秋季创新班第九讲二次函数与角度专题二解析.docx

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秋季创新班第九讲二次函数与角度专题二解析

2021秋季初三创新班第九讲补充题二次函数与角度专题

（二）

1．（2020•碑林区校级模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点A（-2,0），B（6,0），与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的函数解析式；

（2）点D（4,m）在抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？

如果存在，请求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

【解析】解：

（1）当x=0时，y=6，

∴点C的坐标为（0,6）．

设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-6），

将C（0,6）代入得：

-12a=6，解得a=-1．

2

∴抛物线的解析式为y=-1（x+2）（x-6），

2

整理得：

y=-1x2+2x+6．

2

（2）将x=4代入得：

y=6．

∴D（4,6）．

如图所示：

作点DE//x轴，过点B作BE//y轴，作点D关于BC的对称点D'，则BD=BD'，

过点D'作D'F⊥x轴，垂足为F．

B（6,0），C（0,6），

∴OB=OC．∴∠OBC=45︒．

∴∠OBC=∠EBC．

又=∠DBC，

∴∠DBE=∠D'BF．在∆DEB和△D'FB中

⎧∠D'FB=∠DEB

⎪∠DBE=∠D'BF，

⎪BD=BD'

∴∆DEB≅△D'FB．

∴D'F=ED=2，BF=BE=6．

∴点D'的坐标为（0,2）．

设BD'的解析式为y=kx+2，将点B的坐标代入得：

6k+2=0，

解得k=-1，

3

∴BD'的解析式为y=-1x+2．

3

将y=-1x+2代入y=-1x2+2x+6

32

得：

-1x+2=-1x2+2x+6，

32

整理得：

3x2-14x-24=0，

解得：

x=6（舍去）或x=-4．

3

将x=-4代入得：

y=-1⨯（-4）+2=4+2=22

33399

∴点P的坐标为（-4，22）．

39

2．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（-1,0）、B（4,0）、C（0,2）三点．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；

（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、

F，若∆PEB、∆CEF的面积分别为S1、S2，求S1-S2的最大值．

【解析】解：

⎧a=-1

⎪

⎧a-b+c=0⎪

⎪⎪3

（1）由题意可得⎨16a+4b+c=0，解得⎨b=2，

⎩

⎪c=2

∴抛物线解析式为y=-1x2+3x+2；

22

⎪

⎪c=2

⎪⎩

（2）当点D在x轴上方时，过C作CD//AB交抛物线于点D，如图1，

A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，

∴四边形ABDC为等腰梯形，

∴∠CAO=∠DBA，即点D满足条件，

∴D（3,2）；

当点D在x轴下方时，

∠DBA=∠CAO，

∴BD//AC，

∴可设直线AC解析式为y=kx+2，把A（-1,0）代入可求得k=2，

∴直线AC解析式为y=2x+2，

∴可设直线BD解析式为y=2x+m，把B（4,0）代入可求得m=-8，

∴直线BD解析式为y=2x-8，

⎧y=2x-8

联立直线BD和抛物线解析式可得⎪

y=-x+x+2

，解得

⎧x=4

⎨y=0

⎧x=-5

或⎨y=-18，

∴D（-5,-18）；

⎪⎩22⎩⎩

综上可知满足条件的点D的坐标为（3,2）或（-5,-18）；

（3）设P（t,-1t2+3t+2），

22

AB=5，OC=2，

∴S∆PAB

=1（-1t2+3t+2）⨯5=-5t2+15t+5，

22244

OF

-1t2+3t+2

22

=1，

t+1

∴OF=-1（t-4），

2

∴S∆AFO

=1⨯1⨯[-1（t-4）]=-1（t-4），且S

224

∆BOC

=1⨯2⨯4=4，

2

∴S-S=-5t2+15t+5+1（t-4）-4=-5t2+4t=-5（t-8）2+16，

124444455

∴当t=8时，有S-S有最大值，最大值为16．

5125

3．（2019秋•开福区校级期末）如图，已知抛物线y=ax2+bx-5（a≠0）与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C点，对称轴为x=-1，直线y=-x+3与抛物线相交于A、D两点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）P为抛物线上一动点，且位于y=-x+3的下方，求出∆ADP面积的最大值及此时点P

