2、若X服从二项分布B（5000,0.001）,则由泊松定理知P（X≤1）≈。
3、若X服从均值为5的指数分布，则P（X
>
8|X
>
3）=。
4、设N（t）服从参数为2的泊松过程,则P（N
（2）=0）=。
5、设
X的概率密度为
f（x）=10e-10x,x>0,则其分布函数的逆函数
为。
二、选择题：
6、能产生等可能取值为1,2,3,4,5中一个数的MATLAB程序是（）
（A）ceil（5*rand）（B）floor（5*rand）（C）floor（6*rand）（D）randperm（5）7、在MATLAB中,表示二项分布的分布函数的是（）
（A）binopdf（B）binocdf（C）nbinpdf（D）nbincdf8、能产生均值为5的指数随机数的MATLAB程序是（）
（A）-5*ln（rand）（B）-log（rand）/5（C）-5*log（rand）（D）5*log（rand）9、在MATLAB中,表示正态分布的分位数的是（）
（A）normcdf（B）norminv（C）normpdf（D）normrnd10、Z~N（0,1）,则|Z|的方差为（）
2
（A）1（B）
p
三、计算题：
（C）
1-2
p
（D）
1+2
p
11、设U~U（0,1），X的分布函数为F（x）=1-e-x,x>0.证明：
-log（U）
∞
的分布函数也是F（x）.
12、积分I
=⎰-∞
e-x2dx，
（1）利用数值方法给出积分的计算结果；
（2）利用MonteCarlo方法编程计算积分。
13、设X的概率分布为
P（X
=1）=0.3,P（X
=2）=0.5,P（X
=3）=0.2
写出利用舍选抽样法产生随机数的算法步骤和MATLAB程序。
14、设X的概率分布函数为
F（x）=1-exp（-x）,x>0
写出逆变换法产生随机数的算法步骤和MATLAB程序。
15、某工厂近5年来发生了63次事故，按星期几分类如下
星期
一
二
三
四
五
六
次数（Ni）
9
10
11
8
13
12
问：
事故的发生是否与星期几有关？
（注意不用编程，显著性水平=0.10）
n
（附表：
其中2（y）表示自由度为n的2随机变量在点y的分布函数值，
2（1.6667）=0.1069,2（1.6667）=0.0523）
56
16、某计算机机房的一台计算机经常出故障，研究者每隔15分钟观察一次计算
机的运行状态，收集了24个小时的数（共作97次观察），用1表示正常状态，用0表示不正常状态，所得的数据序列如下：
111001*********001111011111100111111111000110110111101101101011110111
0111101111110011011111100111
设Xn为第n（n=1,2,…,97）个时段的计算机状态，可以认为它是一个齐次马氏链，从上数据序列中得到：
96次状态转移情况是：
0→0：
8次；0→1：
18次；1→0：
18次；1→1：
52次。
求
（1）一步转移概率矩阵；
（2）已知计算机在某一时段（15分钟）的状态为0，问在此条件下，从此时段起，该计算机能连续正常工作45分钟（3个时段）的条件概率.
n
17、设X,n0是具有三个状态0，1，2的时齐马氏链，一步转移矩阵为：
3/41/40
P1/4
1/2
1/4，初始分布为P（X0
i）1,i0,1,2
3
3/41/4
求：
（1）
P（X00,X21,X41）；
（2）
P（X21,X41|X00）；
（3）P（X10,X20,X30,X40|X00）.
答案：
一、填空题：
e2-3e-1-5
1、U（e-1）22、6e
二、选择题：
3、e-1
4、e-4
5、-
1ln（1-y）,010
6、A7、B8、C9、B10、C
三、计算题：
11、解：
注意到U与1-U同分布，从而-log（U）与-log（1-U）同分布，设-log（1-U）的分布为F1（u），于是
F1（u）=P（-log（1-U）≤u）=P（U
显然当u≤0时，有F1（u）=0,
≥1-e-u）
当u>0时，有F1（u）=P（U
≥1-e-u）=1-e-u
从而-log（U）的分布函数也是F（x）=1-e-x.
