2群论公理定理公式.docx
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2群论公理定理公式
定理每一个元素自逆的的群是一个阿贝尔
群
设群G二{E二A,A2,,An},若对-AkG有:
AkAk=E(A‘=Ak),
证明此群必为阿贝尔群。
【证明】任取A,Aj^G,则有
A=AAj:
-G,人=AjA:
-G
由题给条件知
AAk=(AA)(AjA)=A(AjAj)A)=AA=E
因而有
A=A
亦即
AAj=AjA
定理重排定理
定理1.1(重排定理):
在一个群的乘法表中,群中所有元素在每一行(列)中必须出现且仅能出现一次;群乘表中任意两行(列)是群中全体元素的不同的排列。
重排定理告诉我们,对于—a,G,G和aG是同一个集合,只不过排列顺序不同而已,于是有下列重要推论
推论重排定理的推论
推论:
设G为群,f(x)(x.G)是定义在G上的函数。
根据重排定理有:
nn
'、f(Xj)二'f(aXj)(1.1)
j4jJ
xj:
-GXj.G
aG
定理由群G中一个m阶元素gk可以生成一
个m阶的循环群
m23-…m
{E=gk,gk,gk,gk,,gk};
定理若一个n阶群中至少有一个n阶的元
素,则此群必为n阶循环群。
定理群的阶数与群中任何一个元素的阶数
的商是一个整数;
定理任何素数阶的群都是循环群。
定理共轭的性质
共轭是一种等价关系,满足
a)自反性。
即群中任何一个元素都与自身共轭。
事实上,对于「AG,总
有E-G,使得:
EAEf;
b)对称性。
即若A是B的共轭元素,贝UB也是A的共轭元素;
c)传递性。
即若A与B共轭,B与C共轭,则A与C共轭。
事实上,对于-代B,C・G,若有X,Y・G,使得:
XAXJ=B,YBYJ=C
则必有:
1111
YBY=YXAXY=ZAZ=C
(Z二YXG,Z」二X」Y」G)
定理类的性质
a)群中共轭的元素必在同一个类中(两个共轭元素的共轭类相同);
b)群中不共轭的元素属于不同的类(非共轭元素的共轭类完全不同);
c)群的任意两个相异类的交为零;
d)群的所有类的和(并)等于群;
e)第3、4条可以合并为一条:
群的所有的类构成群的一个划分;
f)类与群中任何一个元素对易,即若C是群G的一个类,则对-AG有
ACA,二C或:
AC=CA;(1.2)
证:
(1)-AA.AJACA,二AC二AA.A^-AC,即
AA-.AC;
(2)又设AC,则必存在AC使得AA:
A二A=:
A「ACA4,即
CACA_。
g)同一类中的元素有相同的阶数。
证:
设XAX'二A],且A:
二E。
贝U
A^(XAX=(XA:
.X')(XA:
.X')(XAX^)=(XA:
X')二E。
定理陪集性质
定理1.2设H是群G的一个子群,则有:
(1)子群和它的任何一个陪集没有共同元素,即,对任意X•G但X-H有:
XH-H二HX-H-(:
•:
」表示空集和);
(2)子群的任何两个左陪集(右陪集)要么完全相同,要么完全不同,即,对任意X,Y•G但XYH有:
XH二YH,或:
XH-YH
HX二HY,或:
HX-HY二门
(3)群G的子群H群与它的所有相异左(右)陪集定义群G的一个划分*o即若群G的子群H有k-1个相异左(右)陪集XiH(i=1,2,…,k-1),则
G=H_X,H_X2H_一Xk」H
【证明】
(1)设XH-H:
」,贝U存在XHjXH,Hk•H,使得
XHj=Hk=X二HkH「H
显然与条件XH矛盾,故结论
(1)成立;
(2)设XH、YH—-,则存在Hj,H「H,使得
XHj二YHk,=Y’X二HkHj»H,于是由重排定理得至U
Y’XH=H二XH=YH
(3)设H共有k-1个不同的左陪集:
XiH,i=1,2,,k-1
根据陪集的性质有:
H-XiH=",i=1,2,,k-1
XiH一XjH->,i,j=1,2,,k-1,i=j
H-G,XjH-G,i=1,2,,k-1
又因为,对-AG,有AH或AXiH(i=1,2,…,k—1),故AG。
因此,
GG
由此可见G=G'o
定理子群定理
定理1.3设H是n阶群G的一个m阶子群,则有h=n/m必为一个整数,h称为子群的指数。
【证明】设子群H共有k-1个不同的左陪集:
XiH,i=1,2,…,k-1,则有
G=H_X,H_X2H_一Xk」H
