数字滤波器的优化设计.docx
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数字滤波器的优化设计
数字滤波器的优化设计
数字滤波器的优化设计浅析
3025
何志会
数字滤波器的优化设计浅析
摘要
当前，在数字信号处理和电子应用技术领域，数字滤波器以其精度高、灵活性好、便于大规模集成等突出优点，占据了至关重要的地位。
按冲击响应持续时间，数字滤波器可分为有限冲击响应（FIR）滤波器和无限冲击响应（IIR）滤波器。
传统的数字滤波器的设计方法有窗函数法、频率采样法和等波动最佳逼近法等。
但是随着时代的发展，应用领域的广泛增加、信号处理要求变高以及计算复杂程度的不断提高，对于数字滤波器软件和硬件的要求也越来越专业、复杂。
因此，数字滤波器的优化设计也显得更加重要。
近年来，国内外对数字滤波器的优化算法进行了较多的研究，提出了很多优化方法和算法，如：
人工鱼群算法、粒子群算法、遗传算法、最小P误差法、小波逼近法等。
这些算法大大提高了数字滤波器的应用范围，使结果更加逼近于目标函数。
硬件上，FPGA以其体积小、速度快、重量轻、功耗低、可靠性高、成本低等优点在数字滤波器上得到应用，具有很好的发展前景。
关键词：
数字滤波器；优化；算法
OptimizationdesignofFIRdigitalfilter
Abstract
Atpresent,thedigitalfilterwithitshighprecision,flexibility,easeoflarge-scaleintegrationandotheradvantages,occupiesacrucialpositioninthefieldofdigitalsignalprocessingandapplicationoftothedurationoftheimpulseresponse,digitalfiltercanbedividedintofiniteimpulseresponse（FIR）filtersandinfiniteimpulseresponse（IIR）filter.Traditionalmethodsofdigitalfilterdesignusewindowfunctionmethod,samplingmethod,frequencyfluctuationsandthebestapproximationmethod.Butwiththedevelopmentofthetimes,awiderangeofapplicationsincreases,thesignalprocessingrequirementsofhighchangeandincreasingcomplexityofthecalculationsforthedigitalfiltersoftwareandhardware,requirementshavebecomemorespecializedandcomplex.Therefore,thedigitalfilterdesignoptimizationisevenmoreimportant.Inrecentyears,domesticandinternationaldigitalfilteroptimizationalgorithmformoreresearch,madealotofoptimizationmethodsandalgorithms,suchas:
artificialfishschoolalgorithm,particleswarmoptimization,geneticalgorithm,thesmallestPerrormethod,waveletapproximationmethod.Thesealgorithmsgreatlyimprovetheapplicationofdigitalfilters,sothattheresultsmoreclosetothetargetfunction.Hardware,FPGAwithitssmallsize,fast,lightweight,lowpowerconsumption,highreliabilityandlowcosthavebeenappliedinthedigitalfilter,withgoodprospectsfordevelopment.
Keywords:
Digitalfilter;Optimization;;algorithm
1研究意义
由于数字滤波器审计在实际工程中只能是逼近理想的设计指标，即：
主要任务是使滤波器幅频响应与所要求的幅频响应的均方误差最小，因此可以将它看成是一个按某种优化准则求解最优解的优化问题。
