上一点，AC>AB，求证：
15.P是∠BAC平分线ADC
A
DP
B
，AC上取点E在＝AB。
使AEAE＝AB∵AP＝AP
＝∠BAE，∠EAPBAP∴△EAP≌△PB。
PE∴＝PE
EC＋PC＜PBAE）＋∴PC＜（AC－AB。
PB＜AC－∴PC－
AC-AB=2BE
，求证：
，BE⊥AE已知∠ABC=3∠C，∠1=∠216.
证明：
角DBC=C上取一点D，使得角在AC∵∠ABC=3∠C
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C；
∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;
∴AB=AD
∴AC–AB=AC-AD=CD=BD
在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线，
∴AE垂直BD
∵BE⊥AE
∴点E一定在直线BD上，
.
BD垂直AB=AD，AE在等腰三角形ABD中，的中点也是BD∴点EBD=2BE∴BD=CD=AC-AB∵AC-AB=2BE
∴
DC
，求，AC=7已知，E是AB中点，AF=BD，BD=517.
D
CF
A
E
B
G延长线于交DE∵作AG∥BDBDEAGE全等∴AG=BD=5∴CDFAGF∽∴AF=AG=5
∴DC=CF=2
BC．，∠1=∠2，求证：
AD⊥18．如图，在△ABC中，BD=DC
E,
BC于点解：
延长AD至是等腰三角形∴△BDC∵BD=DC
DCB
∠∴∠DBC=
2∠1=∠DCB+∴∠DBC+∠又∵∠1=∠2
ACB∠即∠ABC=
是等腰三角形∴△ABC
AB=AC
∴
ACD中ABD在△和△
AB=AC｛
21=∠∠
BD=DC
是全等三角形（边角边）和△ACD∴△ABDCAD∠∴∠BAD=
的中垂线△ABC∴AE是
BCAE⊥∴
⊥BC∴AD
.
N．为垂足，AB交OM于点OP,MB⊥OQ，A、B平分∠19．如图，OMPOQ，MA⊥∠OBA求证：
∠OAB=
证明：
POQ平分∠∵OMQOM＝∠∴∠POMOQMB⊥OP，⊥∵MA90MAO＝∠MBO＝∴∠OM
∵OM＝（AAS）∴△AOM≌△BOM
OB∴OA＝ON
∵ON＝（SAS）≌△∴△AONBON
ONB，∠ONA=∠∴∠OAB=∠OBA180∠ONB＝∵∠ONA+90＝∠ONB＝∴∠ONAAB∴OM⊥的连线，CEPAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E．20（5分）如图，已知AD∥BC，∠AB．．求证：
AD+BC=交AP于D
PCED点，BE的延长线，与AP相交于F做PA//BC∵BACBA和∠，BE均为∠PAB∴∠PAB+∠CBA=180°，又∵，AE的角平分线AEB=90°，EAB为直角三角形EAB+∴∠∠EBA=90°∴∠为∠FAB的角平分线AE在三角形ABF中，AE⊥BF，且AB=AF,BE=EF∴三角形FAB为等腰三角形，与三角形BEC中，在三角形DEFCEB，DFE,且BE=EF，∠DEF=∠EBC=∠∠DF=BCBEC为全等三角形，∴∴三角形DEF与三角形AB=AF=AD+DF=AD+BC∴
C=2∠B+AD是∠CAB的平分线，且AB=ACCD，求证：
∠中，21．如图，△ABC
A
.CBD．
延长AC到E
使AE=AC连接ED
∵AB=AC+CD
∴CD=CE
可得∠B=∠E
△CDE为等腰
∠ACB=2∠B
22．（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．
（1）求证：
MB=MD，ME=MF
（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？
若成立请给予证明；若不成立请说明理由．
．BE，DF1（）连接，AC于FAC于E，BF⊥∵DE⊥，DE∥BFDEC=∠BFA=90°，∴∠中，△BFARt△DEC和Rt在，，AB=CD∵AF=CE，HL）Rt△BFA（∴Rt△DEC≌．∴DE=BFBEDF是平行四边形．∴四边形ME=MF；∴MB=MD，DF．2）连接BE，（F，⊥AC于DE⊥AC于E，BF∵，DE∥BF∴∠DEC=∠BFA=90°，中，△BFA和在Rt△DECRt，，AB=CD∵AF=CE），△BFA（HL≌∴Rt△DECRtDE=BF．∴BEDF是平行四边形．∴四边形.
