狭义相对论推导详细计算过程.docx
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狭义相对论推导详细计算过程
狭义相对论推导详细计算过程
狭义相对论
狭义相对论基本原理：
1.基本物理定律在所有惯性系中都保持相同形式的数学表达式，因此一切惯性系都是等价的。
2.在一切惯性系中，光在真空中的传播速率都等于C,与光源的运动状态无关。
假设S系和S'系是两个相对作匀速运动的惯性坐标系，规定S'系沿S系的x轴正方向以速度v相对于S系作匀速直线运动，x'、y'、z'轴分别与x、y、z轴平行，两惯性系原点重合时，原点处时钟都指示零点。
I洛伦兹变换
现假设，x'=k（x-vt）①，k是比例系数，可保证变化是线性的，相应地，S'系的坐标变换为S系，有x=k（x'+vt）②，另有y'=y，z'=z。
将①代入②：
x=k[k（x-vt）+vt']
x=kA2*（x-vt）+kvt'
t'=kt+（1-kA2）x/kv
两原点重合时，有t=t'=0，此时在共同原点发射一光脉冲，在S系，x=ct，在S'系，x'=ct'.
将两式代入①和②：
ct'k（c-v）t得ct'kct-kvt即
t'（kct-kvt）/c
ct=k（c+v）t'得ct=kct'kvt'
两式联立消去t和t'
ct=k（kct-kvt）+kv（kct-kvt）/c
ct=kA2ct-kA2vt+kA2vt-kA2vA2t/c
cA2=kA2cA2W2vA2
k=—1
k.1—v2/c2
将k代入各式即为洛伦兹变换:
X'—X二vt—
x-d-v2/c2
y'=y
z'=z
t't-vx/c2_
1-v2/c2
或有
x'k（x-vt）
=k（1-v/c）x
x=k（x'vt'
=k（1+v/c）x'
两式联立，
x'k（1-v/c）k（1+v/c）x'
k=1
k=d-v2/c2
H同时的相对性
S中取A（xi,y,z,ti）和B（X2,y,z,t2）,同时发出一光脉冲信号，即ti=t2,且XiMX2。
在S中，△t=ti-t2=0
22
在s'中，ti't2',△t'ti'
v1-v2/c2Vl-v2/c2
2
I?
'（x-？
/；，由于XiMX2,贝VS'中，△0。
訥-v2/c2
即在s系中不同位置同时发生的两个事件，在s'系中看来不是同时发生的。
亦可说明时间和空间是相互联系的。
皿时间延缓效应（时钟变慢）
如U中，对于S系同时发生的两事件，在s'系中出现了时间间隔，即时间膨胀或延缓。
设S'系中的X。
'处先后在ti'口t2‘发生两事件，则△t'=t2‘-ti'在S系中，
22
△t=t2-ti=t2；vxo'/c-t严/cAf>△t'
△tt2tiM_v%2口77L77△1
说明在S'系中，两事件的时间间隔小于在S系看来的间隔，即在S系看来，S'系中的时钟变慢了。
（对于确定的两事件，时间间隔应相同，时间起点相同，S中观察到的间隔要长一些，便认为是S'系中的时钟变慢了。
）
W长度收缩效应（尺缩）
S'系中放置一沿x轴方向的长杆，设两端点的坐标是Xi'和X2‘，则静止长度△L'=△Lo=X2‘-Xi',称为固有长度。
在S系中要测量长杆的长度，必须同时测出
Xi和X2,即ti=t2。
由
Xi'=—X1二丁2和X2‘=—X2二：
得△Lo=△L'=X2‘-W—V/c心—V/c
Xi'=—x：
X12=—则△L=△Loi—v2/c2v△Lo即5-V/c£1-V/c
在S系中观察运动的杆时，其长度比静止时缩短了。
V速度变换法则
设一质点在两惯性系中的速度分量为
Ux=dx/dtuy=dy/dtuz=dz/dt（S系）
Ux'=dx'/dtUy'=dy'/dtUz'=dz'/dt（S'
系）
由洛伦兹变换得
dX‘=-dx；Vd\
曲—V/c
dy'dy
dz'dz
2
dt-vdx/c
/2
1—v/c