而优化是指在给定的制约条件下，求出使目标函数（组）最大或最小的变量组合问题。
从理论上讲，任何确知的制约条件及目标函数的优化问题都存在一组实质解，工程中我们不但关心这组解是否存在，而且关心求解所需的运算时间，因此最优解问题可以根据所需要的求解时间来进行分类。
滤波器的设计包括三个基本步骤：
（1）按照实际的任务要求，确定滤波的性能指标。
（2）设计一个因果、稳定的离散线性时不变系统的系统函数
去逼近这一性能指标。
根据不同的要求可以用FIR系统函数，也可以用IIR系统函数去逼近。
（3）从物理上实现所设计的
，即利用有限精度算法去实现系统函数。
可见，逼近
的效果，直接决定了数字滤波器性能的优劣。
随着计算机技术的快速发展，实践证明，利用优化算法来设计，不仅可以获得满意的效果，而且成本得到很大降低，灵活程度也更好。
因此，本文主要浅析几种现今主要的数字滤波器的优化算法设计。
2数字滤波器的优化设计
表FIR数字滤波和IIR数字滤波器的比较
比较
FIR滤波器
IIR滤波器
性能
可以得到严格的线性相位。
但是要提高选择性，所用存储器较多，运算时间长，成本高，时延较大。
用较少的阶数获得很好的选择性，所用存储单元少，运算次数少。
但是相位非线性，选择性越好，相位越趋于非线性。
结构
采用非递归结构，系统稳定，预算误差较小。
还可以采用快速傅里叶变换算法等，在同阶条件下，运算速度较快。
采用递归型结构，极点位置必须在单位圆内，以保证系统稳定。
运算过程中采用四舍五入，有时会引起寄生震荡。
设计角度
对计算工具要求较高
设计和计算的工作量较小，对计算工具要求较低
从表可知：
FIR和IIR各有特点，所以在设计中应该从实际出发，多方面考虑加以选择。
例如：
对于线性相位要求不敏感的场合，如语音通讯等，用IIR较合适。
对于图像信号处理，数据传输系统等，对线性相位要求较高，用FIR较好。
滤波器的优化设计
FIR滤波器优化设计应该遵循最优化准则，一般有均方误差最小准则和最大误差最小化准则（也称为加权贝雪夫等纹波逼近）。
粒子群算法
1.定义
粒子群算法，又称为粒子群优化算法（ParticleSwarmOptimization,PSO）是一种新的全局优化算法，算法模拟鸟群飞行觅食的行为，通过鸟之间的集体协作使群体达到最优，PSO算法属于进化算法的一种，和遗传算法相似，它也是从随机解出发，通过迭代寻找最优解，通过适应度来评价解的品质，但它比遗传算法规则更为简单，它没有遗传算法的“交叉”和“变异”操作，它通过追随当前搜索到的最优值来寻找全局最优。
这种算法以其实现容易、精度高、收敛快等优点引起了学术界的重视，并且在解决实际问题中展示了其优越性。
2.由均方误差最小准则有：
（公式
要使均方误差
最小，则应该使：
，
以一维实数FIR优化为例：
（公式）
（公式）
3.适应度函数
粒子群优化算法通过适应度来确定粒子当前位置的优劣，所以必须根据实际问题需要来选择适应度函数F,这里选择
作为FIR数字滤波器设计的适应函数，即：
（公式）
4.参数的选择
（1）权函数
的选择：
根据不同的设计问题，在不同的频段上选择合适的值，以期获得较好的频率特性。
（2）初始化
和
，即初始化种群中的粒子：
在给定区间
中产生一组随机数作为初始化种群。
（3）设定频率采样点：
80到120
（4）设定迭代次数，即指定运算代数，以便寻找到最优粒子。
丢弃其余位置的粒子，由新的随机产生的粒子代替。
这里，我们选择代数为100到250。
5.设计优化步骤
（1）根据不同频段要求初始化
；
（2）设定粒子群优化算法的参数，包括群体大小，参数维数，加权因子；
（3）在参数区间内随机初始化群体中各粒子的位置与速度；
（4）根据公式计算A,利用公式计算粒子的适应度；
（5）根据粒子群建模，更新粒子的位置和速度；
（6）多次迭代，达到预先的迭代次数。
6.实验仿真及结果
实验运用matlab进行仿真，实验数据参考文献【1】
7.实验结果分析：
通过实验结果可以看出：
在给定的一定区域内，算法能够很好地逼近给定的目标，获得较好的阻带特性。
但是同时也看到对于有些频率区域会出现局部最优，即出现局部极值点，而且迭代次数较多，速度较慢。
蚁群算法
1.定义
蚁群算法（antcolonyalgorithm,ACA）是模拟蚂蚁觅食时建立巢穴到食物源最短路径的一种新型启发式优化算法，它提供了一种求解复杂优化问题的方法，并且不依赖于问题的领域和种类，具有本质并行、自组织、正反馈以及鲁棒性等优点，广泛地应用于很多学科和领域。
虽然蚁群优化算法的研究只有十几年的时间，但已经显示出其在求解复杂优化问题方面的优越性，在很多领域中的应用价值越来越被人们重视。
2.优化准则
