课程教学大纲格式重庆师范大学数学学院.docx
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课程教学大纲格式重庆师范大学数学学院
课程教学大纲
（理论课）
课程名称：
稳定性理论
适用专业：
数学与应用数学
课程类别：
学科知识深化课程
制订时间：
2006年8月
数学与计算机科学学院 制
《稳定性理论》课程教学大纲
（2002年制订，2006年修订）
一、课程代码：
0501142013
二、课程类别：
学科知识深化课程（选修）
三、预修课程：
数学分析、高等代数、常微分方程、矩阵论
四、学 分：
3学分
五、学时：
54学时（其中实验部分8学时）
六、课程概述：
稳定性理论是数学与应用数学专业及信息与计算科学选修课程。
该理论由法国数学家H.poincave和俄国数学家A.M.Liapunov所共同开创。
其基本思想是放弃传统意义下的求解企图，直接根据微分方程本身的结构去探求解的性态。
它在工程技术、自动控制和卫星通讯等尖端领域以及现代物理、生物、化学、西方经济学等领域中有着广泛而重要的应用，是数学联系实际的一个重要分支。
本课程是不通过求解而直接从微分方程来研究其解的某些重要性态和轨线的全局结构。
它与数值求解法互有优势，相辅相成，也是进一步研究分支、浑沌等微分动力系统的基础，在非线性振动、控制、生命科学等领域中有着广泛的应用。
在定性分析部分将着重于平面系统的研究，通过奇点性态、极限环等学习，了解方程轨线的全局结构；稳定性部分主要介绍确定各种稳定性的一次近似系统法和Liapuov函数法。
利用李亚普诺夫第二方法判定简单方程组零解的稳定性等，则要求必须较好的掌握。
七、教学目的：
通过本课程的学习，使学生了解和掌握常微稳定性理论和定性理论的基本思想，了解这一理论中最基本的概念、问题和方法，获取解决一些实际问题的必要的数学知识，为进一步学习和阅读该方向现代文献打下一定的入门基础。
八、学时分配表
教学内容（章）
理论学时
实验学时
习题课
其它
备注
第一章基本定理
8
第二章动力系统的基本知识
8
第三章稳定性理论
18
4
第四章平面系统的奇点
6
4
第五章极限环
6
第八章分支理论
4
九、教学基本内容：
第一章基本定理
教学要求：
一、理解常微分方程组的解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，并将该证明方法与picard迭代序列的逐次逼近法进行对比学习。
二、掌握解的延拓定理及延拓条件。
三、理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。
四、掌握比较定理。
包括第一比较定理和第二比较定理。
本章的绝大多数定理是在是常微分方程分中接触过的的因此的主要是在复习的基础上进一步深入学习。
重点：
解的存在唯一性定理条件的检验（特别是局部Lipschitz条件的检验），解对初值的连续性、可微性定理的证明。
难点：
解对初值的连续性、可微性定理。
本章课外作业：
第17页，1。
教学内容：
一、解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路；（2学时）
二、解的延拓概念及延拓条件；（2学时）
三、解对初值的连续性、可微性定理及其证明；（2学时）
四、比较定理。
包括第一比较定理和第二比较定理。
（2学时）
第二章动力系统的基本知识
教学要求：
一、理解自治系统与非自治系统的概念（特别是平面自治系统），相空间与轨线的概念，轨线的基本性质。
二、理解轨线的极限集合。
包括常点，奇点的定义，等价自治系统及其解的延拓；极限集及其基本性质。
三、平面上的极限集。
重点：
轨线的基本性质，轨线的极限集合。
难点：
轨线的极限集合
本章课外作业：
第40页，2、4。
教学内容：
一、自治系统与非自治系统的概念（特别是平面自治系统），相空间与轨线的概念，轨线的基本性质。
（3学时）
二、轨线的极限集合。
包括常点，奇点的定义，等价自治系统及其解的延拓；极限集及其基本性质。
（3学时）
三、平面上的极限集。
（2学时）
第三章稳定性理论
教学要求：
一、理解稳定性的定义，能够利用定义讨论零解的稳定性。
二、掌握判定自治系统零解稳定性和非自治系统零解稳定性（全局稳定性）的基本定理-----Liapunov第二方法，并用该方法解题。
三、掌握特殊类型的Liapunov函数的构造，主要包括：
常系数线性系统的巴尔巴欣公式，线性类比法，分离变量法，变梯度法等。
重点：
自治系统零解稳定性和非自治系统零解稳定性（全局稳定性）的判别方法；Liapunov函数的构造。