前三式分别除以第四式得
Ux-V
1-vux/c2
Ux'
Uz'
uz1-v2/c
1-vux/c2
相应地有，
uz'd-V2/c2
2
1VUx/c
狭义相对论动力学
w质速关系
设S系中的X0处有一静止粒子，因内力分裂为质量相等的A、B两部分，且分裂后mA以速度v沿x轴正方向移动，ms以速度-v沿x轴
A|
—VV
BAV
SS
负方向移动。
—*
则在S'系看来mA静止，即Va'0。
而③。
同时质心仍在X0处未移动，有Vo'-v。
由于动量守恒，（mA+mB）=mAva'mBvb'而VA'0，贝V
-v=mBvb'（mA+mB）
mB/mA=-v/（vb'v）=vb7（vb'v）-1
将③代入上式
mB/mA=沒2+%'2/2—1
VB'_CC.1_Vb'/C
=C^C2J-Vb'2/C2
Vb'2_C2C21_Vb'2/c2
=1
1-Vb'2/c2
得mB=mA22，在S系中二者以相同的速
£1-Vb'2/C2
度沿相反方向运动，而在S'系中，mA静止，可看做静质量（m°）。
mB以速率Vb'运动，可视为运动质量，称相对论质量。
则运动物体的质量与其静质量的一般关系即
曲-v2/c2
叩相对论动力学基本方程
相对论动量p=mv=—m；v-2-（p、v均为矢
嘗1—v/c
量）
物体受力F=dp/dt=d—m；J/dt（F、p、v
卞1—v/c
均为矢量）
当v«c时，即为牛顿第二定律，pmv=F△t忸质能关系
由％知，F=
dp/dt=d（mv）/dt=vdm/dt+mdv/dt。
另有dx=vdt
经典力学中，质点动能增量即合力做的功，应用的相对论中，
Ek=Fdx=（dmvdvm）dx=（mvdvv2dm）^④
m°
dm=（——m22）'dv=mo（—122）'（1-v2/c2）'dv
1「v/c1「v/c
m°v.
dv
22/2、3
C（J-V/c）
3
Ek=（U昇二2严
2"2f2、3
=“mvcBTcfe^
此式）
=c2dm
=mcA2+C
其中C为积分常量，知v=0时,m=mo,Ek=0,代入求得C=-mocA2o贝q
Ek=mcA2-mocA2
=mocA2^r47=21）⑤
.1一V/c
当vvvc时对一；一2作泰勒展开，得
-V/c
取前两项有Ek=mocA2（1+vA2/2cA2-1）=movA2/2，即经典力学动能表达式。
而⑤式可改写为mcA2=Ek+mocA2，mocA2是物体静止时的能量，称物体的静能，而mcA2为物体的总能量。
将总能量用E表示，写作
2
E=mcA2=,弋2即相对论质能关系。
y'1-V2/C2
泰勒展开：
根据泰勒公式的简单形式，即迈克劳林公式，有f（x）=f（o）+f'（o）x+f'（o）xA2/2!
+……+fn（o）xAn/n!
。
对于f（v）=
*1一v/c
v
C2（:
匚V2/C2）3
f（v）=f（0）+f'0）v+f;（0）vA2/2!
+
此处,
f3（v）vA3/3!
+f4（v）vA4/4!
+=1+0+vA2/2cA2+0+3vA4/8cA4+……
=1+vA2/2cA2+3vA4/8cA4+……区能量-动量关系
将p=mv=—m。
：
—2中的vA2解出，得W—v/c
22
vA2==J，代入质能方程，得
p+mgc
22
E=m0C2=m0C=cpfc2
2〃222、220
J-p/（pmoc）moc
~222
pmoc
则EA2=pA2cA2+moA2cA4即相对论能量-动量关系。
同时可知，对于静质量为零的粒子，如光子，有E=pc，贝Up=mcA2/c=mc,与p=mv比较可得，静止质量为零的粒子总以光速c运动。
结合普朗克的理论，由E=mcA2=hv可得至［光子的相对论质量m=hv/cA2oh为普朗克常量，v为光的频率。
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