九年级上册数学知识点梳理总结全.docx
《九年级上册数学知识点梳理总结全.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级上册数学知识点梳理总结全.docx（40页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
九年级上册数学知识点梳理总结全
九年级上册数学知识点梳理总结（全）
九（上）数学知识点总结
第一章证明
（一）
1、你能证明它吗？
（1）三角形全等的性质及判定
全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定SSS、SAS、ASA、AAS、
（2）等腰三角形的判定、性质及推论
性质等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
判定有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
推论等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理
性质定理等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。
判定定理有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
或者三个角都相等的三角形是等边三角形。
（4）含30度的直角三角形的边的性质
定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2、直角三角形
（1）勾股定理及其逆定理
定理直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。
（3）直角三角形全等的判定定理
定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）3、线段的垂直平分线
（1）线段垂直平分线的性质及判定
性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
判定到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
（2）三角形三边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线
分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。
4、角平分线
（1）角平分线的性质及判定定理
性质角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
判定在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
（2）三角形三条角平分线的性质定理
性质三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
（3）如何用尺规作图法作出角平分线
第二章一元二次方程
1、花边有多宽
（1）整式方程及一元二次方程的概念
整式方程方程两边都是关于未知数的整式；
2
一元二次方程只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化作ax+bx+c=0（a,b,c为常数，a≠0）的形式。
（2）一元二次方程的一般式及各系数含义
2
一般式ax+bx+c=0（a,b,c为常数，a≠0），其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
2、配方法
（1）直接开平方法的定义
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。
（2）配方法的步骤和方法
一、移项，把方程的常数项移到等号右边；二、配，方程两边都加上一次项系数的一半的平
2
方，把原方程化为（x+m）=n（n≥0）的形式；三、直接用开平方法求出它的解。
3、公式法
（1）求根公式
bb24acb-4ac≥0时，x=
2a2
（2）求一元二次方程的一般式及各系数的含义
22
一、将方程化为一元二次方程的一般ax+bx+c=0（a,b,c为常数，a≠0）；二、计算b-4ac
2
的值，当b-4ac≥0时，方程有实数根，否则方程无实数根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、写出方程的两个根。
4、分解因式法
（1）分解因式的概念
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，根据ab=0，那么a=0或b=0，这种解一元二次方程的方法称为分解因式。
（2）分解因式法解一元二次方程的一般步骤
一、将方程右边化为零；二、将方程左边分解为两个一次因式的乘积；三、设每一个因式分别为0，得到两个一元二次方程；四、解这两个一元二次方程，它们的解就是原方程的解。
5、为什么是0.618
（1）什么叫黄金比
线段AB上一点C分线段AB成两条线段AC，BC，若分割点，其中
ACBC=，则C点叫线段AB的黄金ABACAC叫黄金比，其值为0.618。
AB
（2）列一元二次方程解应用题的一般步骤
一、审题；二、设求知数；三、列代数式；四、列方程；五、解方程；六、检验；七、答
第三章证明（三）
1、平行四边行
（1）平行四边形的定义、性质及判定定义两组对边分别平行的四边形叫平行四边形
性质平行四边形的对边分别平行；平行四边形的对边分别相等；平行四边形的对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分。
判定两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边行。
（2）等腰梯形的性质及判定
性质等腰梯形在同一底上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。
判定同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯形。
（3）三角形中位线定义及性质
定义连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