y
12、
（1）解：
令x=，则
2
∞-y211∞1-y2
I=⎰-∞e
dy=
22⎰
e2dy=
（2）令y=
1
1+x
，则dy=
-dx
（1+x）2
=-y2dx，于是
∞
I=2⎰e-x2dx=2⎰1exp（-（1-1））dy
12
00y2y
MATLAB程序如下：
N=5000;y=rand（N,1）;（或y=unifrnd（0,1,N,1））fori=1:
N
Int（i）=2*exp（-（1/y（i）-1）^2）/y（i）^2;end
I=mean（Int）;
13、解：
令Y为取值为1、2、3的离散均匀分布，则概率分布为
1
P（Y
=k）=
k=1,2,3.则c=0.5/（1/3）=1.5
3
X的随机数产生的舍选抽样法算法步骤如下：
STEP1：
产生Y的随机数和均匀随机数U；
STEP2：
若UP（X
Y）/0.5，则令X
=Y；否则返回STEP1。
MATLAB程序如下:
p=（0.3,0.5,0.2）;
Y=floor（3*rand+1）;U=rand;while（U>p（Y）/0.5）
Y=floor（3*rand+1）;U=rand;
endX=Y;
14、解：
令U=1-exp（-x）,
1
可解得x=（-log（1-U）/）
1
因为U与1-U同分布，则x=（-log（U）/）。
算法步骤为：
STEP1：
产生均匀随机数U；
11
STEP2：
令X=（-log（U）/）或（-log（1-U）/），则得到
X的随机数。
MATLAB程序：
alpha=5;beta=3;U=rand;
X=（-log（U）/alpha）^（1/beta）;
15、解：
检验假设为H0:
P（X=i）=pi=6,i=1,2,,6
n=63,使用卡方检验统计量
2=∑
i=1
（Ni-npi）
npi
=∑
i=1
（Ni
-n）2
6
n
6
=1.6667
因2~2（5）,计算得
P（2>1.6667）=1-P（2≤1.6667）=1-0.1069=0.8931，
由P值为0.8931，说明不能拒绝原假设，即不认为发生事故与星期几有关。
16、
（1）一步转移概率可用频率近似地表示为：
P00=P（Xn+1=0|Xn=0）≈88
=8,
+1826
P01=P（Xn+1=0|Xn=1）≈818
=18
+1826
18+5270
P10=P（Xn+1=1|Xn=0）≈18=18,
18+5270
P11=P（Xn+1=1|Xn=1）≈52=52
818
ç
所以一步转移矩阵为：
P18
70
52；
70
（2）某一时段的状态为0，定义为初始状态，即X00，所求概率为：
P（X11,X21,X31|X00）
P（X11|X00）P（X21|X00,X11）P（X31|X00,X11,X21）
P01P11P110.382
17、首先由C-K方程得两步转移矩阵为：
⎡⎤
551
81616
P
（2）
=P2
=⎢513⎥
⎢16216⎥
⎢391⎥
⎣16164⎦
（1）
P{X
=0,X=1,X=1}=p（0）P
（2）P
（2）=1⨯5⨯1
=5
02400111
316296
（2）
P{X
=1,X=1|X=0}=P
（2）P
（2）=5⨯1
=5
2400111
16232
（3）P{X1≠0,X2≠0,X3≠0,X4=0|X0=0}
=PPPP+PPPP
=1⨯1⨯1⨯1+1⨯1⨯3⨯1=7
0111111001122110
42244444256
一、填空题：
1、若随机变量X的概率密度为f（x）=ce-5x,x>0,则X的方差为。
2、若X服从二项分布B（500,0.01）,则由泊松定理知P（X=1）≈。
3、若X服从失效率为0.05的指数分布，则P（X
>
200|X
>
100）=。
4、设N（t）服从参数为0.5的泊松过程,则P（N
（2）>0）=。
1
5、设X的概率密度为
f（x）,xR,则其分布函数的逆函数
（1x2）
为。
二、选择题：
6、能产生等可能取值为1,2,3,4中一个数的MATLAB程序是（）
（A）ceil（5*rand）（B）ceil（4*rand）（C）floor（4*rand）（D）randperm（4）7、在MATLAB中,表示负二项分布的概率密度函数的是（）
（A）binopdf（B）binocdf（C）nbinpdf（D）nbincdf
8、能产生失效率为5的指数分布随机数的MATLAB程序是（）
（A）-5*ln（rand）（B）-log（rand）/5（C）-5*log（rand）（D）5*log（rand）9、在MATLAB中,不可能产生一个均匀分布U（0,1）随机数的是哪个？
（）
（A）unifrnd（0,1）（B）unidrnd（1,1,1）（C）unifrnd（0,1,1）（D）rand
（1）
1⎛12⎫
⎝⎭
10、设时齐Markov链{Xn,n=1,2,},其一步转移概率矩阵为P=3ç21⎪,
则该过程的5步转移概率矩阵为（）
1
ç
（A）35
21
1
135
1
1
ç
（B）35
21
1
135
1
1⎛11⎫
（C）2ç11⎪
（D）
1⎛12⎫
3ç21⎪
ç+
35
135
135
135⎝⎭⎝⎭
三、计算题：
11、设X的分布函数为F（x）=1-e-x,x>0.证明：
