矩形菱形正方形培优习题.docx

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矩形菱形正方形培优习题

矩形、菱形、正方形习题汇编

一、填空题

1.在矩形ＡBCＤ中,∠ＡOＤ=1３0°,则∠AＣＢ=__　_

2．已知矩形的一条对角线长是８ｃm,两条对角线的一个交角为6０°，则矩形的周长为_＿____

３．矩形AＢCD被两条对角线分成四个小三角形,如果四个小三角形的周长的和是86ｃm，　

对角线是13cm，那么矩形的周长是_＿__________

4.如图所示,矩形ABCD中,AＥ⊥BD于E，∠BＡE=30°,BE=1cｍ,那么DE的长为_____

５、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cｍ,则它的面积为_＿_

6、已知,在Rｔ△ＡBＣ中，BD为斜边AC上的中线，若∠Ａ=3５°,那么∠DBC=　　　。

7.已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm,则这个菱形的面积是_____＿cm.

8.若菱形的周长为24cm,一个内角为６0°，则菱形的面积为_＿___＿ｃm２。

9．已知：

菱形的周长为４0cm，两条对角线长的比是3:

４。

求两对角线长分别是　。

１０、已知菱形的面积等于80cm２,高等于8cm,则菱形的周长为　　　　　.

11、如图,Ｐ为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PＦ⊥AD于点F，ＰF＝3cm，则P点到AＢ的距离是＿____ｃm

12、如图,菱形ABCD的两条对角线分别长６和8,点Ｐ是对角线AＣ上的一个动点，点M、Ｎ分别是边ＡB、BC的中点,则ＰM+ＰN的最小值是_______．

１3、□ＡBＣＤ的对角线AC与ＢD相交于点O，

（1）若AB=AD，则□ＡBＣD是　　形;　

（2）若AC＝BD，则□ABCD是　　形;ﻫ（3）若∠ＡBＣ是直角,则□AＢCＤ是　形；（4）若∠ＢAO=∠ＤAＯ,则□AＢCD是形。

14.如图，将两张长为8,宽为2的矩形纸条交叉,使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值８，那么菱形周长的最大值是　　　.

1５.如图,方格纸中４个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为

　（结果保留π）.

１6．如图，正方形ＡBCD边长为１，动,沿正方形的边按逆时针方向运动,当它的运动路程为2009时，点Ｐ所在位置为＿___＿＿;当点P所在位置为D点时,点P的运动路程为______（用含自然数n的式子表示）．

17.（2009年杭州市）如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长方形的周长可以是__＿_____＿＿_＿_.

１8.矩形内有一点P到各边的距离分别为1、3、５、7，则该矩形的最大面积为　平方单位.

19.若正方形ABＣD的边长为4,Ｅ为BC边上一点，BE＝3，Ｍ为线段AＥ上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AＥ,则BM的长为　　．

20.如图,在菱形ＡBCD中，∠ＡＤC=72°,AD的垂直平分线交对角线BD于点P,垂足为E,连接CＰ，则∠CPB___＿___＿度．

２1.　如图,l1、ｌ２、l３、l4是同一平面内的四条平行直线,且每相邻的两条平行直线间的距离为h,正方形AＢCD的四个顶点分别在这四条直线上,且正方形AＢCＤ的面积是25,则ｈ的值为　　;

２2、已知一个菱形的面积为8㎝2，且两条对角线的比为1∶，则菱形的边长为　

2３、Rt△AＢC中,斜边AB上的中线长为３,则AC2＋ＢC2+AB２=．

24、如图,矩形AＢCD中,AＥ平分∠BAD交BC于Ｅ,∠CAE＝1５°,则下列结论①△OＤC是等边三角形;②BC=2AB;③∠ＡＯE=135°;④S△ＡOE=Ｓ△COE，其中正确的结论的序号是．

25、一个菱形绕其对角线交点旋转90°后能与原来的图形完全重合,则该菱形一定是

２6、如图，矩形内有两个相邻的正方形,面积分别为４和2,则阴影部分的面积为　　　.

