中考总复习《数与式》教案.docx
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中考总复习《数与式》教案
中考总复习教案
第一章数与式
《数与式》是初中数学的基础知识,是中考命题的重要内容之一，年年考查，北京近三年来在新课标中考试题中“数与式”部分的权重：
35%左右，分量之中，不容忽视！
一、本章知识要点与课时安排（大致安排五课时左右）
（一）实数（一课时）
（二）整式与因式分解（一至两课时）
（三）分式与二次根式（两课时）
（四）数式规律的探索（可以揉到前面几讲中去讲，也可以单设一课时）
说明：
您可以根据自己学生的学习程度,合理安排复习内容。
二、课时教案
第一课时实数
教学目的
1．理解有理数的意义，了解无理数等概念．
2．能用数轴上的点表示有理数，掌握相反数的性质，会求实数的绝对值．
3．会用科学记数法表示数．
4．会比较实数的大小,会利用绝对值知识解决简单化简问题．
5．掌握有理数的运算法则，并能灵活的运用．
教学重点与难点
重点：
数轴、绝对值等概念及其运用，有理数的运算．
难点：
利用绝对值知识解决简单化简问题，实数的大小比较．
教学方法：
用例习题串知识（复习时要注意知识综合性的复习）．
教学过程
（一）知识梳理
1．2．
（二）例习题讲解与练习
例1在3。
14，1-，0，，cos30°，，，0。
2020020002…（数字2后面“0"的个数逐次多一个）这八个数中，哪些是有理数？
哪些是无理数？
（考查的知识点:
有理数、实数等概念．考查层次：
易）
（最基本的知识，由学生口答，师生共同归纳、小结）
【归纳】：
（1）整数与分数统称为有理数（强调数字0的特点）；
无限不循环小数是无理数．注意：
常见的无理数有三类①π，…②,,…,（不是无理数）③0。
1010010001…（数字1后面“0”的个数逐次多一个）．
（2）一个无理数加、减、乘、除一个有理数（0除外）仍是无理数（是无理数）．
注：
此题可以以其它形式出现，如练习题中2或12题等
例2
（1）已知a—2与2a+1互为相反数,求a的值；
（2）若x、y是实数,且满足（x—2）2+=0，求（x+y）2的值．
（考查的知识点：
相反数的性质、二次根式的性质、非负数等概念．考查层次:
易）
（这是基础知识,由学生解答，老师总结）
【总结】:
（1）对于一个具体的数,要会求它的相反数（倒数、绝对值、平方根与算术平方根），对于一个代数式，也要会求它的相反数．解答是要注意从概念中蕴涵的数学关系入手：
a、b互为相反数a+b=0；a、b互为倒数a·b=1．
（2）非负数概念：
例3
（1）若数轴上的点A表示的数为x,点B表示的数为—3，则A与B两点间的距离可表示为________________．
（2）实数a、b在数轴上分别对应的点的位置如图所示，请比较a,—b,a—b，a+b的大小（用“<”号连接）___________________．
（3）①化简_________；②=__________；
③估计与0.5的大小关系是0。
5（填“>"、“=”、“〈"）．
（答案：
（1）；
（2）a+b）
（考查的知识点：
数轴、绝对值、比较大小等概念，无理数的估算、有理数的运算法则等．考查层次：
中）
（这是一组较为基础的题,
（1）与
（2）题注意数形结合，（3）题注意讲解无理数与有理数大小比较的方法,由学生探讨，老师适当的点拨、总结、归纳,）
【归纳】:
（1）问题
（1）若数轴上的点A表示的数为x1，点B表示的数为x2，则A与B两点间的距离可表示为AB=，要会由数轴上两点间的距离，上升到坐标平面内两点间的距离（例如练习第10题）——数形结合．
（2）问题
（2）应先由数轴判断字母所表示的数的符号及绝对值的大小关系，再紧扣实数运算法则进行解答．
（3）绝对值的意义：
（4）估算一个无理数的方法：
平方法、被开方数法．
（5）比较大小的方法：
数轴图示法、作差法、平方法，其中第
（2）小题还可以采用赋值法．
练习一：
（供选用）
1．的相反数是_____；—3的倒数是_____；—5的绝对值是_____;9的算术平方根是____；-8的立方根是____．
2．有四张不透明的卡片如图，它们除正面的数不同外,其余都相同．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为 ．
3．下列各式中正确的是（）
A．B．C．D．
4．
（1）写出一个小于的数：
；
（2）绝对值小于5的所有整数的和是_____．
5．下表是我国几个城市某年一月份的平均气温，其中气温最低的城市是（）。
城市
北京
武汉
哈尔滨
沈阳
平均气温（单位：
℃）
－4.6
3。
8
－19。
4
－12。
1