．∴MB=MD，ME=MF
的中点，E为AB∥AB，且DC=AE，23．已知：
如图，DC．AED≌△EBC
（1）求证：
△的面积EBC）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△外，请再写出两个与△AED（2相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：
A
DOE
BC
证明：
AB
DC∥∵AEDCDE＝∠∴∠AEDC＝∵DE＝DE，EDCAED≌△∴△AB中点∵E为BEAE＝∴DCBE＝∴AB
DC∥∵BECDCE＝∠∴∠CE
＝∵CEEDC≌△∴△EBCEBC≌△∴△AED的延长BD是∠ABC的平分线，=90度，AB=AC，BD（24．7分）如图，△ABC中，∠BAC的延长线于F．点的直线于E，直线CE交BA线垂直于过CCE．=2求证：
BDF
A
ED证明：
CB∵∠CEB=∠CAB=90°
∴ABCE四点共元
∵∠ABE=∠CBE
.
AE=CE∴EAC
∴∠ECA=∠AG=BG=DG，连接AG，则：
取线段BD的中点GABG
∴∠GAB=∠GBA（同弧上的圆周角相等）而：
∠ECA=∠GABGBA=∠∴∠ECA=∠EAC=∠AC=AB而：
AGB≌△∴△AECEC=BG=DG∴BE=2CE
∴∠AD=BC，∠D=C。
求证：
△AED≌△BFC。
25、如图：
DF=CE，EFDCBA
，证明：
∵DF=CEDF-EF=CE-EF，∴，即DE=CF△BFC中，在△AED和C∠，DE=CF∵AD=BC，∠D=（SAS）∴△AED≌△BFCBE=CF。
，上，BE∥CF，10分）如图：
AE、BC交于点MF点在AM（26、ABC的中线。
求证：
AM是△AFBCME
.
证明：
CF
BE‖∵FCMEBM=∠∴∠E=∠CFM，∠BE=CF∵CFMBEM≌△∴△BM=CM
∴.
ABC的中线∴AM是△。
的中点。
求证：
BD⊥AC分）如图：
在△10ABC中，BA=BC，D是AC27、（ADBC
BCD的三条边都相等∵△ABD和△BCDABD=△∴△CDADB=∠∴∠°ADB=∠CDB=90∴∠AC
⊥∴BDBF=CF
的延长线上的一点。
求证：
是ADAB=AC，DB=DC，F分）28、（10ADCBF
在△ABD与△ACD中
AB=AC
BD=DC
AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴∠ADB=∠ADC
.
FDC∠∴∠BDF=中BDF与△FDC在△BD=DC
FDC∠∠BDF=DF=DF
FCD≌△∴△FBDBF=FC
∴。
。
求证：
AF=DEAB=CD，AE=DF，CE=FB29、（12分）如图：
ABFECD
∵AB=DC
AE=DF,
CE=FB
CE+EF=EF+FB
∴△ABE=△CDF
∵∠DCB=∠ABF
AB=DCBF=CE
△ABF=△CDE
∴AF=DE
30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.
证明：
连接EF
∵AB∥CD
∴∠B=∠C
∵M是BC中点
∴BM=CM
在△BEM和△CFM中
BE=CF
.
C∠∠B=BM=CM
）（SAS∴△BEM≌△CFMCF=BE∴．△ABE≌△CDFCE在同一条直线上，AF＝，BE∥DF，BE＝DF．求证：
、31．已知：
点A、FE、C
∵AF=CE,FE=EF.∴AE=CF.DF//BE,∵CFD（两直线平行，内错角相等）∴∠AEB=∠∵BE=DF（SAS）∴：
△ABE≌△CDF
AF。
BC的中点，求证：
AE＝，，BC＝DCE、F分别是DC、已知：
如图所示，32.AB＝AD
D
E
CA
F
B
连接BD；AB=ADBC=D
∵；∠ABC∠CDB=∠ABD;两角相加，∠ADC=∠∴∠ADB=ABD
E\F是中点BC=DC∵
∴DE=BF；DE=BF∵AB=AD
ABC∠ADC=∠AE=AF。
∴33．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证:
∠5=∠6．
.
D
513AC462EB
证明：
ABC中在△ADC，△DCA∠BCA=∵AC=AC，∠BAC=∠DAC，∠（两角加一边）∴△ADC≌△ABCBC=CD，∵AB=ADBEC在△DEC与△中BC=CD∠BCA=∠DCA，CE=CE，∴△DEC≌△BEC（两边夹一角）BEC∠∴∠DEC=
＝．△ABC≌在上AF，△且ADDEF，CF求证：
C，，知34．已AB∥DEBC∥EFD，
AD=DF∵AC=DF∴DE//∵ABEDF∠∴∠A=EF//又∵BCBCA
F=∠∴∠）≌△DEF（ASA∴△ABC
.