27、点M为矩形ABCD的边AD的中点,P为BＣ上一点，且PＥ⊥ＭC,PＦ⊥ＭB,当AＢ、AD满足条件

　　　　时,四边形ＰEMF是矩形.

28、在正方形ABCＤ中,两条对角线相交于O,∠BAC的平分线交BD于E,若正方形ＡBCＤ的周长是1６㎝,则ＤＥ=㎝.

2９、矩形AＢCＤ的边AＢ的中点为P,且∠DPC=90°，则AD∶AB＝　.

3０、如图,E是正方形ABCD内一点,如果△ABE为等边三角形,那么∠DＣE＝　　　.

31、菱形的一边与两条对角线所构成的两角之比为5∶4,则它的各内角度数为　　　．

二、选择题

1、下列性质中,矩形具有而平行四边形不一定具有的是（　）ﻫA、对边相等　B、对角相等　　　C、对角线相等　Ｄ、对边平行

２．小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形,请补充条件　　　,使得四边形ABCＤ是菱形。

小明补充的条件是AB＝BC；小亮补充的条件是AC=ＢＤ,你认为下列说法正确的是（　　　　）

A、小明、小亮都正确　B、小明正确，小亮错误

C、小明错误,小亮正确　　D、小明、小亮都错误

3.下面性质中菱形有而矩形没有的是（　）　

（A）邻角互补　　（B）内角和为３6０°　（C）对角线相等　　（D）对角线互相垂直

4．如图,已知四边形ＡBＣD是平行四边形,下列结论不正确的是（）

A．当AＢ=BC时,它是菱形；B.　当ＡC⊥ＢD时，它是菱形

5、下列条件中，不能判定四边形AＢCD为菱形的是（）.

A、AC⊥BD,ＡＣ与ＢD互相平分　　Ｂ、ＡＢ＝BC=CＤ=DＡ

Ｃ、ＡB=BC，AD=CD，且AC⊥BD　　D、ＡＢ=CD，AD=ＢC，AC⊥BＤ

6．如图,将边长为８㎝的正方形ABＣD折叠，使点Ｄ落在ＢC边的中点E处,点Ａ落在F处,折痕为MN，则线段ＣＮ的长是（　　）

A．3cｍﻩﻩB．4cmC.5cmD.6ｃm

7.在矩形ABCD中，AB=1，AD=　

AＦ平分∠ＤAＢ,过C点作CE⊥ＢD于Ｅ,延长AF、EC交于点H，下列结论中：

①AF=ＦH;②BO=BF；③CA=ＣH④BE=3ED

，正确的是（　）;ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ　

A.②③ﻩＢ.③④ﻩ

C.①②④D.②③④ﻩ

８.如图,矩形ABＣＤ中，AB=3,BＣ＝5,　过对角线交点O作OE⊥AC交ＡD于Ｅ，则AE的长是（　　）

A．1.６　B．2．5　C．3ﻩD.3.4ﻩ

9.如图,将一个长为1０ｃm，宽为8cｍ的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开,得到的菱形的面积为（　　）ｃm;

A．１0ﻩB.20ﻩﻩＣ.4０Ｄ.80

1０．如图,正方形ＡＢCＤ的边长为２,将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动.如果Q点从A点出发,沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从Ｂ点出发,沿图中所示方向按Ｂ→C→D→A→Ｂ滑动到Ｂ止，在这个过程中,线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（　　）.

A．2B．４-πC.π　Ｄ．π　-1

１1.如图，在菱形ABCD中,∠A=110°，E,Ｆ分别是边AＢ和ＢC的中点，EP⊥ＣＤ于点P，则∠ＦPＣ＝（　）－;Ａ.３５°　　B．４5°　C．50°　　D．5５°

１２．如图，矩形ABCD中,E点在BC上,且AＥ平分∠BAC。

若BE=4,AＣ=15,则△AEC面积为（　　）；A.15　B.30C.45　　D.　60。

13.将矩形纸片ABCＤ按如图所示的方式折叠，ＡＥ、EF为折痕,∠BＡＥ＝3０°，AB=

，折叠后,点Ｃ落在AD边上的Ｃ１处,并且点B落在EＣ１边上的B１处．则ＢC的长为（）．

Ａ.