性质三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
2、特殊平行四边形
（1）矩形、菱形、正方形、直角三角形的性质及判定
第四章视图与投影
1、视图
（1）三视图的种类及三种视图之间的关系三视图有主视图、左视图和俯视图；三种视图间的关系主、俯长对正；主、左高平齐；俯、左宽相等；
（2）会画圆柱、圆锥、球的三视图
2、太阳光与影子
（1）投影与平行投影的含义、平行投影的性质
一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做投影；由平行光线形成的投影是平行投影。
平行投影的性质物体上的点以及影子上的对应点的连线互相平行；当物体与投影面平行时，所形成的影子与物体全等；同一时刻，在平行光线下，互相平行的物体的高度与影子长度的比值相等。
（2）物体影长的变化规律，会将影长与相似结合起来进行计算
在太阳光的照射下，不同时刻，物体影子的长短也不一样，早晚影子长，中午影子短。
（3）平行投影与视图之间的关系
视图实际上就是该物体在某一平行光线下的投影。
3、灯光与影子
（1）中心投影的概念及应用，区别平行投影与中心投影从一点发出的光线形成的投影称为中心投影。
（2）视点、视线与盲区的概念
眼睛的位置称为视点；由视点发出的线称为视线；眼睛看不到的地方称为盲区。
第五章反比例函数
1、反比例函数
（1）反比例函数的概念
一般地，如果两个变量x,y之间的关系可以表示成y=函数。
反比例函数的自变量x不能为0。
（2）掌握求反比例函数的解析式的方法
将一组x,y的值代入解析式中确定k的值即可。
k的形式，那么称y是x的反比例x2、反比例函数的图象与性质
（1）反比例函数图象的画法
一般采用描点法先列表，再描点，再连线。
（2）反比例函数的图象及性质，其表达式与图象的关系，函数值大小的比较（表5-1）3、反比例函数的应用
（1）用反比例函数解决实际问题的一般思路
1、根据问题情境，设出所求的反比例函数表达式；
2、由问题中的已知数据，代入所求表达式，列出方程（或方程组），求出方程的解，确定出待定系数的值，从而确定函数表达式；3、根据函数表达式，去解决实际问题。
（2）反比例函数与正比例函数的区别及综合应用（表5-1）
表5-1
扩展阅读初三九年级上册人教版数学知识点归纳
21．1二次根式
第一课时
（1）了解二次根式的概念,初步理解二次根式有意义的条件.
（2）通过具体问题探求并掌握二次根式的基本性质当a≥0时，a运用这个性质进行一些简单的计算。
132例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式、3、x、2=a；能
x14（x>0）、0、2、-2、xy、xy（x≥0，y≥0）．
解二次根式有2、x（x>0）、0、-2、xy（x≥0，y≥0）；不是
1314二次根式的有3、x、2、xy．
例2．当x是多少时，3x1在实数范围内有意义？
分析由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，3x1才能有意义．
1解由3x-1≥0，得x≥3
1当x≥3时，3x1在实数范围内有意义．
1例3．当x是多少时，2x3+x1在实数范围内有意义？
1分析要使2x3+x1在实数范围内有意义，必须同时满足2x3中的
1≥0和x1中的x+1≠0．
2x30x10解依题意，得3由①得x≥-2由②得x≠-1
31当x≥-2且x≠-1时，2x3+x1在实数范围内有意义．
x例4
（1）已知y=2x+x2+5，求y的值．（答案:
0.4）
（2）若a1+b1=0，求a201*+b201*的值．（答案:
2）21二次根式
（2）第二课时
1．a（a≥0）是一个非负数；2．（a）2=a（a≥0）．3、a2＝a（a≥0）．
例3在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-3
（2）x4-4（3）2x2-3答案
1）x3x3;2）x22x2x2;3）2x32x3
21二次根式（3）掌握
a2aa（a0）
a（0）
（3）例题1、
4242、（5）53、
（x1）2x-1（x≥1）
（3）2;24、=
（2）π-35x6x9、
（xx23）4x4x-2（x2）
（4）如果（x-2）2=2-x那么x取值范围是（A）
A、x≤2B.x＜2C.x≥2D.x＞2（5）实数p在数轴上的位置如图所示
01p2
化简
（1p）2（2p）2=p-1+2-p=1
一、选择题
12
（2）31．12
（2）3的值是（C）．
22A．0B．3C．43D．以上都不对2．a≥0时，确的是（A）．A．C．aa2a2、2（a）22、-a，比较它们的结果，下面四个选项中正=-a22D．->a2=（a）2二、填空题
1．-0.0004=___-0．02_____．
2．若20m是一个正整数，则正整数m的最小值是____5____．三、综合提高题
21．先化简再求值当a=9时，求a+12aa的值，甲乙两人的解答如下
2甲的解答为原式=a+乙的解答为原式=a+（1a）2=a+（1-a）=1；
（1a）=a+（a-1）=2a-1=17．
两种解答中，____甲___的解答是错误的，错误的原因是____甲没有先判定1-a是正数还是负数_．
2．若│1995-a│+a201*=a，求a-19952的值．
（提示先由a-201*≥0，判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值）由已知得a-201*≥0，a≥201*
所以a-1995+a201*=a，a201*=1995，a-201*=19952，所以a-19952=201*．
若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+
第三讲二次根式的乘法教学目标
（x3）2+x10x25。
答案（10-x）
ab使学生能掌握并能运用二次根式的乘法法则
ab=
aaba0,bb（a0）并进行
b（a0,b0）相关计算；同时掌握积的算术平方根的性质ab；能熟
练应用。
利用二次根式的乘法法则，化简二次根式，使被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
（最简二次根式）
二次根式相乘,实际上就是把被开方数相乘,而根号不变.