A．北京B．武汉C．哈尔滨D．沈阳
6．比较大小（用“＞”、“＝”或“＜”号填空）：
（1）-—；
（2）7．
7．数的值在（）
A．8和9之间B．9和10之间C．10和11之间D．11和12之间
8．实数在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（）
A．B．
C．-a>bD．
9．如图，梯形ABCD的面积是_________．
10．若,则的值为．
11．已知|x｜＝3，｜y｜＝2，且xy＜0，则x＋y的值等于（ ）
A．1或－1 B．5或－5 C．5或1 D．－5或－1
12．在等式3×☐—2×☐=15的两个方格内分别填入一个数，使这两个数互为相反数且使等式仍然成立，则第一个方格内的数为_____．
13．根据下列表格的对应值：
x
3。
23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
－0.06
－0.02
0。
03
0。
09
判断方程ax2+bx+c=0（a≠0,a，b，c为常数）一个解x的范围是（）
A．3＜x＜3。
23 B．3.23＜x＜3。
24C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
14．如图，有四张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其他均相同．将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录数字后放回,重新洗匀后再从中随机抽取一张，记录数字．试用列表或画树状图的方法，求出的两张卡片上的数字都是正数的概率．
（答案:
1．略2．3．D4．
（1）略
（2）05．C
6．
（1）>
（2）〈7．B8．C9．910．211．A12．313．C14．）
例4
（1）用科学记数法表示2009000=_________，将其数字精确到万位的近似数为_________;
（2）用科学记数法表示0.000396=________，将其数字保留两位有效数字的近似数为_________．
（考查的知识点:
近似数和有效数字概念，用科学记数法表示数．考查层次:
易）
（帮着学生回忆科学记数法等概念，这是基础知识，由学生口答，师生共同归纳、小结）
【归纳】：
（1）科学记数法：
（2）保留有效数字时取近似数的方法:
例5计算下列各题：
（1）；（答案：
—13）
（2）；（答案：
—87）
（3）．（答案:
）
（考查的知识点:
实数的运算法则、运算律等．考查层次：
易）
（这是基础题，让学生独立完成——要保证计算的准确率，由学生归纳、小结）
【说明】:
（1）巧用运算律:
第一小题前面可用分配律，后面可逆用分配律;
（2）第二小题注意运算顺序及—32和（-3）2的区别;
（3）第一小题注意0指数与负指数的特性；
（4）注意每一步运算时，应先确定符号，后计算绝对值；
（5）强调书写的运算步骤．
※例6（找数字规律的题）
根据图中数字的规律,在最后一个图形中填空．
【答案】
【说明】：
探究数式、图表规律是近几年中考的热门题型，解题时应注意观察，通过对数字之间关系的分析,探索数字的规律．
练习二：
（供选用）
1．一天早晨的气温是℃,中午的气温比早晨上升了℃，中午的气温是（）
A．℃B．℃C．℃D．℃
2．下列四个运算中，结果最小的是（）
A．1+（-2）B．1—（—2）C．1×（—2）D．1÷（—2）
3．下列等式正确的是（）
A．B．C．D．
4．下列运算的结果中,是正数的是（）
A．B．C．D．
5．
（1）我国淡水面积大约为66000千米,用科学记数法表示数字66000=．
（2）蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料,蜂房的巢壁厚约0。
000073米，用科学记数法表示数字0.000073=___________．
（3）某市在今年2月份突遇大风雪灾害性天气,造成直接经济损失5000万元。
数字5000用科学记数法表示为（）A．5000B．5⨯102C．5⨯103D．5⨯104
6．通过四舍五入得到的近似值3.56万精确到（）
A．百分位B．百位C．千位D．万位
7．我国宇航员杨利伟乘“神州五号”绕地球飞行了14周,飞行轨道近似看作圆，其半径约为6.71×103千米，总航程约为（π取3.14，保留3个有效数字）（）
A．5。
90×105千米B．5。
90×106千米C．5.89×105千米D．5.89×106千米
8．根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1,则输出y的值为．