由于
G=n,|H
由此得到n=km,可见k=n/m是一个整数。
定理子群定理推论
推论:
该定理的一个直接推论为:
群的阶与任何元素的阶的商必为整数。
【证明】设AG,且Am=E,则由A必可生成G的一个m阶循环子群
工=Am,A,A2,,AT
由定理1.3得到k=n/m是一个整数。
定理正规子群的性质
正规子群(自轭子群、不变子群)
例1.13已知H二{E,C:
},为群C4、,={E,C4,c2,C:
mx,my,・,「}的一个子群,
考察该子群的性质。
解:
由C4、.群的乘法表可以列出H的所有左、右陪集如下:
C4H二HC4={C4,c4},c3h=hc4={c4,C4}
mxH=Hmx二{mx,my},myH=Hmy={my,mix}
-H=H;」-{;=「},匚、H=H;「.-{「,;打
稍加分析即可看出:
a)H的任何一个左陪集与对应的右陪集相等,即XjH=HXj;
b)H除与自身共轭外,没有其它共轭子群,即对-Xj•G,有XjHX「1=H;
c)子群H可以表达为C-群的几个类的并,即:
H={E}_{C4HCUC20
定理不变子群
定理1.5
(1)不变子群的任何两个陪集的直积*仍然是该子群的陪集;
(2)不变子群与任何一个陪集的直积等于陪集自身。
【证明】
(1)设H是群G的不变子群,任取X,Y・G,有
(XH)(YH)=X(HH)Y=XHY=XYH=ZH
(Z二XYG)
(2)任取X•G,有
H(XH)=(HX)H=(XH)H=X(HH)二XH
注:
两个陪集的积定义为:
第一陪集中的元素与第二陪集中的元素依次相乘得到的集合,但重复的元素只算一次。
定理商群的性质
商群有下列性质:
(1)商群G/H的单位元素(幺元)为正规子群H;
(2)商群的阶数为正规子群的指数,即,若G的阶数为n,H的阶数为m,则G/H的阶数为n/m;
(3)商群G/H给出了群G的一个划分。
即-Ki,Kj・G/H有
心-Kj=<>
Kr'.K?
…K|=G(I=n/m)
事实上,由G群的任何一个子群H都可以导出G的一个划分,这个划分就是子群与其所有相异左陪集(右陪集)所组成的集合。
由正规子群导出的划分就是商群G/H。
定理群的结构
对任何一个群G,总有它的一个生成子集S5G,由S中各元素的幕和乘积可以生成群中所有的元素,子集中的各元素称为群的生成元。
显然,若子集S中只有一个元素,那么群就是一个循环群。
若群的阶n是一个素数,则群只能有一种结构,这就是n阶循环群。
定理生成集的充要条件
定理1.7子集S5G是群G的一个生成集的充要条件是:
G中不存在包含S的真子群。
【证明】
(1)设S是群G的一个生成集。
若存在G的一个真子群H使得:
S-HG
则由运算在子群H上的封闭性知道,由S中各元素的幕和乘积只能生成H中的元素,显然与前提矛盾,故假设不成立;
(2)设S是群G的一个子集。
且G的任何真子群不包含S,则令
K={S中各元素的幕}-{S中各元素的乘积}
显然K包含S,且是G的一个子群(运算在K上封闭,K中各元素有逆),即
S工K工G
但由前提知道K不可能是G的真子群,故必有K二G。
可见S是群G的生成集。
例如:
下列集合都是的Cg二{E,C4,C;c3,mx,my,;r,「}生成集:
{C4,mx},{C4,匚J{C4,my},{C4,「}
关于Sn群:
(1)Sn群中有一半偶置换和一半奇置换;
(2)偶置换与偶置换的乘积是偶置换,奇置换与奇置换的乘积是偶置换,奇置换与偶置换的乘积是奇置换;
(3)全体偶置换构成Sn群的子群,称为n次交代群。
置换群的概念不仅可用于全同对象系统,实际上对任何有限群有下列结论:
定理1.8任何有限群总同构于S.群的一个子群。
例1■佃写出与C4、..二{E,C4,C2,C:
mx,my,—,二,}群同构的置换群。
解:
将4个顶点标记为a,b,gd,顶点所在的空间位置标记为1,2,3,4
、y
■1
*
■»
•«|
A
*4
*
■1
*
■
'V
1
2
a
b
4
3
则群中每一个对称操作对应一个置换:
f1
E=
<1
234
234;
,C4二
34
23」
<1234
mx=
3
2
1丿,
2
3
4、
叩=
.1
4
3
2J,
「1
2
3
4"
my=
1
3」
4
er=
2
3
4、
V
3
2
1
4」
显然,
8个置换构成的群是&群的一个子群,它与C4、.同构