一般，FIR滤波器有最大最小（MM）优化准则，最小平方（LS）优化准则，纹波约束最小平方（PCLS）优化准则，归一化通带纹波（NPRM）优化准则。
针对不同的技术指标要求，我们可以对应选择不同的优化准则。
对于纹波最大误差要求严格的情形，我们选择MM优化准则；相反，对于整体平方误差要求严格的情形，我们可以选择LS优化准则。
这是两种极端的情形。
当需要同时考虑纹波最大误差和整体平方误差时候，我们就可以选择综合了MM和LS优化准则优点的PCLS优化准则。
在NPRM优化准则下，可以在进行系数优化的同时进行滤波器通带纹波的优化，对滤波器通带的纹波提出了更严格的要求。
3.设计优化步骤
（1）给定滤波器的技术指标；
（2）初始化蚁群算法参数。
如Q，α，β，ρ等，设定t=0,初始信息素浓度
=常数，
；
（3）根据问题规模取一定数目的蚂蚁，使它们在系数上均匀分布。
将无限精度系数进行变换，将之直接舍入处理并作为优化设计的初始点；
（4）每只蚂蚁根据状态转移概率进行更优解的搜索；
（5）当所有得蚂蚁完成各自的搜索，滤波器系数一次优化结束；
（6）更新每条路径上的信息素强度。
（7）用步（5）得到的优化解为起点，转到步骤（4），直到循环次数达到预先设定的最大次数。
（8）以以上步骤得到的所有优化系数，选取性能最佳的那一组作为优化后得FIR数字滤波器系数。
4.实验仿真及结果
实验结果参考文献【2】
5.结果分析
文献【2】对以上的优化准则进行了实验仿真，针对不同阶数和频率的滤波器进行优化，结果能够很好地逼近目标函数。
但是计算量较大，因为蚁群算法更实用于路径规划，算法受初始值的影响，若参数选择不合理，则有可能出现迂回和死锁现象。
总的来说，蚁群算法比较高效，在滤波器设计中较为广泛使用。
改进遗传算法
1.定义
遗传算法是模仿自然界生物进化过程提出的随机优化算法。
遗传算法善长全局搜索，局部搜索能力不足，存在易陷入局部最优解和选择压力过大造成的早熟收敛等问题，同时遗传算法也存在收敛速度比较慢的特点。
云模型是李德毅院士提出的一种定性定量转换模型。
已经在智能控制、模糊评测等多个领域得到应用。
云模型在知识表达时具有不确定中带有确定性、稳定之中又有变化的特点。
对于云模型
，
可以代表父代个体遗传的优良特征，
和
表示了继承过程的不确定性和模糊性，表现了物种进化过程中的变异特征。
基于云模型的优良特性，本文把云模型引入遗传算法中，提高了遗传算法精度，而且能够很好地避免遗传算法早熟收敛等问题。
2.改进后的遗传算法
改进后的遗传算法结合基本的遗传算法思想，沿用遗传算法交叉、变异操作，由正态云模型的Y条件云生成算法实现交叉操作，基本云生成算法实现变异操作。
由于正态云模型具有随机性和稳定倾向性的特点，随机性可保持个体多样性，从而避免搜索陷入局部极值，而稳定倾向性又可很好地保护较优个体从而对全局最值进行自适应定位。
该算法采用实数编码，由匀模型进行个体更新。
3.适应度函数的选择
利用切比雪夫最佳逼近准则，在
区间取p个频率采样点
（k=0,1,…,p-1）,且为每一个
设置一个权重系数
（通带和阻带不同的值），则加权均方误差可表示为
（公式）
可选择上式的倒数作为适应度函数，即适应度函数为
4.实验仿真及结果
见文献【3】
5.实验结果分析：
该算法对遗传算法进行改进后，应用于FIR图像处理上，运动补偿成分增多，可以在一定程度上提高图像的清晰度，但是达到一定的程度后会产生块效应和锯齿效应，反而影响视觉感受，所以也需要找到一个平衡点。
IIR滤波器优化设计
多年来，许多学者在IIR数字滤波器的设计问题上作了大量的研究上作，并提出了一些设计方法。
这些设计方法主要分为两大类：
一是通过频率变换技术将模拟滤波器参数转化成IIR数字滤波器参数。
这种方法的优点是简单易行，易于设计具有规范幅频特性的IIR数字滤波器，比如低通、高通、带通等，但其设计结果往往并不理想。
另一类设计方法是：
优化算法，它是在一定优化准则下，使设计的滤波器性能达到或接近最佳。
如CF法，复域设计法、最小P误差法、模型拟合频率响应法等。
克隆选择算法
1.定义
克隆选择算法CSA（Clonalselectalgorithms），是基于生物免疫系统的克隆选择原理形成的一种概率性搜索算法，具有收敛速度快，．全局搜索能力强的特点。
CSA为数字滤波器的设计提供了一种新的工具，应用CSA优化可以设计FIR滤波器和层叠滤波器。
文献【4】将CSA用于IIR数字滤波器的优化设计，给出了IIR数字滤波器设计的优化模型，介绍了CSA的基本原理和应用CSA设计IIR数字滤波器的具体实现过程，最后，通过仿真试验表明应用CSA设计IIR数字滤波器不仅可行，而且有效。
2.均方误差公式
（公式）
3.实验仿真及结果
参考文献【4】
4.实验结果分析：
