高三上学期开学检测数学试题.docx

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高三上学期开学检测数学试题

2019-2020年高三上学期开学检测数学试题

一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）

1．（5分）在复平面内，复数（其中i为虚数单位）对应的点位于第　一　象限．

考点：

复数的代数表示法及其几何意义．

专题：

计算题．

分析：

由复数的除法运算把复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，求出对应的点，则答案可求．

解答：

解：

由=．

所以复数（其中i为虚数单位）对应的点为．

位于第一象限．

故答案为一．

点评：

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的几何意义，是基础题．

2．（5分）已知集合M={a，0}，N={x|2x2﹣3x＜0，x∈Z}，如果M∩N≠∅，则a=　1　．

考点：

一元二次不等式的解法．

专题：

计算题；不等式的解法及应用．

分析：

求解二次不等式化简集合N，然后由交集的运算可得a的值．

解答：

解：

由N={x|2x2﹣3x＜0，x∈Z}={x|0＜x＜，x∈Z}={1}，

又M={a，0}且M∩N≠∅，所以a=1．

故答案为1．

点评：

本题考查了一元二次不等式的解法，考查了交集及其运算，是基础题．

3．（5分）已知，，则=　﹣　．

考点：

两角和与差的正切函数．

分析：

所求式子利用诱导公式化简，将sinα算出并求出tanα带入可求出值．

解答：

∵

∴sinα==﹣

即tanα=

∴tan（）==﹣

故答案为：

﹣

点评：

考查了两角和公式的应用，属于基础题．

4．（5分）设等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn．若a1=1，a3=4，Sk=63，则k=　6　．

考点：

等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．

专题：

计算题；等差数列与等比数列．

分析：

先由已知的项可求等比数列的公比，然后代入等比数列的求和公式即可求解k

解答：

解：

由等比数列的通项公式可得，=4

又∵an＞0

∴q＞0

∴q=2

∵Sk=63，

∴

∴2k=64

∴k=6

故答案为：

6

点评：

本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题

5．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列正确命题的序号是　①　．

①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；

②若m∥n，m∥β，则n∥β；

③若m∥α，m∥β，则α∥β；

④若n⊥α，n⊥β，则α⊥β．

考点：

命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．

专题：

空间位置关系与距离．

分析：

对每一选择支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可．

解答：

解：

对于①，根据线面垂直的判定定理，如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．可知该命题正确；

对于②，根据线面平行的判定定理可知少条件：

“n不在平面β内”，故不正确；

对于③，若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交．可知该命题不正确；

对于④，根据面面平行的判定定理可知“α∥β”，故不正确．

故答案为：

①．

点评：

本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力，属于基础题．

6．（5分）（xx•南通二模）根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为　145　．

考点：

伪代码．

专题：

图表型．

分析：

分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：

该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28时，S的值．

解答：

解：

分析程序中各变量、各语句的作用，

再根据流程图所示的顺序，可知：

该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28值．

∵S=1+4+7+10+13+…+28=145，

故输出的S值为145．

故答案为：

145．

点评：

本题考查的知识点是伪代码，其中根据已知分析出循环的循环变量的初值，终值及步长，是解答的关键．

7．（5分）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的最大值为　1　．

考点：

平面向量数量积的运算．

专题：

平面向量及应用．

分析：

建系，由向量数量积的坐标运算公式，可得得=x，结合点E在线段AB上运动，可得到x的最大值为1，即为所求的最大值．

解答：

解：

以AB、AD所在直线为x轴、y轴，建立坐标系如图

可得A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）

设E（x，0），其中0≤x≤1

∵=（x，﹣1），=（1，0），

∴=x•1+（﹣1）•0=x，

∵点E是AB边上的动点，即0≤x≤1，

∴x的最大值为1，即的最大值为1

故答案为：

1

点评：

本题考查向量数量积的最大值，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．

8．（5分）已知Ω={（x，y）|x+y＜6，x＞0，y＞0}，A={（x，y）|x＜4，y＞0，x﹣2y＞0}，若向区域Ω上随机投掷一点P，则点P落入区域A的概率为　　．