Ｂ.２C.3　　Ｄ.

14.如图,双曲线y=k／x　（k>０）经过矩形ＱABＣ的边BC的中点E，交ＡB于点D。

若梯形ODBC的面积为３,则双曲线的解析式为（　）

A.y=１／x

　　　　B.y=2/x　

C．ｙ=３/x　　　D.y=６/ｘ

15．如图，把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个锐角为６0︒的菱形,剪口与折痕所成的角α　的度数应为（　　　）

A.１5︒或30︒　B．30︒或4５︒　　C．4５︒或６0︒　D．30︒或6０︒

16、下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（）

A．测量两条对角线,是否相等　　　　　Ｂ.测量两条对角线，是否互相平分

C．用曲尺测量门框的三个角,是否都是直角D.用曲尺测量对角线,是否互相垂直

17、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）.

　　A　对角线相等　　　　Ｂ对边相等　

C对角相等　　　　D　对角线互相平分

18、下列对矩形的判定：

“

（1）对角线相等的四边形是矩形;

（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形;（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（４）有四个角是直角的四边形是矩形;（5）四个角都相等的四边是矩形；（6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形；（７）一组邻边垂直,一组对边平行且相等的四边形是矩形；（8）对角线相等且互垂直的四边形是矩形”中,正确的个数有（　）（②④⑤⑦）

　　　A、3　个　　　　B、４个　　C、5个　　　Ｄ、６个

19、下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是（　）

A、对角线互相平分的四边形　　B、对角线互相垂直且平分的四边形

Ｃ、对角线相等的四边形　　　　　　D、对角线相等且互相垂直的四边形

20、下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）

Ａ、对边平行且相等　　B、对角线互相平分

C、内角和等于外角和　　　D、每一条对角线所在直线都是它的对称轴

21、矩形的两条对角线所成的钝角是120°，若一条对角线的长为2,那么矩形的周长为（）

Ａ、6Ｂ、5.8ﻩﻩC、2（1+

）ﻩﻩﻩD、5．2

2２、菱形的周长为２0,两邻角的比为２∶1,则一组对边的距离为（）

　A、ﻩﻩB、

C、3

ﻩＤ、

23、矩形ABCＤ的对角线ＡC的中垂线与ＡＤ、BC分别交于E、F,则四边形AFCE的形状最准确的判断是（　　）

A、平行四边形ﻩB、菱形ﻩC、矩形ﻩﻩD、正方形

24、设Ｆ为正方形AＢCＤ的边AD上一点,ＣＥ⊥ＣＦ交AB的延长线于E,若S正方形AＢCD=64，S△CEＦ=50,则S△CBＥ=（　）　

　　　Ａ、20ﻩﻩB、24C、2５ﻩﻩD、26

2５、在矩形ABCD中,AB=3,AＤ=４,Ｐ是AD上一动点，PF⊥ＡC于Ｆ,PE⊥BD于E,则PE+PF的值为（）

A、

ﻩﻩB、ﻩﻩC、ﻩﻩﻩD、2

答案：

Ａ

２6、已知AＢＣＤ是平行四边形,下列结论中不一定正确的是（）

A．AＢ=CD　　　　　B.AC=BD　

C.当AC⊥BD时，它是菱形　Ｄ．当∠ＡBC=90°时,它是矩形

三、解答题

1、如图,矩形ＡBCD中，AC与BD交于O点,ＢE⊥ＡC于E，CF⊥BＤ于F.

求证：

BE=CF.

2.如图，△ABC中，∠ACB=９０0,点D、E分别为ＡC、AB的中点，点F在BC延长线上,且∠CDF=∠A，求证：

四边形ＤＥＣF是平行四边形；

3.已知：

如图，在△ＡＢＣ中，∠ＢAC≠90°∠ABＣ=２∠C,AD⊥ＡC,交BC或CＢ的延长线D。

试说明:

DC＝2AB.　

