中考考点二次函数知识点汇总全.docx
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中考考点二次函数知识点汇总全
内容：
1、一元一次函数;
2、一元二次函数;
3、反比例函数
★二次函数知识点
一、二次函数概念：
1•二次函数的概念：
2
一般地，形如y=axbxc（a，b,c是常数，a=0）的函数，叫做二次函数。
这
里需要强调：
和一元二次方程类似，二次项系数a=0，而b,c可以为零•二次函数的定义域是全体实数.
2
2.二次函数『二狀bxc的结构特征：
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次
数是2•⑵a，b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.
二、二次函数的基本形式:
2.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式:
2
:
⑤y二axbxc
22-.2-2
①y=ax:
②y=axk‘③y=ax_h‘④y=ax_hk
三、二次函数的性质:
1、
2
y=ax的性质：
a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
（0,。
）
y轴
x>0时，y随x的增大而增大；xcO时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值°.
a<0
向下
（0,0）
y轴
x>0时，y随x的增大而减小；xc0时，y随x的增大而增大；X=0时，y有最大值0•
2.yrax?
<的性质：
上加下减。
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
（0，c）
y轴
x>0时，y随x的增大而增大；xv0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值c.
a<0
向下
（0，c）
y轴
x>0时，y随x的增大而减小；xcO时，y随x的增大而增大；x—0时，y有最大值c.
2
3.y=ax-h的性质：
左加右减。
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
（h,0）
X=h
x〉h时，y随x的增大而增大；xch时，y随x的增大而减小；x—h时，y有最小值0.
a<0
向下
（h,0）
X=h
XAh时，y随x的增大而减小；xvh时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值0.
2
4.
y=ax-hk的性质:
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
（h,k）
X=h
x>h时，y随x的增大而增大；xch时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值k.
a<0
向下
（h,k）
X=h
x>h时，y随x的增大而减小；xvh时，y随x的增大而增大；X=h时，y有最大值k.
5.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口
大小完全相同，只是顶点的位置不同•
6.求抛物线的顶点、对称轴的方法
⑵配方法：
运用配方法将抛物线的解析式化为y=ax-h彳•k的形式，得到顶点为（h,k），对称轴是x=h.
（3）运用抛物线的对称性：
由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点
四、二次函数图象的平移：
2
i.平移步骤：
方法一：
⑴将抛物线解析式转化成顶点式y=ax_hk，确定其顶点坐标h，k；
2
⑵保持抛物线y=ax的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：
2.平移规律：
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.
概括成八个字“左加右减，上加下减”
22
方法二：
⑴y=axbxc沿y轴平移：
向上（下）平移m个单位，y=axbxc变成
22
y=axbxcm（或y=axbxc_m）
⑵y二ax?
•bx•c沿轴平移：
向左（右）平移m个单位，y二ax?
•bx•c变成
22
y二a（xm）b（xm）c（或y二a（x「m）b（x「m）c）
22
五、二次函数y=ax-hk与y二axFxy的比较
22
从解析式上看，y=ax-hk与y=axbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，
xA2.4ac£
I2a丿4a，其中六、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数a二次函数八狄Fx弋中，a作为二次项系数，显然a=0.
⑴当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；
⑵当a：
：
：
0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大.
总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小.
2.一次项系数b:
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.⑴在a0的前提下，当b0
3.
bb
°°
时，2a，即抛物线的对称轴在y轴左侧；当b=°时，2a，即抛物线的对称轴就是y轴；当b：
：
：
°
-—>°
时，2a，即抛物线对称轴在y轴的右侧.
总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置.
b
x=——
（3）ab的符号的判定：
对称轴2a在y轴左边则ab°，在y轴的右侧则ab：
：
：
°，概括的说就是
“左同右异”
3.常数项c:
⑴当c°时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当
c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为°；⑶当c：
：
：
0时，抛物线与
22
二ax-hk关于y轴对称后，得到的解析式是y=ax・hk；
4.
y=-ax2bx-c；
；
关于原点对称：
y=a^bxc关于原点对称后，得到的解析式是
22
y=ax—hk关于原点对称后，得到的解析式是yyX•h
2
得到的解析式是yyx-hk
2
5.关于点m，n对称：
y"x_hk关于点m，n对称后，得到的解析式是
2
y=-axh「2m:
.-2n「k
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变•求
抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.
八、二次函数与一元二次方程：
1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：
2
一元二次方程ax2・bx・c=O是二次函数y=axbxc当函数值y时的特殊情况.
AB二X2-xj二
.b24ac
图象与x轴的交点个数：
①当A=b2-4ac0时，图象与x轴交于两点Axi，0，Bx2，0（x<"x2），其
2
中的Xi，x2是一元二次方程ax•bx弋=0a=0的两根•这两点间的距离
②当盘=0时，图象与x轴只有一个交点；③当.■:
.0时，图象与x轴没有交点.
1'当a0时，图象落在X轴的上方，无论X为任何实数，都有y；
2'当a<0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y”：
°.