考点：

几何概型．

专题：

计算题．

分析：

根据二元一次不等式组表示的平面区域的原理，分别作出集合Ω和集合A对应的平面区域，得到它们都直角三角形，计算出这两个直角三角形的面积后，再利用几何概型的概率公式进行计算即可．

解答：

解：

区域Ω={（x，y）|x+y＜6，x＞0，y＞0}，

表示的图形是第一象限位于直线x+y=6的下方部分，

如图的红色三角形的内部，

它的面积S=；

再观察集合A={（x，y）|x＜4，y＞0，x﹣2y＞0}，

表示的图形在直线x﹣2y=0下方，直线x=4的左边

并且在x轴的上方，如图的黄色小三角形内部

可以计算出它的面积为S1==4

根据几何概率的公式，得向区域Ω上随机投一点P，P落入区域A的概率为P=

故答案为：

点评：

本题主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概率模型，准确画作相应的平面区域，熟练地运用面积比求相应的概率，是解决本题的关键，属于中档题．

9．（5分）函数

的部分图象如图所示，则将y=f（x）的图象向右平移单位后，得到的图象解析式为　y=sin（2x﹣）　．

考点：

由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

专题：

计算题；三角函数的图像与性质．

分析：

由图知，A=1，T=π，可求ω，再由ω+φ=可求得φ，从而可得y=f（x）的解析式，利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换及可求得答案．

解答：

解：

由图知，A=1，T=π，

∴T=π，ω==2，又×2+φ=+2kπ（k∈Z），

∴φ=2kπ+（k∈Z），又|φ|＜，

∴φ=；

∴y=f（x）的解析式为y=sin（2x+），

∴将y=f（x）的图象向右平移单位后得y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）．

故答案为：

y=sin（2x﹣）．

点评：

本题考查y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定函数解析式，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查识图与运算能力，属于中档题．

10．（5分）已知0＜y＜x＜π，且tanxtany=2，，则x﹣y=　　．

考点：

两角和与差的余弦函数．

专题：

计算题；三角函数的求值．

分析：

由题意可得cosxcosy=，进而可得cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny=，由余弦函数可知x﹣y的值．

解答：

解：

由题意可得tanxtany==2，

解得cosxcosy=，故cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny=

故x﹣y=2kπ±，k∈Z，

又0＜y＜x＜π，所以﹣π＜x﹣y＜π．

所以x﹣y=

故答案为：

点评：

本题考查同角三角函数的基本关系，以及两角和与差的余弦函数，属基础题．

11．（5分）（xx•黑龙江二模）求“方程（）x+（）x=1的解”有如下解题思路：

设f（x）=（）x+（）x，则f（x）在R上单调递减，且f

（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集为　{﹣1，2}　．

考点：

类比推理．

专题：

规律型．

分析：

类比求“方程（）x+（）x=1的解的解题思路，设f（x）=x3+x，利用导数研究f（x）在R上单调递增，从而根据原方程可得x2=x+2，解之即得方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集．

解答：

解：

类比上述解题思路，设f（x）=x3+x，由于f′（x）=3x2+1≥0，则f（x）在R上单调递增，

由x6+x2=（x+2）3+（x+2）即（x2）3+x2=（x+2）3+（x+2），

∴x2=x+2，

解之得，x=﹣1或x=2．

所以方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集为{﹣1，2}．

故答案为：

{﹣1，2}．

点评：

本题主要考查了类比推理，考查了导数与单调性的关系，函数单调性的应用，属于中档题．

12．（5分）（2011•扬州三模）已知实数p＞0，直线3x﹣4y+2p=0与抛物线x2=2py和圆从左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为　　．