例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正
（1）（4）（9）494122525=4122525=4122525=412=83
（2）解
（1）不正确．
改正（4）（9）=49＝49=23=6
（2）不正确．
4122525=1122525=1122525改正=112=167＝47
一、选择题
1．若直角三角形两条直角边的边长分别为15cm和12cm，那么此直角三角形斜边长是（B）．
A．32cmB．33cmC．9cmD．27cm
1a的结果是（C）．
2．化简a
A．aB．aC．-aD．-ax1成立的条件是（A）3．等式
A．x≥1B．x≥-1C．-1≤x≤1D．x≥1或x≤-14．下列各等式成立的是（D）．A．4525=85B．5342=205C．4332=75D．5342=206二、填空题
1．1014=136_______．
x1x12．自由落体的公式为S=2gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是___12s______．第四讲二次根式除法一、教学目标
aaaa1、b=b（a≥0，b>0），反过来b=b（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．
教学目标
2、二次根式运算的结果必须是最简二次根式，理解最简二次根式必须满足的条件。
例2．化简
364b9a229x5x2
（1）64
（2）（3）64y（4）169y2
aa分析直接利用b=b（a≥0，b>0）就可以达到化简之目的．
333864b264b2解
（1）64=649x2
（2）
3x8y9a2=9a5x28b3a
5x29x（3）164y=21364y25x13y（4）169y2=169y
132125的结果是（A）．
21．计算2A．75B．7C．2D．7
2、化去分母中的根号
315b3
（1）5
（2）8（3）12a（a0,b0）
例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式
11（21）21=（21）（21）132121=2-1，
33221（32=（32）2）2）（3=3-2，1同理可得43=4-3，
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
1111（21+32+43+201*201*）（201*+1）的值．分析由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．
解原式=（2-1+3-2+4-3++201*-201*）（201*+1）=（201*-1）（201*+1）
=201*-1=201*
第五讲二次根式的加减法
（1）教学目标
（1）使学生了解同类二次根式的概念,掌握判断同类二次根式的方法。
（2）使学生能正确合并同类二次根式,进行二次根式的加减运算。
首先要对二次根式进行化简，然后考察根号下的被开方数被开方数相同的就是同类二次根式；被开方数不同的就不是同类二次根式。
1、在二次根式①12,②
2③323；④27和3是同类二次根式的是（C）
A．①和③B．②和③C．①和④D．③和④
2、下列说法正确的是（C）
A、被开方数不同的两个二次根式一定不是同类二次根式；B、3与33不是同类二次根式；
1C、a与a不是同类二次根式；
D、被开方数完全相同的二次根式是同类二次根式。
3、两个正方形的面积分别为2和则这两个正方形边长和为__32________
35a25、已知最简二次根式21和7a1是同类二次根式
162①求a的值②求它们合并后的结果（a=1
或-1,合并后结果为2）
多项式的乘法法则和乘法公式同样适用于二次根式的多项式乘法
（1）（ab）（ab）（a0,b0）（a-b）例1．计算:
（1）（6+8）3
（2）（46-32）÷22
分析刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律．
解
（1）（6+8）3=63+83=18+24=32+26解（46-32）÷22=46÷22-32÷223=23-2例2．计算
（1）（5+6）（3-5）
（2）（10+7）（10-7）
分析刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．
解
（1）（5+6）（3-5）=35-（5）2+18-65=13-35
（2）（10+7）（10-7）=（10）2-（7）2=10-7=3教学内容
一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．教学目标
了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目．例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解去括号，得40-16x-10x+4x2=18
移项化简，得2x2-13x+11=0
其中二次项系数为2，一次项系数为-13，常数项为11．1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（A）．
5①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③（x-2）（x+5）=x2-1④3x2-x=0A．1个B．2个C．3个D．4个
2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（B）．
A．2，3，-6B．2，-3，18C．2，-3，6D．2，3，63．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（C）．A．p=1B．p>0C．p≠0D．p为任意实数21直接开平方法
