公务员考试数学应用题精华副本.docx
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公务员考试数学应用题精华副本
数学复习总纲
一、数学运算的大致常考类型
（一） 数字推理
（1）数字性质：
奇偶数，质数合数，同余，特定组合表现的特定含义 。
（2）等差、等比数列,间隔差、间隔比数列。
（3）分组及双数列规律
（4）移动求运算数列
（5）次方数列
（6）周期对称数列
（7）分数与根号数列
（8）裂变数列
（9）四则组合运算数列
（10）图形数列
（二） 数学运算
（1）数理性质基础知识。
（2）代数基础知识。
（3）抛物线及多项式的灵活运用
（4）连续自然数求和和及变式运用
（5）木桶（短板）效应
（6）消去法运用
（7）十字交叉法运用（特殊类型）
（8）最小公倍数法的运用（与剩余定理的关系）
（9）鸡兔同笼运用
（10）容斥原理的运用
（11）抽屉原理运用
（12）排列组合与概率：
（重点含特殊元素的排列组合，插板法已经变式，静止概率以及先【后】验概率）
（13）年龄问题
（14）几何图形求解思路（求阴影部分面积 割补法为主）
（15）方阵方体与队列问题
（16）植树问题（直线和环形）
（17）统筹与优化问题
（18）牛吃草问题
（19）周期与日期问题
（20）页码问题
（21）兑换酒瓶的问题
（22）青蛙跳井（寻找临界点）问题
（23）行程问题（相遇与追击，水流行程，环形追击相遇：
变速行程，曲线（折返，高山，缓行）行程，多次相遇行程，多模型行程对比）
（一）容斥原理
涉及到两个集合的容斥原理的题目相对比较简单，可以按照下面公式代入计算：
含有一的个数+含有二的个数－都含有的个数＝总数－都不含有的个数
【例3】某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都及格的有22人，那么两次考试都没有及格的人数是多少？
A.10 B.4 C.6 D.8
应用公式 26+24-22=32-X X=4
所以答案选B
（二）剪绳问题
一根绳对折N次，从中M刀，被剪成（2^N×M+1）段
【例5】将一根绳子连续对折三次，然后每隔一定长度剪一刀，共剪6刀。
问这样操作后，原来的绳子被剪成了几段？
A.18 B.49 C.42 D.52
2^3*6+1=49
（三）方阵终极公式
假设方阵最外层一边人数为N，则
一、实心方阵人数=N×N
二、最外层人数=（N－1）×4
【例1】某学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人？
A.256 B.250 C.225 D.196
（N-1）4=60 N=16 16*16=256 所以选A
（四）过河问题（临界值问题）
来回数=[（总量-每次渡过去的）/（每次实际渡的）]*2+1
次数=[（总量-每次渡过去的）/（每次实际渡的）]+1
【例1】有37名红军战士渡河，现仅有一只小船，每次只能载5人，需要几次才能渡完？
A.7次 B.8次 C.9次 D.10次
37-1/5-1 所以是9次
【例2】49名探险队员过一条小河，只有一条可乘7人的橡皮船，过一次河需3分钟。
全体队员渡到河对岸需要多少分钟？
（ ）
A.54 B.48 C.45 D.39
【（49-7）/6】2+1=15 15*3=45
【例3】有一只青蛙掉入一口深10米的井中。
每天白天这只青蛙跳上4米晚上又滑下3米，
则这只青蛙经过多少天可以从井中跳出?
A.7 B.8 C.9 D.10
【（10-4）/1】+1=7
【例4】：
一个数是20，现在先加30，再减20，再加30，再减20，反复这样操作，请问至少经过多少次操作结果是500？
【（500－20－30）/10】*2+1=91
【例3】：
小明的爸爸在高山上工作,那里的气温白天和夜晚相差很大,他的手表由于受气温的影响走得不正常,白天快1/2分钟,夜里慢1/3分钟,他10月1日白天（白天一开始的时候：
自己加的）对准时间,问到哪一天手表正好快5分钟?