9．计算机兴趣小组设计了一个计算程序，部分数据如下表：
输入数据
…
1
2
3
4
…
输出数据
…
…
当输入数据为6时,输出数据是．
10．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（答案：
1．B2．C3．D4．C5．
（1）6.6⨯104
（2）7.3⨯10-5（3）C6．B7．A8．49．10．
（1）；
（2）；（3）-6;）
自我检测题：
（供选用）
1．在实数，（每两个1之间依次多1个0）这六个数中,无理数是____________________________________．
2．16的平方根是（）
A．4B．±4C．-4D．±8
3．实数a在数轴上对应的点如图所示，则a，—a,1的大小关系正确的是（）
A．—a〈a〈1B．a〈—a<1C．1〈—a〈aD．a〈1<—a
4．下列各等式正确的是（）
A．B．C．D．
5．如图，数轴上点A表示的数可能是（）
A．B．C．D．
6．如图，点在数轴上对应的实数分别为，
则两点间的距离是．（用含的式子表示）
7．
（1）用科学记数法表示0.0032为（）
A．B．C．D．
（2）下列用科学记数法表示2009（保留两个有效数字）,正确的是（）
A．2。
0×103B．2。
01×103C．2.0×104D．0。
20×104
8．与互为相反数,则的值是________．
9．一个数表如下（表中下一行的数的个数是上一行中数的各数的2倍）：
第1行
1
第2行
23
第3行
4567
…
…
则第6行中的最后一个数为（）
A．31B．49C．63D．127
10．计算：
（1）；
（2）．
（答案：
1．、-0。
1010010001…2．B3．D4．D5．C6．n-m或:
|m-n|7．
（1）B
（2）A8．910．
（1）-5;
（2）414）
第二课时整式与因式分解
教学目的
1．能用幂的性质解决简单问题,会进行简单的整式乘法与加法的混合运算．
2．能用平方差公式、完全平方公式进行简单计算．
3．了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，会用提公因式法和公式法进行因式分解．
4．能选用恰当的方法进行相应的代数式的变形，并通过代数式的适当变形求代数式的值．
5．会列代数式表示简单的数量关系;能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，会求代数式的值，并能根据代数式的值或特征推断代数式反映的规律．
教学重点与难点
重点:
整式运算（幂的性质和乘法公式）、因式分解．
难点:
列代数式及代数式的变形．
教学方法：
讲练结合、适时点拨，注意归纳和总结．
教学过程
（一）知识梳理
1．2．
3．整式乘法因式分解
（二）例习题讲解与练习
例1
（1）在下列所给的运算中，正确的都是（写序号）______________________________．
①a3+a3=a6②a+2a=3a③a4•a3=a7④a•a3=a3⑤a3÷a3=a3⑥（a3）2=a6⑦（2a）3=2a3
⑧（-ab3）2=a3b6
（2）计算：
①3a（2a2-4a+3）—（6a2+4a）÷2a；（6a3-12a2+6a-2）
②（x-2）2—[3（2x+1）（2x-1）-（x+2）（x—1）］;（—10x2—3x+5）
③已知a与b-1互为相反数，求多项式4-[5（a-2b）-3（a+b）+15b]的值．
（提示：
先化简多项式，再由已知得a+b=1后整体代入，计算结果值为2）
（考查的知识点：
整式运算—-合并同类项、幂的性质和乘法公式等．考查层次：
易）
（这是一组基础题，目的是帮着学生回忆合并同类项法则、幂的性质和乘法公式，可由学生独立完成,学生归纳、小结）
【说明】：
（1）合并同类项、幂的性质和乘法公式是考点，要求学生熟练掌握；
（2）整数指数幂的运算性质是整式运算的基础,容易混淆,特别注意几个易混的知识点;
（3）其中
（2）题中的③依据条件a与b的值是不可求的，所以应利用整体代入法求值，迅速简便．
练习一：
（供选用）
1．观察下列单项式：
x，-2x2，4x3，-8x4，16x5，…，按此规律写出第8个单项式是_________．
2．如图是一个正方体纸盒的平面展开图，其中的五个正方形内都有一个单项式,当折成正方体后,“？
”所表示的单项式与正对面正方形上的单项式是同类项,则“？
”代表的单项式可能是（）
A．aB．cC．dD．e
3．若单项式与是同类项，则的值是 ．
4．下列运算正确的是（）
A．B．C．D．
5．若且，，则的值为（）
A．B．C．1D．
6．下列运算中正确的是（）
A．B．（
x–3y）（–
x+3y）=