考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．

专题：

综合题．

分析：

设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线的焦点为F，由题得|BF|=|CF|=．由抛物线的定义得：

|AB|=|AF|﹣|BF|=y1，同理|CD|=y2所以=．联立直线3x﹣4y+2p=0与抛物线x2=2py的方程且消去x解出进而得到答案．

解答：

解：

设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线的焦点为F，

由题意得|BF|=|CF|=

由抛物线的定义得：

|AB|=|AF|﹣|BF|=+y1﹣=y1，同理得|CD|=y2所以=．

联立直线3x﹣4y+2p=0与抛物线x2=2py的方程且消去x得：

8y2﹣17py+2p2=0

解得：

所以．

故答案为：

．

点评：

解决此类题目的关键是对抛物线的定义要熟悉，即抛物线上的点到定点的距离与到定直线的距离相等．

13．（5分）（xx•崇明县二模）设函数，函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数为　2　．

考点：

函数的零点；根的存在性及根的个数判断．

分析：

根据函数，根据指数函数和对数函数的性质，我们可以分类讨论，化简函数函数y=f[f（x）]﹣1的解析式，进而构造方程求出函数的零点，得到答案．

解答：

解：

∵函数，

当x≤0时

y=f[f（x）]﹣1=f（2x）﹣1=﹣1=x﹣1

令y=f[f（x）]﹣1=0，x=1（舍去）

当0＜x≤1时

y=f[f（x）]﹣1=f（log2x）﹣1=﹣1=x﹣1

令y=f[f（x）]﹣1=0，x=1

当x＞1时

y=f[f（x）]﹣1=f（log2x）﹣1=log2（log2x）﹣1

令y=f[f（x）]﹣1=0，log2（log2x）=1

则log2x=2，x=4

故函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数为2个

故答案为：

2

点评：

本题考查的知识点是函数的零点，根的存在性及根的个数判断，其中根据指数函数和对数函数的图象和性质，化简函数的解析式是解答的关键．

14．（5分）（xx•南通二模）设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1•x2•x3•x4•x5=729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是　9　．

考点：

进行简单的合情推理；函数的值．

专题：

新定义．

分析：

先根据基本不等式得x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于，及x2x3+x4x5≥2+≥2，再研究使三个不等式等号都成立的条件，即可得出max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值．

解答：

解：

∵x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于，

同样x2x3+x4x5≥2，

+≥2，

使三个不等式等号都成立，则

x1x2=x3x4=，

x2x3=x4x5=，

x1=x5即x1=x3=x5，x2=x4x1x2=x2x3=x3x4=x4x5所以729=x13×x22=，（x1x2）3=729×x2

x2最小为1，

所以x1x2最小值为9，

此时x1=x3=x5=9x2=x4=1．

故答案为：

9．

点评：

本题主要考查了进行简单的合情推理及基本不等式的应用，属于中档题．

二．解答题

15．（14分）（xx•朝阳区二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（A）=．

（Ⅰ）求函数f（A）的最大值；

（Ⅱ）若，求b的值．

考点：

正弦定理；诱导公式的作用；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦．

专题：

解三角形．

分析：

（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数f（A）为，根据0＜A＜π，利用正弦函数的定义域和值域求得f（A）取得最大值．

（Ⅱ）由题意知，由此求得A的值，再根据C的值，求得B的值，利用正弦定理求出b的值．

解答：

解：

（Ⅰ）=．

因为0＜A＜π，所以．

则所以当，即时，f（A）取得最大值，且最大值为．…（7分）

（Ⅱ）由题意知，所以．

又知，所以，则．

因为，所以，则．

由得，．…（13分）

点评：

本题主要考查三角恒等变换，正弦定理、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．

16．（14分）（xx•黑龙江二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE．

（I）若F为PE的中点，求证BF∥平面ACE；

（Ⅱ）求三棱锥P﹣ACE的体积．

考点：

直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．

专题：

空间位置关系与距离．

分析：

（I）由题意可得E、F都是线段PD的三等分点．设AC与BD的交点为O，则OE是△BDF的中位线，故有BF∥OE，再根据直线和平面平行的判定定理证得BF∥平面ACE．

（II）由条件证明CD⊥平面PAE，再根据三棱锥P﹣ACE的体积VP﹣ACE=VC﹣PAE=S△PAE•CD=（••PA•PD）•AB=•PA•PD•AB，运算求得结果．

解答：

解：

（I）若F为PE的中点，由于底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE，故E、F都是线段PD的三等分点．