2
2.抛物线y=axbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为（°,c）；
3.二次函数常用解题方法总结：
⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶根据图象的位置判断二次函数yFx?
Fx<中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判
断图象的位置，要数形结合；
⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个
交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标
⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式axbxc（^"0）本身就是所含字母x的二次函数；下
面以a0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系
A>0
抛物线与x轴有
两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负
一兀二次方程有两个不相等实根
\=0
抛物线与X轴只有一个交点
二次三项式的值为非负
一兀二次方程有两个相等的实数根
也<0
抛物线与X轴无交占
八、、
二次三项式的值恒为正
一兀二次方程无实数根.
九、函数的应用
刹车距离
丿何时获得最大利润
最大面积是多少
I
★二次函数考查重点与常见题型
1考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：
22
已知以x为自变量的二次函数y=（m-2）xm~m~2的图像经过原点，则m的值是（）。
2、综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：
如图，如果函数y=kx•b的图像在第一、二、三象限内，那么函
2
数八也bx-1的图像大致是（）
3、考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性
5
的综合题，如：
已知一条抛物线经过（0,3），（4,6）两点，对称轴为3，求这条抛物线的解析式。
4、考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：
已知抛物线y=axbxc（a丰0）与x轴的两个交点的横坐标是一1、3,与y轴交点的纵坐标是一3
（1）确定抛物线的解析式；
（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标
5•考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。
【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号
y_ax2+bx+C，VI2丿
例1
（1）二次函数yYxbxc的图像如图1，则点a在（）
A•第一象限B•第二象限C•第三象限D•第四象限
（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（0）的图象如图2所示，？
则下列结论：
①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0;④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（）
A.1个B•2个C•3个D•4个
例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（-2,0）、（x1,0），且1①a0;③4a+c<0;④2a-b+1>0,其中正确结论的个数为（）
A1个B.2个C.3个D.4个答案：
D会用待定系数法求二次函数解析式
例3.已知：
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为（）
A（2,-3）B.（2,1）C（2,3）D.（3,2）答案：
C例4.已知：
二次函数y=ax2-（b+1）x-3a的图象经过点P（4,10），交x轴于A（xi,0）,B（x2,0）两点（xivx?
）,
交y轴负半轴于C点，且满足3A0=0B
M,使锐角/MCONACO若存在，请你求出
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数的图象上是否存在点M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由.
（1）解：
如图•••抛物线交x轴于点A（x1,0）,B（x2,0）,
则x1•x2=3<0，又Tx1/•x2>0,x1<0,T30A=OB/•x2=-3x1.
•••x1•x2=-3x12=-3.•••x12=1.
x1<0,•x仁-1.•••.x2=3.
•••点A（-1,0）,P（4,10）代入解析式得解得a=2b=3•.二次函数的解析式为y-2x2-4x-6.
⑵存在点M使/MC0
⑵解：
点A关于y轴的对称点A'（1,O）,
•直线A,C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为（0,-6）,（5,24）.•符合题意的x的范围为-1x（元）？
与产品的日销售量y（件）之间的关
当点M的横坐标满足-1x（元）
1
2
3
5
0
0
y（件）
2
2
1
5
0
0
若日销售量y是销售价x的一次函数.
（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）
?
此时每日销售利润是多少元?
要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元?
15kb=25,
【解析】
（1）设此一次函数表达式为y=kx+b」「2k•b=20解得k=-1,b=40,?
即一次函数表达式
为y=-x+40.
（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元：
w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）
2+225.
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元.
★二次函数知识点汇总^
★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★
9.抛物线y=ax'bx•c中，a,b,c的作用
b
①b=0时，对称轴为y轴；②a0（即a、b同号）时,对称轴在y轴左侧;
b
0
③a（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧•
2
⑶c的大小决定抛物线y=axbxc与y轴交点的位置
2
当x=0时，y=c抛物线y=axbxc与y轴有且只有一个交点（o,C）:
聲0
.如抛物线的对称轴在
①c=0，抛物线经过原点；②c>0,与y轴交于正半轴；③cV0,与y轴交于负半轴
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
2
y=ax
当aa0时
开口向上当av0时开口向下
x=0（y轴）
（0,0）
y=ax2+k
x=0（y轴）
（0,k）
y=a（x-hf
x=h
（h,0）
2
y=a（x—h）+k
x=h
（h,k）
y=ax2+bx+c
b
x--—
2a
b4ac-b2
（2a'4a）
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立
y轴右侧，则
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:
11.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：
y=a^bxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式
（2）顶点式：
y=ax-hk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式
（3）交点式：
已知图像与x轴的交点坐标x1、x2,通常选用交点式：
y^ax-X1X-X2.
12.直线与抛物线的交点
2
（1）y轴与抛物线y=axbxc得交点为（0，c）
⑵与y轴平行的直线x二h与抛物线y=ax'•bx•c有且只有一个交点（h,ah2bhc）.