x2–9y2
C．（–2x2y）3·4x–3=–24x3y3D．-（-x）3·（—x）5=-x8
7．化简a（a-2b）-（a-b）2=_______________．
8．现规定一种运算:
a★b=ab+a-b，其中a、b为实数，则a★b+（b—a）★b等于（）
A．a2-bB．b2-bC．b2D．b2-a
9．在五环图案内，分别填写五个数，如图,，其中是三个连续偶数是两个连续奇数，且满足，例如．请你在0到20之间选择另一组符号条件的数填入下图:
．
10．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图1），把余下的部分拼成一个矩形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）
A．（a+b）2=a2+2ab+b2
B．（a—b）2=a2-2ab+b2
C．a2-b2=（a+b）（a-b）2
D．（a+2b）（a-b）=a2+ab—2b2
11．已知，求代数式的值．
12．先化简,再求值:
（答案:
1．-128x82．D3．54．C5．A6．D7．-b28．B
9．10．C11．-312．）
例2分解因式：
（1）x3-9x；
（2）a2b2+10ab3-25b4;（3）（x—y）2-x+y;（4）x4—81．
（考查的知识点:
因式分解．考查层次：
易）
（这是一组基础题,要让学生必须掌握分解因式的方法，可由学生独立完成，教师引导学生归纳、小结）
【说明】：
（1）因式分解的步骤（先要提取公因式，然后考虑用公式）；
（2）应该注意的几个问题:
①如果多项式首项系数为负,一般要提出负号，使括号内的第一项系数为正；②要分解到每一个因式都再也不能分解为止；③如果有多项式乘方时，应注意规律:
（b—a）2k=（a—b）2k;（b-a）2k+1=（a—b）2k+1．（k为整数）
练习二：
（供选用）
1．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（）
A．B．
C．D．
2．一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为小敏做得不够完整的一题是（）
A．x3－x＝x（x2－1）B．x2－2xy＋y2＝（x－y）2
C．x2y－xy2＝xy（x－y）D．x2－y2＝（x－y）（x＋y）
3．分解因式：
（1）–3a2+12b2=________________；
（2）2（1—x）2+（x-1）=___________________；
（3）ax2—4ax+4a=;（4）=；
（5）（x2+2x+1）—y2=__________________；（6）（x–y）2—（x+y）（x-y）=__________________；
（7）（x+2）（x-2）+x2–4=______________________．
4．（3a-y）（3a+y）是下列哪个多项式因式分解的结果（）
A．3a2-y2B．9a2-y2C．9a2+y2D．-9a2+y2
5．若多项式a2+（k-1）ab+25b2能运用完全平方公式进行因式分解，则k=_______．
6。
在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：
如对于多项式x4-y4,因式分解的结果是（x-y）（x+y）（x2+y2）,若取x=9,y=9时，则各个因式的值是：
（x－y）=0，（x+y）=18,（x2+y2）=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x3—xy2，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是：
（写出一个即可）．
7．给出三个多项式：
请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解．
（答案:
1．C2．A3．略4．B5．11或—96．101030，或103010，或3010107．略）
例3甲、乙两地相距1500千米,现有一列火车从乙地出发，以100千米/时的速度向甲地行驶，若设火车行驶的时间为t（时）．
（1）请写出火车与甲地的距离的关系式（用t的式子表示）；（答案：
1500—100t）
（2）设火车与甲地的距离为y（千米）,写出y与x之间的关系式．（答案：
y=1500—100t）
例4已知：
如图,正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在BC、DC上，且AE=AF。
（1）若EC=1，求△AEF的面积（即阴影部分的面积）.