的坐标；

（3）设点Q在y轴上，且满足∠OQA+∠OCA=∠CBA，求CQ的长．

【解析】解

对称轴为x=-1，

∴-b=-1，

2a

∴b=2a，

∴y=ax2+2ax-5，

y=-x+3与x轴交于点A（3,0），

将点A代入y=ax2+2ax-5可得a=1；

3

（2）y=1x2+2x-5与y=-x+3的交点D（-8,11），

33

∴AD=11，

设P（m,1m2+2m-5），

33

则过点P与直线y=-x+3垂直的直线解析式为y=x+b，

将点P代入解析式得到1m2+2m-5=m+b，

33

∴b=1m2-1m-5，

33

∴过点P与直线y=-x+3垂直的直线解析式为y=x+1m2-1m-5，

33

两直线的交点为T（-1m2+1m+4，1m2-1m-1），

6666

∴TP=|m+m-4|=2|（m+5）2-121|，

66624

∴当m=-5时，TP有最小值为1212，

224

∴P（-5，-55），

2

S=1⨯112

12

2⨯1212=1331；

2424

（3）当Q点在y轴正半轴上时，过点Q作AC的垂线交AC延长线于点G，连接QA，由题意可求：

OA=3，BO=5，OC=5，

∴∆BOC是等腰直角三角形，

∴∠CBA=45︒，

∠QAG=∠OCA+∠AQO，∠OQA+∠OCA=∠CBA，

∴∠QAG=45︒，∴∆AQG是等腰直角三角形，

∴GQ=AG，

∠OCA=∠QCG，∠QGC=∠AOC，

∴∆OAC∽∆GQC，∴OA=OC，

GQGC

在Rt∆AOC中，AC=

34，

∴3=

AG

5，∴AG=334，

2

∴OA=AC，∴3

=，∴CQ=17；

GQCQAGCQ

在y轴负半轴上截取OQ'=OQ，连接AQ'，则∠OQA=∠OQ'A，

∴∠OQ'A+∠OCA=∠OQA+∠OCA=∠CBA=45︒，

∴Q'也满足题意，

此时Q'C=OQ-OC=CQ-OC-OC=17-5-5=7；综上所述：

OQ的长为7或17．

4．（2019春•开福区校级月考）已知抛物线y=kx2-4kx+3k（k>0）与x轴交于A、B两点（点

A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D．

（1）如图1，请求出A、B、C三点的坐标；

（2）点E为x轴下方抛物线y=kx2-4kx+3k（k>0）上一动点．

①如图2，若k=1时，抛物线的对称轴DH交x轴于点H，直线AE交y轴于点M，直线BE

交对称轴DH于点N，求MO+NH的值；

②如图3，若k=2时，点F在x轴上方的抛物线上运动，连接EF交x轴于点G，且满足

∠FBA=∠EBA，当线段EF运动时，∠FGO的度数大小发生变化吗？

若不变，请求出

tan∠FGO的值；若变化，请说明理由．

【解析】解：

（1）令kx2-4kx+3k=0，解得x=1，x=3，

12

∴A（1,0），B（3,0），

令x=0，y=3k，∴C（0,3k）．

（2）①当k=1时，抛物线的解析式为y=x2-4x+3，如图1，过点E作Ek⊥x轴于点K，

则∆BKE∽∆BHN，∆AKE∽∆AOM，设点E（m,m2-4m+3），

∴KB=KE，KE=AK，

HBHNMOAO

3-m-m2+4m-3-m2+4m-3m-1

即：

=，=，

1HNMO1

得：

NH=m-1，MO=-m+3，

∴MO+NH=m-1+（-m+3）=2．

②不会变化．

如图2所示，过E作EN⊥x轴于点N，作FH⊥x轴于点H，过点E作EM⊥FH，交FH

的延长线于点M，

设点F（n,2n2-8n+6），E（a,2a2-8a+6），当n>3时，不能满足∠FBA=∠EBA，

∴n<1，

∆FHB∽∆ENB，

∴FH=HB，

ENNB

2n2-8n+63-n

∴-2a2+8a-=-a

，得：

n+a=2，

∴FM2n-8n+6-（2a-8a+6）

22

tan∠FGO=tan∠FEM===4，

EMa-n

综上可知：

当点F和点E在抛物线上运动时，tan∠FGO的值不会发生变化，且

tan∠FGO=4．

5．（2019秋•雨花区校级期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，函数y=m（m为常数，

x

m>1，x>0）的图象经过点P（m,1）和Q（1,m），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点．