可以看出CSA无论是收敛速度，还是优化结果均优于遗传算法。
CAS优于遗传算法的主要原因在于CSA通过克隆选择和高频变异为搜索提供了导向和具体方法，可
实现对解邻域的精确搜索；随机补充抗体确保抗体的多样性，可实现对整个解空间的全局搜索，CSA能够很好地实现局部搜索和全局搜索的平衡。
通过对设计数字滤波器的幅频特性分析，不难发现应用CSA设计的数字滤波器的通带波动、过度带斜率以及阻带衰减均要优于GA设A计的数字滤波器，应用CSA设计数字滤波器具有更好的综合性能。
数据中能够发现CSA设计数字滤波器与理想滤波器的均方误差更小，性能更优。
粒子进化规划算法
1.定义
进化规划算法（EP）于1962年由美国的LJ．Fogel首先提出，但是当时没有受到广泛重视。
上世纪九十年代LJ．Fogel的儿子D．B．Fogel对这种算法进行了改进，自此，进化规划算法开始得到广泛应用。
这种算法的工作流程与其他进化算法类似，主要过程为：
生成初始群体．变异．计算个体适应度．选择．组成新群体，然后将整个过程反复操作，一代一代地进化，直至达到最优解。
2.优点
在进行优化搜索方面，进化规划有其自身的优点，如下所示：
（1）算法采用实数编码，因而使得问题的表述更加简单自然。
（2）在进化规划算法中，只需要进行变异操作，这种做法可以避免因为结
构的不定而使交换操作变得无效。
（3）进化规划算法有较为平稳的搜索过程。
3.粒子进化规划算法（PEP）的目标函数
（公式）
4.实验仿真及及结果
参考文献【5】
5.结果分析：
用PEP优化IIR数字滤波器得到的结果通带和阻带频率响应都比较好，IIR数字滤波器的通带最大波动更小，阻带最小衰减更大，优于EP的结果，这也证明了PEP的寻优能力强于EP。
3.总结与展望
总结
数字滤波器设计方法的研究己有二十多年，尽管普遍认为现有的数字滤波器设计方法己经比较成熟，但是最近几年这方面的文献报导却有增无减。
可以认为数字滤波器设计方法的研究正处于稳定发展的阶段。
滤波器设计从数学本质上讲是一个优化问题，建立在各种优化理论、频率变换技术等基础上的设计方法也各有其特点。
各种算法针对不同的条件，有利也有弊。
如：
遗传算法适合求解离散问题，具备数学理论支持，但是存在着汉明悬崖等问题。
粒子群算法适合求解实数问题，算法简单，计算方便，求解速度快，但是存在着陷入局部最优等问题。
蚁群算法适合在图上搜索路径问题，计算开销会大。
要将三种算法进行混合，就要针对特定问题，然后融合其中的优势，比如将遗传算法中的变异算子加入粒子群中就可以形成基于变异的粒子群算法。
在选择何种算法时，可根据需要选择2~3种算法进行仿真对比或者和已有的学者数据进行仿真对比，为了近可能得出正确的结论，应该尽可能多测试和仿真。
这样可以在进行滤波器设计优化的同时，了解不同的算法，以及不同的硬件。
电子技术在不断发展着，新的算法以及新的硬件支持层出不穷，要想好好把握，必须得总结归纳各种算法的优缺点，才能更好地为自己奠基知识，做到学以致用。
展望
当前，数字滤波器在信号处理领域中的作用越来越突出，并日益显示出其巨大的应用价值。
而优化算法以简单、效率高、应用领域较广方向发展，而显示出了其特有的优越性，待研究的热点问题也还很多。
因此在将来的工作中，打算从以下方面去开展工作：
（1）如文中所述，算法中的参数是影响算法性能和效率的关键之一，而算法的参
数选取很大程度上又都依赖于经验值，通常认为，对于不同的问题往往要选取不同的相应参数．如果能对参数选取规律有一个定性的认识，必将对不同的问题域的参数选取有很大的帮助。
（2）算法应用于高维复杂问题优化时候，如多维数字滤波器的设计问题，往往会
遇到早熟收敛的问题。
这些早熟收敛点，有可能是局部极小点，也有可能是局部极小点邻域的一个点．因此，结合其它一些优化算法，如进化算法、免疫算法等，构造出一种新的、更有效的混合优化算法，是很有必要和有意义的．
（3）将完成仿真设计后的数字滤波器用于实际的工程应用，开辟一个新的途径来解决常见的工程应用问题，如抑制工频干扰、去处图像或语音的背景噪声、陷波处理等等。
4.参考文献
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西南大学，2007
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湘潭大学，2008
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[5]方伟.群体只能算法及其在数字滤波器优化设计中的研究[D].江南大学，2008
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