⑶抛物线与x轴的交点：
二次函数ybx•c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、X2，是对应
2
一元二次方程axbx0的两个实数根.抛物线与X轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根
的判别式判定：
①有两个交点：
=”0：
=抛物线与X轴相交；②有一个交点（顶点在X轴
上）U.）=0=抛物线与X轴相切；③没有交点=二：
：
：
0=抛物线与X轴相离•
⑷平行于x轴的直线与抛物线的交点同（3）—样可能有0个交点、1个交点、2个交点•当有2个交点时,
2
两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是axbxk的两个实数根.
2
（5）一次函数y=kx.nk=0的图像l与二次函数y=ax.bx.ca=0的图像G的交点，由方程组
y=kxn
y-ax?
bxc的解的数目来确定：
①方程组有两组不同的解时二I与G有两个交点；②方程组只有一组解时二1与G只有一个交点；③方程组无解时二1与G没有交点•
2
（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：
若抛物线y=axbxc与x轴两交点为Axi,0,Bx2,0，由于
2
x1、x2是方程ax•bx•c=0的两个根，故
13.
二次函数与一元二次方程的关系:
有一个交点、没有交点；当
⑵二次函数yFxc的图象与x轴的交点有三种情况：
有两个交点、
2
二次函数y=axbxc的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=°时自变量x的值，即一元
2
次方程axbxc=0的根.
们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等.
黄冈中学“没有学不好滴数学”系列之十二二次函数知识点详解（最新原创助记口诀）
知识点四，正比例函数和一次函数
1、一般地，如果（k，b是常数，k^O）,那么y叫做x的一次函数。
特别地，当一次函数『=也+&中的b为0时，『=也（k为常数，k式0）。
这时，y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像：
所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
一次函数y=坎•b的图像是经过点（0,b）的直线；正比
例函数y=kx的图像是经过原点（o,0。
的直线。
k的符号
b的符号
函数图像
图像特征
k>0
b>0
yi
0/
I
/
图像经过一、二、三象限，y随x的增
大而增大。
0/x
b<0
y:
0x
I
图像经过一、三、四象限，y随x的增
大而增大。
/
/
K<0
b>0
y
J
\
\■
图像经过一、二、四象限，y随x
的增大而减小
0x
\
b<0
y」
\
L
图像经过二、三、四象限，y随x
的增大而减小。
0
\-10-页共18页
注：
当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。
4、正比例函数的性质
一般地，正比例函数y二也有下列性质：
（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大;
（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
5、一次函数的性质
一般地，一次函数y=kxb有下列性质：
（1）当k>0时，y随x的增大而增大
（2）当k<0时，y随x的增大而减小
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx（k=o）中的常数k。
确定一个一次函数，需
要确定一次函数定义式y二也F（k=o）中的常数k和b。
解这类问题的一般方法是待定系数法
知识点五、反比例函数
k
y=—
1、反比例函数的概念：
一般地，函数x（k是常数，k=0）叫做反比例函数。
反比例函数的解析式
也可以写成y二也的形式。
自变量x的取值范围是x=0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实
数。
2、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们
关于原点对称。
由于反比例函数中自变量x=0，函数y=0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即
双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例函数的性质
反比例函数
k
y=—（k式0）
x
k的符号
k>0
k<0
图像
y
I
J
L
ox
Ox
r
性质
1x的取值范围是xH0,
y的取值范围是yH0；
2当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。
在每个象限内，y随X的增大而减小。
1x的取值范围是x^0,
y的取值范围是y^0;
2当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。
在每个象限内，y随X的增大而增大。
k
y=一
4、反比例函数解析式的确定：
确定及诶是的方法仍是待定系数法。
由于在反比例函数X中，只有一
个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
知识点六、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念：
一般地，如果特y=ax-bxc（a,b,c是常数，a=0），特别注意a不为零
那么y叫做X的二次函数。
y二axbxc（a,b,c是常数，a=°）叫做二次函数的一般式。
b
x=——
2、二次函数的图像：
二次函数的图像是一条关于2a对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法
五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴
（2）求抛物线y=axbxc与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C的对称点Db
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。
由C、MD三点可粗
略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B,然后顺次连接五点，
画出二次函数的图像。
知识点七、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：
口诀-----一般两根三顶点
2
（1）一般一般式：
y=axbxc（a,b,c是常数，a=0）
2
（2）两根当抛物线y=axbxc与x轴有交点时，即对应二次好方程ax2bx°有实根xi和
22
x2存在时，根据二次三项式的分解因式axbx•c=a（x-xi）（x-X2），二次函数y=axbxc可
转化为两根式y=a（x-Xi）（x-X2）。
如果没有交点，则不能这样表示。
a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
（3）三顶点顶点式：
y=a（x-h）2•k（a，h,k是常数，a=°）
知识点八、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最
2
b4ac—bb
x=_y最值=v—
小值）,即当2a时，4a。
如果自变量的取值范围是x^x2,那么，首先要看2a
围内，则需要考虑函数在X1乞XEx2范围内的增减性，如果在此范围内，y随X的增大而增大，则当X=X2
则当x=Xi时，y最大=axi+b
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