F（X）=1-e-X服从区间（0,1）上的均匀分布。
+∞∞-x2+y2
12、
（1）计算概率积分I
=⎰-∞⎰-∞e
2dxdy；
（2）利用MonteCarlo方法编程计算积分I的MATLAB程序。
3x2
13、利用逆变换方法产生概率密度函数f（x）=
推导过程和MATLAB程序。
14、利用舍选抽样法产生概率分布为
-1≤x≤1的随机数,写出
2
X
1
2
3
4
5
6
P
0.15
0.1
0.2
0.15
0.3
0.1
的随机数的算法步骤和MATLAB程序。
n
15、考虑随机变量，其可能取值为1,2,3,4,5，我们检验假设随机变量是等可能取这些值，如果样本大小为50，观测分别为12,5,19,7,7，利用检验方法说明该数据是否来自离散均匀分布。
（附表：
其中2（y）表示自由度为n的2分布在点y的分布函数值，2（12.8）=0.9877,2（12.8）=0.9747））。
45
16、
（1）简述Metropolis准则；
（2）若要产生密度p（x）的随机数，设当前状态为x=（x1,x2,,xn），从1,n
中等可能取一坐标，按分布函数P（X
=x）=P（Xi
=x|Xj
=xj,j≠i）产生随
机数x，则y=（x1,,xi-1,x,xi+1,,xn）为下一个状态，证明：
吉布斯（Gibbs）抽样法的转移概率（x,y）=1；
（3）设随机变量X和Y均在区间（0,B）。
设在Y
=y下X的条件密度为
f（x|y）=C（y）e-xy,0C（x）e-xy,0
答案：
一、填空题：
1、22、5e-5
3、e-5
4、1-e-1
p
5、tan（y）
0y1
2
二、选择题：
6、B
7、C
8、C
9、B
10、A
三、计算题：
11、记Y=F（X）,
当y≤0时，FY（y）=0;当y≥1时，FY（y）=0;
Y
当0=P（X≤-1ln（1-y））=⎰
-1ln（1-y）
e
-xdx=y,（8分）
l
⎧0,
⎪
0
y≤1,
所以FY（y）=⎨y,0故Y=F（X）服从U（0,1）.
⎩
⎪1,y≥1.
12、
（1）令x=rcos,y=rsin,D'={（,r）|0<<2,0∞2
-
r2
∞-r2r2
I=⎰dr⎰e2⋅rdr=2⎰e2d（）=2.
0002
-
x2
⎰0
-
y2
⎰0
11⎰0
-
x2
令y=1,dy=-1dx,dx=-y2dy,x=1-1.
x+1（x+1）2y
Matlab程序为：
N=10000;y=rand（N,1）;
fori=1:
N
I1（i）=exp（-（1/（y（i）-1）^2/2）*y（i）^2;end
I=（mean（I1）^2;
13、当-1≤x≤1时，F（x）=x3t2dt=31t3
-1223-1
11
=1x3+1,
22
1
令F（x）=u,即
Matlab程序：
x3+=u,解得x=（2u-1）3.22
X=（2*rand-1）^（1/3）;
14、取p=P（Y=j）=1,j=1,2,,6,则pX
≤0.3=1.8=c.
6pY
1/6
算法步骤为：
第一步：
产生随机数U1和U2；第二步：
令Y=Int（6U1）;
P（X=Y）
第三步：
若U2≤=
cpY
P（X=Y）0.3
时，令X=Y；否则返回。
Matlab程序：
P=[0.15,0.1,0.2,0.15,0.3,0.1];
Y=floor（6*rand+1）;U=rand;while（U>P（Y）/0.3）Y=floor（6*rand+1）;U=rand;end
X=Y;
15、原假设为：
pi=P（X=i）=5,j=1,2,,5,
n=50.
5（N-np）2
检验统计量为2=∑ii=12.8.
i=1
npi
由于2~2（4）,则P值为P（2>12.8）=1-P（2≤12.8）=0.0123,
因P值很小，应拒绝原假设，即认为数据不是来自离散均匀分布。
16、
（1）设马尔可夫链{xn},n=1,2,,
y是按照某概率原则产生的状态，xn的
下一步状态xn+1以概率接受状态，即xn+1=y；以概率1-保持不变，即
xn+1=xn。
（2）采用H-M算法有
q（x,y）=1P（X=x|X=x,j≠i）=
p（y）,
nijj
nP（X
j=xj,j≠i）
则转移概率为
⎛p（y）q（y,x）⎫
⎛p（y）
p（x）⎫
nP（Xj=xj,j≠i）⎪
（x,y）=minç
1⎪=minç
1⎪
p（y）
⎝p（x）q（x,y）⎭
çp（x）
ç
⎝
nP（X
⎪
⎭
j=xj,j≠i）⎪
=min⎛p（y）p（x）,1⎫=1.（15分）
çp（x）p（y）⎪
⎝⎭
（3）Matlab程序为：
N=10000;B=50;X=zeros（N,1）;Y=zeros（N,1）;
X
（1）=unifrnd（0,B）;Y
（1）=unifrnd（0,B）;fori=2:
N
X（i）=-log（rand）/Y（i-1）;
Y（i）=-log（rand）/X（i）;
end
或
X0=unifrnd（0,B）;Y0=unifrnd（0,B）;X=-log（rand）/Y0;
Y=-log（rand）/X;
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