4、在△ＡBC中，∠Ｃ=90O，AＣ=BC，AD=BＤ,ＰE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F。

求证:

DE＝ＤF

5、平行四边形ABCD，E是CD的中点,△AＢE是等边三角形，求证：

四边形ABCD是矩形

6、在平行四边形ＡBＣD中,对角线AＣ、ＢD相交于O,EF过点Ｏ，且AF⊥BC，求证:

四边形AFCE是矩形

７、平行四边形ＡBＣD中，对角线AC、BD相交于点O，点Ｐ是四边形外一点，且PＡ⊥PC,PB⊥PD，垂足为P。

求证：

四边形ＡBCＤ为矩形

8、已知:

如图,平行四边形ＡBCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：

四边形EFGH为矩形.

9、如图，△ABC中,点O是AＣ上一个动点,过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠ＢＣＡ的外角平分线于点F，　　

（1）求证:

OE=ＯF;

（2）当点O运动到何处时,四边形AＥCF是矩形，并证明你的结论。

10．已知菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O,∠BAＤ=120°，求∠ABD的度数。

1１、已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AＢ,AE＝２。

求

（1）∠ＡBＣ的度数;　

（2）对角线ＡＣ、BD的长；　（3）菱形ABＣD的面积。

12、已知:

如图，AD平分∠ＢAＣ，DE∥ＡC交AB于E,DF∥AB交AC于F.

求证：

四边形AEＤＦ是菱形;

13、如图，边长为ａ的菱形ABCD中，∠ＤAB=60度,Ｅ是异于A、D两点的动点,F是CD上的动点，满足AE+CF＝a。

证明:

不论E、F怎样移动,△BEF总是正三角形。

14、如图,Rｔ△ABC中，∠ACＢ=900，∠ＢAC=6００，DE垂直平分BC,垂足为D,交AＢ于E,又点F在DE的延长线上,且AＦ=ＣE,求证:

四边形ACEF是菱形。

15、如图,在已知平行四边形ＡBCD中，AE平分∠ＢAD,与BＣ相交于点E，EF//AB，与AD相交于点Ｆ.求证:

四边形ABＥF是菱形.

１6、如图,在△ＡBC中，∠BAC=90°,AD⊥BC于D，CE平分∠ACＢ,交ＡD于G,交AB于E，EＦ⊥BC于F,四边形AＥFG是菱形吗?

１7.如图①,四边形ABCD是正方形,　点G是ＢC上任意一点，DＥ⊥ＡG于点E，BF⊥ＡＧ于点F.　

（1）求证：

DE－ＢF=　EＦ．

（２）当点Ｇ为BC边中点时,试探究线段EＦ与GF之间的数量关系,并说明理由．

（3）若点Ｇ为CB延长线上一点,其余条件不变．请你在图②中画出图形,写出此时DE、BF、EＦ之间的数量关系（不需要证明）．

１8．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使点B落到点Ｂ′的位置，AB′与CD交于点Ｅ．

（１）试找出一个与△ＡEＤ全等的三角形，并加以证明．

（2）若AB＝8，ＤＥ＝3，P为线段AC上的任意一点,PG⊥ＡＥ于Ｇ，PH⊥EC于H,试求PＧ+ＰH的值,并说明理由.

19．如图所示，在矩形ABCD中,AＢ=12,AC=2０，,两条对角线相交于点O．以OB、OＣ为邻边作第1个平行四边形OＢB１C，对角线相交于点A1,再以Ａ１B1、Ａ１C为邻边作第２个平行四边形A1Ｂ1C1C，对角线相交于点O１;再以O１Ｂ１、O1C1为邻边作第3个平行四边形O1Ｂ１B2Ｃ１……依次类推．

（1）求矩形AＢCD的面积;

（2）求第1个平行四边形OBB１Ｃ、第2个平行四边形Ａ1Ｂ1Ｃ１C和第6个平行四边形的面积．

20．已知正方形ＡBCD中,Ｅ为对角线BD上一点，过E点作EＦ⊥BＤ交BC于Ｆ,连接DF，G为DF中点，连接EG,ＣG．

（1）求证:

EG=ＣG；

（２）将图①中△BEＦ绕Ｂ点逆时针旋转４5º,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问（１）中的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证明；若不成立,请说明理由．　

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问

（1）中的结论是否仍然成立？

通过观察你还能得出什么结论？

（均不要求证明）

21．在平面直角坐标中,边长为2的正方形OABＣ的两顶点A、C分别在y轴、ｘ轴的正半轴上，点Ｏ在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M,BC边交ｘ轴于点N（如图）.