设AC与BD的交点为O，则OE是△BDF的中位线，故有BF∥OE，而OE在平面ACE内，BF不在平面ACE内，故BF∥平面ACE．

（II）由于侧棱PA丄底面ABCD，且ABCD为矩形，故有CD⊥PA，CD⊥AD，故CD⊥平面PAE，．

三棱锥P﹣ACE的体积VP﹣ACE=VC﹣PAE=S△PAE•CD=•（•S△PAD）•AB=（••PA•PD）•AB=•PA•PD•AB=•1•2•1=．

点评：

本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用等体积法求棱锥的体积，属于中档题．

17．（15分）某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”：

商场内所有商品按标价的八折出售，折后价格每满500元再减100元．如某商品标价为1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8﹣200=1000（元）．设购买某商品得到的实际折扣率=．设某商品标价为x元，购买该商品得到的实际折扣率为y．

（1）写出当x∈（0，1000]时，y关于x的函数解析式，并求出购买标价为1000元商品得到的实际折扣率；

（2）对于标价在[2500，3500]的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到的实际折扣率低于？

考点：

根据实际问题选择函数类型；函数解析式的求解及常用方法．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

（1）由已知中的折扣办法，分x∈（0，625）和x∈[625，1000]两种情况，分别求出函数的解析式，将1000代入计算实际付款额可得实际折扣率．

（2）根据

（1）中解析式，结合实际折扣率低于，构造关于x的不等式，结合标价在[2500，3500]，可得答案．

解答：

解：

（1）∵500÷0.8=625

∴…（4分）

当x=1000时，y==0.7　　　…（5分）

即购买标价为1000元的商品得到的实际折扣率为0.7．　　…（6分）

（Ⅱ）当x∈[2500，3500]时，0.8x∈[xx，2800]…（7分）

①当0.8x∈[xx，2500）即x∈[2500，3125）时，

解得x＜3000

∴2500≤x＜3000；…（10分）

②当0.8x∈[2500，2800]即x∈[3125，3500]时，

解得x＜3750

∴3125≤x≤3500；…（13分）

综上，2500≤x＜3000或3125≤x≤3500

即顾客购买标价在[2500，3000）∪[3125，3500]间的商品，可得到的实际折扣率低于．…（14分）

点评：

本题考查的知识点是根据实际问题选择函数类型，其中根据已知求出函数的解析式是解答的关键．

18．（15分）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：

=1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、BP与直线l：

y=﹣2分别交于点M、N；

（I）设直线AP、BP的斜率分别为k1，k2求证：

k1•k2为定值；

（Ⅱ）求线段MN长的最小值；

（Ⅲ）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？

请证明你的结论．

考点：

直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．

专题：

圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

（Ⅰ）由椭圆方程求出两个顶点A，B的坐标，设出P点坐标，写出直线AP、BP的斜率k1，k2，结合P的坐标适合椭圆方程可证结论；

（Ⅱ）分别求出M和N点的坐标，由（Ⅰ）中的结论得到两直线斜率间的关系，把|MN|用含有一个字母的代数式表示，然后利用基本不等式求最值；

（Ⅲ）设出以MN为直径的圆上的动点Q的坐标，由列式得到圆的方程，化为圆系方程后联立方程组可求解圆所过定点的坐标．

解答：

（Ⅰ）证明：

由题设椭圆C：

=1可知，点A（0，1），B（0，﹣1）．

令P（x0，y0），则由题设可知x0≠0．

∴直线AP的斜率，PB的斜率为．

又点P在椭圆上，所以，从而有=；

（Ⅱ）解：

由题设可得直线AP的方程为y﹣1=k1（x﹣0），

直线PB的方程为y﹣（﹣1）=k2（x﹣0）．

由，解得；

由，解得．

∴直线AP与直线l的交点N（），直线PB与直线l的交点M（）．

∴|MN|=||，又．

∴|MN|=||=．

等号成立的条件是，即．

故线段MN长的最小值为．

（Ⅲ）解：

以MN为直径的圆恒过定点或．

事实上，设点Q（x，y）是以MN为直径圆上的任意一点，则，

故有

．

又．所以以MN为直径圆的方程为．

令，解得或．

所以以MN为直径的圆恒过定点或．

点评：

本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了代入法，考查了利用基本不等式求最值，考查了圆系方程，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目．