（2）若E、F分别是BC、DC上的动点,且AE=AF,设EC=x,
①写出△AEF的面积的代数式（用x的式子表示）
②设△AEF的面积y，写出y与x之间的函数关系式（※和自变量x的取值范围）；
※（3）当x为何值时，△AEF的面积最大，其最大面积是多少?
略解：
（1）3.5；
（2）①与②：
（自变量x的取值范围是0＜x≤4．）
（3）当x=4时，△AEF的面积最大，最大面积是8．
※例5用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下图所示的规律，拼成若干个图案：
（1）第4个图案中有白色地面砖块；
（2）第n个图案中有白色地面砖块．
（答案：
（1）18；
（2）4n+2．）
（例3、例4与例5考查的知识点:
列代数式．考查层次:
由易→中）
（这种题型一般趋于中档题，要让学生掌握列代数式的方法与技巧，特别是与列函数关系式相结合的题型，教师可适当搭台阶让学生思考完成，教师要注意引导学生归纳方法）
【说明】：
（1）列代数式是列方程解应用问题与列函数关系式的基础，也是教学和学生学习的一个难点,需要由浅入深的一个过程，要会列代数式解决简单的实际问题；
（2）例1是一个代数问题，例2是一个几何问题，其中第
（2）问都与列函数关系式挂钩，其目的是让学生知道列函数关系式并不可怕,它的前提就是列代数式、列方程;
（3）每道例题都设计了好几问,告诉学生这就是列函数关系式的思考方法或技巧．
（4）探究数式、图表规律是近几年中考的热门题型，解题时应注意观察图形，通过对数字及图形关系的分析，探索数字与图形的规律,并能用代数式反映这些规律,思考时，应注意运用从特殊到一般的数学思想．
例6
（1）已知x+y=5，xy=4，求x2+y2的值；
（2）已知x2+x-1=0，求x3+2x2-7的值；（答案：
—6）
（3）求证:
不论m为何值，关于的一元二次方程5x2—（m+7）x+m+1=0都有两个不相等的实数根．
（考查的知识点：
代数式的变形．考查层次：
中）
（这是一组中档题中的基础题,要让学生掌握用因式分解、乘法公式、配方等知识将代数式进行适当的变形的方法，可由学生思考、教师点拨下完成,教师引导学生归纳、小结）
【说明】：
（1）第
（1）小题是完全平方公式的变形:
x2+y2=（x+y）2—2xy，（另:
x2+y2=（x—y）2+2xy；（x1-x2）2=（x1+x2）2—4x1x2）；
（2）第
（2）小题由于求得的m的值是无理数，所以不宜采用求出m值之后直接代入的求法，可采用整体代入的求法，以避免繁琐的数字计算，要求学生在做题时注意观察，学会把代数式的某一部分作为一个整体代入求值的方法，使计算过程简便;
（3）第（3）小题用配方法将一元二次方程根的判别式变形为一个恒为正的代数式,这是解决这类问题的常用方法．
练习三:
（供选用）
1．如图，阴影部分的面积是（）
A．B．C．6xyD．3xy
2．2008年6月1日北京奥运圣火在宜昌传递，圣火传递路线分为两段，其中在市区的传递路程为700（a－1）米，三峡坝区的传递路程为（881a＋2309）米．设圣火在宜昌的传递总路程为s米．
（1）用含a的代数式表示s=_________________；
（2）当a=11时，s的值是_____________．
3．某种长途电话的收费方式如下：
接通电话的第一分钟收费a元，之后的每一分钟收费b元．如果某人打该长途电话被收费8元钱，则此人打长途电话的时间是（）
A．分钟B．分钟C．分钟D．分钟
4．已知a+b=m，ab=—4，化简（a-2）（b-2）的结果是（）
A．-2mB．2mC．-2m-8D．2m—8
5．
（1）如果代数式4x2-2y2+5的值是7，那么2x2-y2+1的值是___________．
（2）代数式的值为9，则的值是__________．
6．观察下表,填表后再解答问题：
（1）完成下列表格：
（2）请写出第n个图形中的“”和“★”的个数：
有_______个；★有_______个．
7．观察下列等式：
，，,，……
用自然数（其中n
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