，求F、CE相交于点CEBD?
AC，?
AB，垂足分别为D、E，BDAB35．已知：
如图，=AC，=BECD．证：
CD
F
E
A
证明：
AC∵BD⊥∴∠BDC=90°AB∵CE⊥°∴∠BEC=90°∴∠BDC=∠BEC=90AB=AC∵EBC∠∴∠DCB=BC=BC
∴AAS）BEC（BDC≌Rt△∴Rt△BE=CD
∴
。
于⊥ACFDE⊥AB于E，DF、如图，在△36ABC中，AD为∠BAC的平分线，．求证：
DE=DFA
EF
CBD
证明：
是∠ADBAC的平分线∵FAD∴∠EAD=∠ACDF⊥∵DE⊥AB，°∴∠BFD=∠CFD=90与∠∴∠AEDAFD=90°.
中与△在△AEDAFDFAD∠∠EAD=AD=AD
AFD
∠∠AED=）AFD（AAS∴△AED≌△AE=AF
∴
中AEO与△AFO在△FAO∠∠EAO=AO=AO
AE=AF
）（SAS∴△AEO≌△AFO°∠AOF=90∴∠AOE=EF
⊥∴AD
?
?
?
的求AD．若AB=5,BCAB于A,=AE37.已知：
如图,ACBC于C,DEEAC于,AD长？
A
DE
C
B
AB∵AD⊥ADE
∠BAC=∠∴AC⊥BC于C，DE⊥AC于又∵E
根据三角形角度之和等于180度
∴∠ABC=∠DAE
∵BC=AE，△ABC≌△DAE（ASA）
∴AD=AB=5
.
38．如图：
AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。
求证：
MB=MC
A
FEBMC
证明：
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵ME⊥AB，MF⊥AC
∴∠BEM=∠CFM=90°
在△BME和△CMF中
∵∠B=∠C∠BEM=∠CFM=90°ME=MF
∴△BME≌△CMF（AAS）
∴MB=MC．
AD?
BCAC?
BDCE?
DE?
D?
?
C④39.如图，给出五个等量关系：
①③②?
DAB?
?
CBA．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结⑤论（只需写出一种情况），并加以证明．
已知：
①AD=BC，⑤∠DAB=∠CBA
求证：
△DAB≌△CBA
证明：
∵AD=BC，∠DAB=∠CBA
又∵AB=AB
∴△DAB≌△CBA
CDMNMNBCAD?
90?
ACB?
?
AC?
，40．在△ABC中，，直线，且经过点于，CEMNCEBADC?
?
MNBE?
旋转到图1求证：
①绕点于≌当直线；.
（1）的位置时，DE?
AD?
BE；②CMN旋转到图2的位置时，
（1）当直线
（2）中的结论还成立吗？
若成立，绕点请给出证明；若不成立，说明理由.
.
）（1°，∠BEC=90①∵∠ADC=∠ACB=°．∠BCE=90∠CBE=90°，∠ACD+°，∠∴∠CAD+∠ACD=90BCE+．∠BCE∴∠CAD=，∵AC=BC．≌△CEB∴△ADC，≌△CEB②∵△ADCCD=BE．∴CE=AD，DE=CE+CD=AD+BE．∴ACB=90°，ADC=∠CEB=∠
（2）∵∠CBE．∴∠ACD=∠AC=BC，又∵CBE．∴△ACD≌△CD=BE．∴CE=AD，BECD=AD﹣∴DE=CE﹣
BF⊥2）EC1。
求证：
（）EC=BF；（41．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC
F
A
E
M
C
B
，AF⊥AC）∵AE⊥AB，（1°，∠CAF=90BAE=∴∠，∠BACBAE+∠BAC=∠CAF+∴∠，∠BAF即∠EAC=中，和△AEC在△ABFAF=AC，BAF，∠EAC=∠，∵AE=AB），≌△AEC（SAS∴△ABFEC=BF；∴
AEC，，△ABF≌△
（2）如图，根据
（1），∠∴∠AEC=ABF，AE⊥AB∵°，∴∠BAE=90°，AEC+∠ADE=90∴∠，BDM（对顶角相等）∵∠ADE=∠°，∠BDM=90∴∠ABF+=90°，°-90°ABF-BDM中，∠BMD=180°-∠∠BDM=180在△.
∴EC⊥BF．
42．如图：
BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。
求证：
（1）AM=AN；
（2）AM⊥AN。
AN
43FEM21CB
证明：
（1）
∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠ACN
∵BM=AC，CN=AB
∴△ABM≌△NAC
∴AM=AN
（2）
∵△
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