19．（16分）（2011•江苏）已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f'（x）和g'（x）是f（x），g（x）的导函数，若f'（x）g'（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致

（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；

（2）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．

考点：

利用导数研究函数的单调性．

专题：

计算题．

分析：

（1）先求出函数f（x）和g（x）的导函数，再利用函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致即f'（x）g'（x）≥0在[﹣1，+∞）上恒成立，以及3x2+a＞0，来求实数b的取值范围；

（2）先求出f'（x）=0的根以及g'（x）=0的根，再分别求出两个函数的单调区间，综合在一起看何时函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，进而求得|a﹣b|的最大值．

解答：

解：

f'（x）=3x2+a，g'（x）=2x+b．

（1）由题得f'（x）g'（x）≥0在[﹣1，+∞）上恒成立．因为a＞0，故3x2+a＞0，

进而2x+b≥0，即b≥﹣2x在[﹣1，+∞）上恒成立，所以b≥2．

故实数b的取值范围是[2，+∞）

（2）令f'（x）=0，得x=．

若b＞0，由a＜0得0∈（a，b）．又因为f'（0）g'（0）=ab＜0，

所以函数f（x）和g（x）在（a，b）上不是单调性一致的．

因此b≤0．

现设b≤0，当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0；

当x∈（﹣∝，﹣）时，f'（x）＞0．

因此，当x∈（﹣∝，﹣）时，f'（x）g'（x）＜0．故由题设得a≥﹣且b≥﹣，

从而﹣≤a＜0，于是﹣＜b＜0，因此|a﹣b|≤，且当a=﹣，b=0时等号成立，

又当a=﹣，b=0时，f'（x）g'（x）=6x（x2﹣），从而当x∈（﹣，0）时f'（x）g'（x）＞0．

故函数f（x）和g（x）在（﹣，0）上单调性一致，因此|a﹣b|的最大值为．

点评：

本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．

20．（16分）已知各项均为正数的两个无穷数列{an}、{bn}满足anbn+1+an+1bn=2nan+1（n∈N*）．

（Ⅰ）当数列{an}是常数列（各项都相等的数列），且b1=时，求数列{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设{an}、{bn}都是公差不为0的等差数列，求证：

数列{an}有无穷多个，而数列{bn}惟一确定；

（Ⅲ）设an+1=，Sn=，求证：

2＜＜6．

考点：

数列与不等式的综合；数列递推式．

专题：

等差数列与等比数列．

分析：

（I）设an=a＞0，利用数列{an}、{bn}满足anbn+1+an+1bn=2nan+1（n∈N*），可得bn+1+bn=2n，（n∈N*），于是当n≥2时，bn+bn﹣1=2（n﹣1）．于是bn+1﹣bn﹣1=2．可知：

数列{bn}当n为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出；

（II）设{an}、{bn}公差分别为d1、d2，可得其通项公式，代入anbn+1+an+1bn=2nan+1（n∈N*）．可得[a1+（n﹣1）d1][b1+nd2]+（a1+nd1）[b1+（n﹣1）d2]=2n（a1+nd1），对于任意n恒成立，可得，解出即可；

（III）利用，可得an+1﹣an=﹣an=，于是an＜an+1．利用anbn+1+an+1bn=2nan+1＜an+1bn+1+an+1bn，可得2n＜bn+1+bn．又anbn+1=（2n﹣bn）•an+1＞0，an+1＞0，可得2n﹣bn＞0．可得，进而得出．

解答：

（I）解：

设an=a＞0，∵数列{an}、{bn}满足anbn+1+an+1bn=2nan+1（n∈N*），

∴bn+1+bn=2n，（n∈N*），于是当n≥2时，bn+bn﹣1=2（n﹣1）．

∴bn+1﹣bn﹣1=2．

∴可知：

数列{bn}当n为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差的等差数列，

又，b1+b2=2，可得．

∴=，=，

即（n∈N*）．

（2）