教学内容","p":
{"h":
18,"w":
7112,"x":
17225,"y":
180.468,C．x2+8x+42=1D．x2-4x+4=-11
二、填空题
1．方程x2+4x-5=0的解是___x1=1，x2=-5_____．
xx222．代数式
x12的值为0，则x的值为____2____．
3．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为__z2+2z-8=0_____，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为_2，-423公式法
教学内容
1．一元二次方程求根公式的推导过程；2．公式法的概念；
3．利用公式法解一元二次方程．
bb4ac2a2已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，它的两个根x1=
bb4ac2a2，
x2=用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代
入公式即可．
例1．用公式法解下列方程．
（1）2x2-4x-1=0
（2）5x+2=3x2（3）（x-2）（3x-5）=0（4）4x2-3x+1=0解
（1）a=2，b=-4，c=-1
b2-4ac=（-4）2-42（-1）=24>0
（4）242226426426226x=
∴x1=
2，x2=
2
（2）将方程化为一般形式3x2-5x-2=0
a=3，b=-5，c=-2
b2-4ac=（-5）2-43（-2）=49>0
（5）49231x=
576
x1=2，x2=-3
（3）将方程化为一般形式3x2-11x+9=0
a=3，b=-11，c=9
b2-4ac=（-11）2-439=13>0
（11）13231113116111313∴x=
∴x1=
6，x2=
6
（3）a=4，b=-3，c=1
b2-4ac=（-3）2-441=-70
（2）△=0（3）△Ａ．3
Ｂ．0
Ｃ．1Ｄ．-4、
分析因为x1+x2=-2，x1x2=-1，所以x1x22x1x2=-2+2（-1）=-4，所以选D。
22例3、已知a，b是方程x2x10的两个根，则aa3b的值是（）
Ａ．7Ｂ．5Ｃ．72
Ｄ．2
2分析因为a，b是方程x2x10的两个根，所以a+b=2，又因为a是方程
x2x10的根，所以a2-2a-1=0,所以
22a2-2a=1,所以aa3b
=a2-2a+3a+3b=1+3*2=7，所以选Ａ。
2例4、已知一元二次方程x2x10的两个根是x1、x2，则
x12+x22=，x1-x2=．
分析由根和系数的关系，有x1+x2=2，x1x2=-1，只要能用x1+x2、x1x2来表示x12+x22、x1-x2就可以实现由已知向未知的转化．容易x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=6，（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1","p":
{又∵当m2时，原方程的△170，∴m的值为2．
例6、已知关于x的一元二次方程x（2m1）xmm20．
（1）求证不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
122
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1解
（1）
（2m1）4（mm2）221x211m2，求m的值．
224m4m14m4m8
90
∴不论m取何值，方程总有两个不相等实数根
x1，2（2m1）29
（2）解法一由原方程可得或
x（m1）x（m2）0
x1m2，x2m1
1又∵x111x2111m21
m2m1
m2
1m2经检验m2符合题意．m的值为2．
23实际问题与一元二次方程
教学内容
1、由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．
2、建立一元二次方程的数学模型，解决如何全面地比较几个对象的变化状况．
3、根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题．4、运用速度、时间、路程的关系建立一元二次方程数学模型解决实际问题．例1．某电脑公司201*年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
分析设这个增长率为x，由一月份的营业额就可列出用x表示的二、三月份的营业额，又由三月份的总营业额列出等量关系．解设平均增长率为x
则200+200（1+x）+200（1+x）2=950整理，得x2+3x-75=0解得x=50%
答所求的增长率为50%．例2．某人将201*元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．
分析设这种存款方式的年利率为x，第一次存201*元取1000元，剩下的本金和利息是1000+201*x80%；第二次存，本金就变为1000+201*x80%，其它依此类推．
解设这种存款方式的年利率为x
则1000+201*x80%+（1000+201*x8%）x80%=1320整理，得1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0
1解得x1=-2（不符，舍去），x2=8=0.125=15%
答所求的年利率是12．5%．
例3某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元
老师点评总利润=每件平均利润总件数．设每张贺年卡应降价x元，
x则每件平均利润应是（0.3-x）元，总件数应是（500+0.1100）解设每张贺年卡应降价x元
100x则（0.3-x）（500+0.1）=120
解得x
升级会员 