（1）旋转过程中，当MＮ和AC平行时,求正方形

OABC旋转的度数；

（２）设

的△MBＮ周长为p，在旋转正方形OAＢC

的过程中,p值是否有变化?

请证明你的结论.

２2．　如图，已知直线Ｌ1：

y＝２ｘ/3　+8／3与直线L2：

ｙ=-2ｘ+1６相交于点Ｃ,

L1、L2分别交x轴于Ａ、B两点.矩形DＥFG的顶点D、E分别在直线L1、L２上，

顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合.

（１）;求矩形ＤEFＧ的边DＥ与ＥＦ的长;

（2）若矩形ＤＥFG从原点出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,设移动时间为t（0≤ｔ≤1２）秒，矩形DEFG与△AＢＣ重叠部分的面积为S,求S关于t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围．

23．如图,△ＡBC中,点O是边AC上一个动点，过Ｏ作直线ＭN∥BC，设ＭN交∠BCA的平分线于点E，交∠ＢCＡ的外角平分线于点F.

（1）探究:

线段OE与OF的数量关系并加以证明；

（2）当点Ｏ在边AC上运动时,四边形BCFE会是菱形吗?

若是，请证明,若不是，则说明理由;

（3）当点Ｏ运动到何处,且△AＢＣ满足什么条件时，四边形AECF是正方形?

２4．如图，在平面直角坐标系中,矩形AOBC在第一象限内,Ｅ是边OB上的动点（不包括端点），作∠AＥF=　90︒，使EＦ交矩形的外角平分线ＢF于点F，设C（m,n）．

（１）若m=n时,如图，求证：

EF=AE；

（2）若ｍ≠n时，如图，试问边OＢ上是否还存在点E，使得EF=AE?

若存在，请求出点E的坐标；若不存在,请说明理由．

（3）若m=tｎ（t>1）时，试探究点E在边OＢ的何处时,使得ＥF=（t＋1）AE成立?

并求出点E的坐标.

25．△ABC是等边三角形,点D是射线BＣ上的一个动点（点D不与点Ｂ、C重合），△ＡDE是以AD为边的等边三角形,过点E作ＢC的平行线,分别交射线AB、AC于点F、G，连接BＥ.

（1）如图（ａ）所示,当点Ｄ在线段BC上时.

　　　①求证：

△AEB≌△ADC；

②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？

并说明理由；

（２）如图（ｂ）所示，当点D在BC的延长线上时,直接写出

（1）中的两个结论是否成立？

（３）在

（2）的情况下,当点运动到什么位置时，四边形

是菱形？

并说明理由.

26、如图，已知在□ABCD中，AD=２ＡB,E、F在直线AＢ上,且AE=AB=BＦ，说明CE⊥DF．

２７、（６′）已知如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD于E,对角线ＡC、BD相交于点Ｏ,且ＢE∶ＥＤ=1∶3,ＡD＝6㎝，求AE的长.

28、（6′）已知菱形ＡBCD中，AC与BD相交Ｏ点,若∠BDC=

菱形的周长为20厘米，求菱形的面积．

２9、（8′）如图,在□ABＣD外有一点E,若AE⊥EC,BE⊥ED．求证：

□ABＣD是矩形.

30、（8′）如图,△ABC中,AB=２，ＢＣ=

AC=4,E,F分别在AB、AC上．沿EＦ对折，使点Ａ落在BC上的点D处,且FD⊥BＣ．（１）求AD的长;

（2）判断四边形ＡEDF的形状，并证明你的结论.

３1、（8′）如图，正方形ABCＤ中,P是对角线AＣ上一动点，PＥ⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为Ｅ、F小红同学发现：

PD⊥EF,且PD=EF,且矩形PEBF的周长不变.不知小红的发现是否正确,请说说你的看法．