（1）求∠OCD的度数；

（2）如图2，连接OQ、OP，当∠DOQ=∠OCD-∠POC时，求此时m的值；

（3）如图3，点A，点B分别在x轴和y轴正半轴上的动点．再以OA、OB为邻边作矩形

OAMB．若点M恰好在函数y=m（m为常数，m>1，x>0）的图象上，且四边形BAPQ为

x

平行四边形，求此时OA、OB的长度．

⎧km+b=1

⎩

【解析】解：

（1）设直线PQ的解析式为y=kx+b，则有⎨k+b=m，

⎨

⎧k=-1

解得

⎩b=m+1

，∴y=-x+m+1，令x=0，得到y=m+1，

∴D（0,m+1），令y=0，得到x=m+1，

∴C（m+1,0），∴OC=OD，

∠COD=90︒，∴∠OCD=45︒．

（2）如图2，过Q作QM⊥y轴于M，过P作PN⊥OC于N，过O作OH⊥CD于H，

P（m,1）和Q（1,m），

∴MQ=PN=1，OM=ON=m，

=∠ONP=90︒，∴∆OMQ≅∆ONP（SAS），

∴OQ=OP，∠DOQ=∠POC，

∠DOQ=∠OCD-∠POC，∠OCD=45︒，

∴∠DOQ=∠POC=∠QOH=∠POH=22.5︒，

∴MQ=QH=PH=PN=1，

∠OCD=∠ODC=45︒，

∴∆DMQ和∆CNP都是等腰直角三角形，∴DQ=PC=，

OC=OD=m+1，∴CD=

2OC=

2（m+1），

CD=DQ+PQ+PC，∴2（m+1）=2+2，∴m=+1；

（3）如图3，

四边形BAPQ为平行四边形，

∴AB//PQ，AB=PQ，∴∠OAB=45︒，

∠AOB=90︒，∴OA=OB，∴矩形OAMB是正方形，

点M恰好在函数y=m（m为常数，m>1，x>0）的图象上，

x

∴M（，m），即OA=OB=，

AB=PQ，∴=

，解得：

m=3+

2

5或3-

2

5（舍），

∴OA=OB===

6+25=5+1．

22

6．（2019•雨花区校级模拟）已知：

二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，

其中点A为（-1,0），与y轴负半轴交于点C（0,-2），其对称轴是直线x=3．

2

（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；

（2）圆O'经过点∆ABC的外接圆，点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交圆O'