难点：
稳定性的概念、Liapunov函数的构造，李雅普诺夫定理的几何解释。
本章课外作业：
第96-98页，1、4、11、12、16。
教学内容：
一、稳定性的定义。
包括：
零解稳定（一致稳定），零解吸引（一致吸引），零解渐近稳定（一致渐近稳定），零解指数渐近稳定。
利用定义讨论某些系统的零解的稳定性。
（2学时）
二、自治系统零解的稳定性。
V函数，Liapunov稳定性定理及应用。
（3学时）
三、非自治系统零解的稳定性。
V函数，k类函数，Liapunov稳定性定理及应用。
（3学时）
四、全局稳定性。
（2学时）
五、线形系统及其扰动系统的稳定性，重点掌握线性系统的稳定性。
（会用Hurwitz判据解题）。
（2学时）
六、Liapunov函数的构造：
特殊类型的Liapunov函数的构造，主要包括：
常系数线性系统的巴尔巴欣公式，线性类比法，分离变量法，变梯度法等。
（4学时）
七、稳定性中的比较方法。
（2学时）
第四章平面系统的奇点
教学要求：
一、理解并掌握线性系统奇点的定义，并会判断奇点的类型，以及作出奇点邻域内轨线的定性图。
二、掌握非线性系统的双曲奇点，理解并会应用Perron第一定理和Perron第二定理。
三、理解判定中心和焦点的形式级数法。
重点：
判断奇点的类型，以及作奇点邻域内轨线的定性图。
Perron第一定理
和Perron第二定理的应用。
难点：
Perron第一定理和Perron第二定理的应用。
判定中心和焦点的形式级数法。
本章课外作业：
第153-154页，1、2、4、5。
教学内容：
一、初等奇点。
包括线性系统的孤立奇点和非线性系统的双曲奇点。
（2学时）
二、中心与焦点的判定，Perron第一定理和Perron第二定理。
（2学时）
三、理解判定中心和焦点的形式级数法。
（2学时）
第五章极限环
教学要求：
一、理解并掌握极限环的定义及其稳定性。
会求系统的极限环。
二、掌握极限环的存在性和不存在极限环的判别。
三、了解极限环的唯一性。
重点：
极限环的定义，极限环的存在性和不存在极限环的判别，求极限环。
难点：
极限环的存在性和不存在极限环的判别，求极限环。
本章课外作业：
第183-184页，2、3。
教学内容：
一、极限环的定义和不存在极限环的判别。
（2学时）
二、极限环的存在性。
（2学时）
三、极限环的唯一性。
（2学时）
第八章分支理论
教学要求：
一、理解并掌握奇点分支，平面上的Hopf和高维Hopf分支的定义。
二、掌握从平面闭轨线族分支周期解的Liapunov第二方法和从闭轨线族分支周期解的隐函数定理法。
三、了解空间周期解和周期系统的分支。
重点：
奇点分支，平面上的Hopf和高维Hopf分支的定义，从平面闭轨线族分支周期解的Liapunov第二方法和从闭轨线族分支周期解的隐函数定理法。
难点：
平面上的Hopf和高维Hopf分支的定义，从平面闭轨线族分支周期解的Liapunov第二方法和从闭轨线族分支周期解的隐函数定理法。
本章课外作业：
第292-293页，1。
教学内容：
一、奇点分支，平面上的Hopf和高维Hopf分支。
（2学时）
二、从平面闭轨线族分支周期解的Liapunov第二方法和从闭轨线族分支周期解的隐函数定理法，空间周期解和周期系统的分支。
（2学时）
十、实验部分：
1、常系数线性系统零解稳定性的判定：
①利用Hurwitz判据判定零解的稳定性：
用Maple软件编写利用Hurwitz判据判定常系数线性系统零解稳定性的程序并上机进行计算。
（2学时）；
②利用巴尔巴欣公式（特别是三阶巴尔巴欣公式）计算Liapunov函数，从而判定常系数线性系统零解稳定性。
（2学时）
2、线性系统奇点的类型：
利用Maple软件编写判定线性系统奇点类型的程序并上机进行计算。
（2学时）
3、形式级数法判定细焦点和中心：
利用Maple软件编写利用形式级数法判定细焦点和中心的程序。
（2学时）
十一、教材及主要教学参考书：
教材：
马知恩、周义仓，常微分方程定性与稳定性方法，科学出版社，2001
教学参考书：
丁同仁，李承治，常微分方程教程，高等教育出版社，1991
黄琳，稳定性理论，北京大学出版社，2001
RichardBellman著；施克刚译，常微分方程的稳定性理论，高等教育出版社，2001
廖晓昕，稳定性的理论、方法和应用，华中科技大学出版社，2002
执笔人：
黄建蓉2006年8月
审定人：
向长合2006年8月
院（系）负责人：
李世宏2006年8月
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