形“扩展”而来的多边形的边数为，则；＝、答案：

42；。

6、指出下面推理中的大前提和小前提。

（1）5与2可以比较大小；

（2）直线。

答案：

（1）大前提是实数可以比较大小，小前提是5与是实数。

（2）大前提是平行于同一条直线的两直线互相平行，小前提是。

7、已知函数，对任意的两个不相等的实数，都有成立，且，求的值。

答案：

∵当，由，从而可得：

=

8、已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1,

（1）

写出a1,a2,a3,并推测an的表达式；

（2）证明所得的结论。

答案：

（1）

a1＝,a2＝,a3＝,猜测an＝2－

（2）

①由

（1）已得当n＝1时，命题成立；②假设n＝k时,命题成立，即ak＝2－,当n＝k＋1时,a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2（k＋1）＋1,且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2（k＋1）＋1＝2k＋3,∴2ak＋1＝2＋2－,ak＋1＝2－,即当n＝k＋1时,命题成立、根据①②得n∈N+,an＝2－都成立

一、填空题　

1、如下图，对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”：

仿此，52的“分裂”中最大的数是___________，若的“分裂”中最小的数是211，则的值为___________、2、下面给出三个类比推理命题（其中为有理数集，为实数集，为复数集）；①类比推出②类比推出,若③类比推出其中类比结论正确的序号是_____________（写出所有正确结论的序号）

3、已知，则中共有

项、4、设（是两两不等的常数）,则的值是______________、

二、选择题　

5、“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于

A、演绎推理

B、类比推理

C、合情推理

D、归纳推理

6、用三段论推理命题：

“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以＞0”，你认为这个推理（）

A、大前题错误

B、小前题错误

C、推理形式错误

D、是正确的

7、已知扇形的弧长为，所在圆的半径为，类比三角形的面积公式：

底高，可得扇形的面积公式为（

）Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、不可类比

8、下列给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是（

）Ａ、三角形Ｂ、梯形Ｃ、平行四边形Ｄ、矩形

9、图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（

）Ａ、25Ｂ、66Ｃ、91Ｄ、1xx、设，则（）

A、

B、

C、

D、

13、计算机中常用的六进制是逢进的计数制，采用数字和字母共个计数符号，这些符号与进制的数字的对应关系如下表：

六进制01234567进制01234567六进制89ABCDEF进制89101112131415例如，用六进制表示,则（）

A、

B、

C、

D、

14、设的最小值是（）

A、

B、

C、－3

D、

三、解答题　

15、已知　记试通过计算的值，推测出的值。

16、是否存在常数，使得等式对一切正整数都成立？

若存在，求出的值；若不存在，说明理由、

17、计算：

18、设图像的一条对称轴是、1）求的值；

（2）求的增区间；（3）证明直线与函数的图象不相切。

一、填空题

1、9，1

52、①②

3、

4、解析：

，，

二、选择题

5、A

6、A

7、Ｃ

8、Ｃ

9、Ｃ

10、B解析：

令，不能推出；反之1

1、B解析：

，，即

13、A解析：

14、C解析：

令

三、解答题

15、解析：

（1）………得出猜想………

16、解析：

假设存在，使得所给等式成立、令代入等式得解得以下用数学归纳法证明等式对一切正整数都成立、

（1）当时，由以上可知等式成立；

（2）假设当时，等式成立，即，则当时，、由

（1）

（2）知，等式结一切正整数都成立、

17、解析：

18、解析：

（1）由对称轴是，得，而，所以

（2），增区间为（3），即曲线的切线的斜率不大于，而直线的斜率，即直线不是函数的切线。