九年级下册第二十七章相似三角形.docx

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九年级下册第二十七章相似三角形

《相似三角形》

本章知识结构框图

一、相似三角形与全等三角形

全等三角形

相似三角形

定义

能够完全重合的两个三角形

对应角相等，对应边成比例的两个三角形

图形性质

形状、大小完全一样

形状一样、大小未必一样

表示方法

△ABC≌△A，B，C，

△ABC∽△A，B，C，

性质

对应角相等，对应边相等

对应角相等，对应边的比相等

相似比

区别与联系

（1）找对应元素的方法一样

（2）全等三角形是相似比为1的相似三角形，但相似三角形不一定全等

相似三角形是最为简单的相似多边形.解题时应注意以下问题：

（1）探求两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.这样可以比较容易地找出相似三角形的对应角和对应边.

（2）相似比是有序的，如△ABC与△A′B′C′的相似比为k，则△A′B′C′与△ABC的相似比为

　（3）在研究相似多边形性质时，常将多边形分成若干个三角形.由相似三角形的有关性质推得相似多边形也有同样的性质.

（4）相似三角形对应角相等，对应边成比例，比值称为相似比，全等的三角形相似比为1.

（5）相似三角形的本质特征是这两个三角形具有相同的形状，但大小不一定相等.

（6）相似三角形的传递性由△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′∽△A″B″C″，可得△ABC∽△A″B″C″.

　.

一、相似三角形的判定方法

判定方法1

∵___________

∴△ABC∽△ADE

判定方法2

∵________________

∴△ABC∽△A，B，C，

判定方法3

∵_____________，∠B=∠B，

∴△ABC∽△A，B，C，

判定方法4

∵___________，__________

∴△ABC∽△A，B，C，

三、3个基本图形

∵_______________

∴△APC∽△DPB

则PA•PB=PC•PD

∵_________________

∴△APD∽△CPB

则PA•PB=PC•PD

△ACD∽△CBD∽△ABC

定义：

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形

　　符号“∽”，读作：

“相似于”，记作：

∽

，如图所示.

　　∴

∽

　　反之亦然．即相似三角形对应角相等，对应边成比例（性质）．

　　∵

∽

，

　　∴

　　注：

在证两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上．

　2．相似比的概念

　　相似三角形对应边的比K，叫做相似比（或相似系数）．

　　注：

①两个相似三角形的相似比具有顺序性．

　　如果

与

的相似比是K，那么

与

的相似比是

.

　　②全等三角形的相似比为1，这也说明了全等三角形是相似三角形的特殊情形．

　　3．预备定理：

平行三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.　

∽

，如图所示．

知识结构

（1）全等三角形是相似三角形当相似比为1时的特殊情况，判定两个三角形全等的3个定理和判定两个三角形相似的3个定理之间有内在的联系，不同之处仅在于前者是后者相似比为1的情况．

（2）相似三角形的判定定理的选择：

①已知有一角相等时，可选择判定定理1与判定定理2；②已知有二边对应成比例时，可选择判定定理2与判定定理3；③判定直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形的方法来判定，如果不能，再考虑用判定一般三角形相似的方法来判定．

　　（3）相似三角形的判定定理的作用：

①可以用来判定两个三角形相似；②间接证明角相等、线段域比例；③间接地为计算线段的长度及角的大小创造条件．

　　（4）三角形相似的基本图形：

①平行型：

如图1，“A”型即公共角对的边平行，“×”型即对顶角对的边平行，都可推出两个三角形相似；②相交线型：

如图2，公共角对的边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交．图中几种情况只要配上一对角相等，或夹公共角（或对顶角）的两边成比例，就可以判定两个三角形相似。

判定定理

相似三角形的性质定理1

（1）相似三角形的对应角相等.

（2）相似三角形的对应边成比例.

　（3）相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.

性质定理2：

相似三角形周长的比等于相似比．

∽

， 

性质定理3：

相似三角形面积的比，等于相似比的平方．

∽

， 

相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

1．平行线等分线段定理

　　定理：

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他需直线上截得的线段也相等．

　　注意事项：

定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的特殊的平行线组；它是由三条或三条以上的平行线组成．

　　定理的作用：

可以用来证明同一直线上的线段相等；可以等分线段．

　　2．平行线等分线段定理的推论

　　推论1：

经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．

　　推论2：

经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。

　　记忆方法：

“中点”＋“平行”得“中点”．

　　推论的用途：

（1）平分已知线段；

（2）证明线段的倍分．

（l）平行线等分线段定理及推论．

（2）定理的证明只取三条平行线，是在较简单的情况下证明的，对于多于三条的平行线的情况，也可用同样方法证明．

　　（3）定理中的“平行线组”，是指每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组．

　　（4）应用定理任意等分一条线段．

知识结构

1．三角形中位线：

连结三角形两边中点的线段叫做三角形中位线．

2．三角形中位线性质

三角形中位线定理：

三角形中位城平行于第三边，并且等于它的一半．

3．三角形中位线及三角形中位线与三角形中线的区别．

知识结构

 梯形中位线定义：

连结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.

梯形中位线定理：

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.

　知识结构

　1.比例的基本性质：

（即比的内项积等于比的外向积）.

　2.更比性质：

（交换比例的内项或外项）.

　3.反比性质：

（把比的前项后项交换）

　4.合比性质：

（比例式中，按比例将比的前项或后项同时加上或减去一个数，这两个比例式仍然相等）

　5.等比性质：

（比例式中，比的前项和比上比的后项和等于原来的比）

两条线段的比应注意的问题，归纳出：

　　（l）两条线段的比就是它们的长度的比．

（2）比与所选线段的长度单位无关，求比时，两条线段的长度单位要一致．

　　（3）两条线段的比值总是正数．（并不都是正数）

　　（4）除了a＝b之外，

．

与

互为倒数．

推论：

（三角形一边平行线的性质定理）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．

27．1图形的相似

概述

　　如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。

（相似的符号：

∽）

判定

　　如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。

相似比

　　相似多边形的对应边的比叫相似比。

相似比为1时，相似的两个图形全等。

性质

　　相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。

相似多边形的周长比等于相似比。

相似多边形的面积比等于相似比的平方。

27．2相似三角形

判定

　　1.两个三角形的两个角对应相等

　　2.两边对应成比例,且夹角相等

　　3.三边对应成比例

　　4.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。

例题

　　∵∠A=∠A';∠B=∠B'

　　∴△ABC∽△A'B'C'

性质

　　1.相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

　　2.相似三角形周长的比等于相似比。

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方

27．3位似

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

性质

　　位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。

位似多边形的对应边平行或共线。

位似可以将一个图形放大或缩小。

位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。

　　根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。

　　注意

　　1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；

　　2、两个位似图形的位似中心只有一个；

　　3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；

　　4、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；

5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。