于点D，连接AD、BD，求∆ACD的面积；

（3）在

（2）的条件下，二次函数y=ax2+bx+c的图象上是否存在点P，使得

∠PDB=∠CAD？

如果存在，请求出所有符合条件的P点坐标；如果不存在，请说明理由．

【解析】解：

（1）

∴B（4,0），

A（-1,0），对称轴为直线x=3，

2

⎧a=1

⎪

⎧c=-2⎪

⎪⎪3

由题意可知，⎨a-b+c=0解得⎨b=-

⎪16a+4b+c=0⎪2

⎩⎪c=-2

⎪⎩

∴抛物线的解析式为y=1x2-3x-2．

22

（2）A（-1,0），B（4,0），C（0,-2），

∴OA=1，OB=4，OC=2，∴OC=OB，

OAOC

又=∠COB=90︒，∴∆AOC∽∆COB，

∴∠BAC=∠BCO，∴∠ACB=90︒，

∴AB为圆O'的直径，O'点坐标为（3，0），∴∠ADB=90︒，

2

又CD平分∠BCE，∴∠BCD=∠ECD=45︒，

∴∠BAD=45︒，∆ADB为等腰直角三角形，

连接O'D'，则DO'=1AB，DO'⊥AB，

2

∴DO'=5，D的坐标为（3，-5），

222

设AD与y轴交于点F，

∠DAB=45︒，∴OF=OA=1，∴CF=1，过D作DH垂直于y轴，

D（3，-5），∴DH=3，OH=5，

2222

∴S∆ACD

=S∆ACF

+

S∆DCF

=1⨯1⨯1+1⨯1⨯3=5．

2224

（3）抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CAD，分两种情况讨论：

①过D作MN//BC，交y轴于点M，

MN//BC，∴∠BDN=∠CBD，∠OCB=∠HMD，

又∠CBD=∠CAD，

∴∠BDN=∠CAD，直线MN与抛物线在D点右侧的交点即为点P，

∠OCB=∠HMD，∠COB=∠MHD=90︒，

∴∆HDM∽∆OCB，∴MH=OC=2，

DHOB4

，∴MH=4，M（0,-13）．

34

设直线MD的解析式为y=mx+n，

⎧3m+n=-5⎧m=1

则有⎪22解得⎪2

⎨13⎨13

⎪n=-

⎪⎩4

⎪n=-

⎪⎩4

直线MD的解析式为y=1x-13，

24

⎧y=1x2-3x-2

⎧x=4+6

⎧x=4-6

⎪22

⎪12

⎪22

∴⎨

⎪y=

1x-13

解得⎨

⎪y

，⎨

=6-9⎪y

（舍）

=-6+9

⎪⎩24

⎪⎩14

⎪⎩24

∴P（4+

6，6-9）．

124

②过点D作∠O'DG=∠O'BC，交x轴于点G点，

=∠O'BD=45︒，

∴∠GDB=∠CBD=∠CAD，

即直线DG与抛物线在点D右侧的交点即为P点，

又∠DO'G=∠COB，

∴△O'GD∽∆OCB∴OB=OC，∴4=



2∴O'G=5，∴G（11，0），

O'DO'G

设直线DG的解析式为y=kx+b，

5O'G44

2

⎧0=11k+b

⎧k=2

则有⎪4

53

，解得⎪11

⎪-=

k+b

⎪b=-

⎪⎩22⎩2

∴直线DG的解析式为y=2x-11，

2

⎧y=2x-11

⎧x=7-

⎧x=7+

⎪2

⎨13

，解得⎪1

22（舍），⎪222

33

⎪y=x2-

x-2

⎪y=-

⎪y=+

⎪⎩22

⎪⎩12

⎩⎪22

∴P（7+

21，3+

21）．

222

综上所述，点P的坐标为（4+

6，6-9）或（7+

21，3+

21）．

24222

7．（2020春•雨花区期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2-2ax-3分别交x轴正半轴于点B，交x轴负半轴于点A，与y轴负半轴交于点C，且AB=4．

（1）如图1，求a的值；

（2）如图2，D是第一象限抛物线上的点，连AD，过点D作DM//y轴，交CB的延长线于点M，连接AM交BD于点N，若S∆ABN=S∆DMN，求点D的坐标以及tan∠DAB的值；

（3）如图3，在

（2）的条件下，连接AD，P是第一象限抛物线上的点（点P与点D不重合），过点P作AD的垂线，交x轴于点F，点E在x轴上（点E在点F的左侧），EF=13，点G在直线FP上，连接EP、OG．若EP=OG，∠PEF+∠G=45︒，求点P的坐标．

（2）如图2中，

S∆ABN=S∆DMN，∴S∆ABD=S∆ADM，∴CM//AD，

直线BC解析式为y=x-3，设直线AD解析式为y=x+b，把点A（-1,0）代入得到b=1，

∴直线AD解析式为y=x+1，

⎧y=x+1

⎩

由⎨y=x2-2x-3解得x1=-1（舍去）或x2=4，

∴点D坐标（4,5），∴tan∠DAB=5=1．

5

（3）如图3中，作GN⊥OA于N，PM⊥OF于M，PE与DN交于点K，DN与OG交于点H，OG与PE交于点J．

∠DAB=∠AEK+∠EKA=45︒，∠AEK+∠FGO=45︒，

∴∠EKA=∠HKJ=∠FGO，

PG⊥AD，∴∠FGO+∠GHD=90︒，

∠GHD=∠KHJ，∴∠HKJ+∠KHJ=90︒，

∴∠PEM+∠EOG=90︒，∠NGO+∠GOA=90︒，

∴∠PEM=∠NGO，

PE=GO，∠GNO=∠PME=90︒，

∴∆PEM≅∆OGN（AAS），

∴ON=PM=FN，GN=EM=FN，

∴EN=FM=ON，

设点P（m,m2-2m-3），

EF=13，∴3（m2-2m-3）+m=13，∴m=11或-2（舍去），∴点P坐标（11，28）．

339

8．（2020•常州）如图，二次函数y=x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1,0），且顶点为D，连接AC