（ ）
A10月25日 B10月28日 C10月26日 D10.29
【（5-1/2）/（1/2-1/3）】+1=28
（五）盈亏问题
一盈一亏：
（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数
两次盈：
（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数
两次亏：
（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数
一亏，一次刚好：
亏÷（两次每人分配数的差）=人数
一盈，一次刚好：
盈÷（两次每人分配数的差）=人数
例：
“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。
问：
有多少个小朋友和多少个桃子？
”
解（7+9）÷（10-8）=16÷2=8（个）………………人数
10×8-9=80-9=71（个）………………桃子
（六）行程问题模块
1.平均速度问题
V=（2V1V2）/（V1+V2）
【例1】有一货车分别以时速40km和60km往返于两个城市，往返这两个城市一次的平均时速为多少？
A.55km B.50km C.48km D.45km
2*40*60/100=48
2.比例行程问题
路程比＝速度比×时间比，
【例2】 A、B两站之间有一条铁路，甲、乙两列火车分别停在A站和B站，甲火车4分钟走的路程等于乙火车5分钟走的路程，乙火车上午8时整从B站开往A站，开出一段时间后，甲火车从A站出发开往B站，上午9时整两列火车相遇，相遇地点离A、B两站的距离比是15∶16，那么，甲火车在什么时刻从A站出发开往B站。
A.8时12分 B.8时15分 C.8时24分 D.8时30分
速度比是5：
4；路程比是15：
16
所以T1:
T2=3:
4
3.在相遇追及问题中
从队尾到对头的时间=队伍长度/速度差
从对头到队尾的时间=队伍长度/速度和
【例1】红星小学组织学生排成队步行去郊游，每分钟步行60米，队尾的王老师以每分钟步行150米的速度赶到排头，然后立即返回队尾，共用10分钟。
求队伍的长度？
（ ）
A.630米 B.750米 C.900米 D.1500米
X/90+X/210=10 X=630
【例2】某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，整列火车完全在桥上的时间80秒，则火车速度是？
A.10米/秒 B.10.7米/秒 C.12.5米/秒 D.500米/分
列车完全在桥上的时间=（桥长-车长）/列车速度
列车从开始上桥到完全下桥所用的时间=（桥长+车长）/列车速度
（七）临界点类型算数问题
【例4】：
机场上停着10架飞机，第一架起飞后，每隔4分钟就有一架飞机接着起飞，而在第一架飞机起飞后2分钟，又有一架飞机在机场上降落，以后每隔6分钟就有一架飞机在机场上降落，降落在飞机场上的飞机，又依次隔4分钟在原10架之后起飞。
那么，从第一架飞机起飞之后，经过多少分钟，机场上第一次没有飞机停留？
A104 B108 C112 D116
假设是N分钟剩下一架飞机！
（为什么不假设零架？
）
N/4+1=（N-2）/6+1+（10-1）
为什么两边都＋1那是因为这是植树问题。
从0分钟开始计算的所以要多加1次
解得N＝104分钟
所以我们知道104分钟的时候是临界点飞机场只有1架飞机没有起飞。
当108分钟的时候，飞机起飞了。
而下一架飞机到机场则是在110分钟的时候，
所以从108～110这段时间是机场首次出现没有飞机的现象！
答案应该选B
（为什么104-108之间没有飞机降落？
）
（列举法）
（八）比例法中变量守恒与变化
（一） 变量变化之比例
这部分大家可以参考上面链接的习题常识去掌握这部分的题目
（二） 变量守恒之比例
通过对某个变量恒定的把握，通过这个恒量在整个比例中所得的比例点的不同参照物下的变化来反向了解整体变化或者是与之相关联的变量变化的情况。
【例1】一个袋子里放着各种颜色的小球，其中红球占四分之一，后来又往袋子里放了10个红球，这时红球占总数的三分之二，问原来袋子里有多少小球？
A8 B12 C16 D20
这个题目中，我们可以直接看出不变的部分是除红色小球以外的部分，我们称之为非红色部分
小球个数＝红色＋非红色
刚开始 非红色：
整体＝3：
4＝3：
4
添加后非红色：
整体＝1：
3＝3：
9
我们发现，整体的比例值发生了变化，变化了9－4＝5个比例点对应的就是10个小球，所以每个比例点是2个小球 ，则答案应该是2×4＝8个小球
【例2】某校六年级有甲,乙两个班,甲班学生人数是乙班的5/7,如果从乙班调3人到甲班,甲班人数是乙班的4/5,则乙班原有学生多少人?
A.49 B.63 C.72 D.84
这个题目的恒量是甲乙两个班级的总人数，我们发现题目所有的变动只是内部活动，没有外界的加入和整体的流失，所以总人数就是一个恒定量。
开始的时候 乙班人数：
总人数＝7：
12＝21：
36
从乙班调3人后乙班人数：
总人数＝5：
9＝20：
36
【例3】有银铜合金10公斤，加入铜后，其中含银2份，含铜3份。
如加入的铜增加1倍，那么银占3份，铜占7份，试问初次加入的铜是多少公斤？
A3 B4 C5 D6
此题的恒量我们可以看得出来是银，
最初的一次 银：
铜＝2：
3＝6：
9
再次加入铜后，银：
铜＝3：
7＝6：
14
我们发现铜增加了14－9＝5个比例点 那么增加的部分很容易就可以从选项里面看到5这个答案了
如果要具体求值再继续思考
我们知道 2次增加的铜是一样多。
那么回归到10公斤的时候 铜应该是9－5＝4个比例点 4＋6＝10 每个比例点就是1公斤
自然我们就知道准确的值就是5公斤了
（看不懂，可列方程）
（九）取最傎问题
【例1】五个人的体重之和是423斤,他们的体重都是整数,并且各不相同.则体重最轻的人,最重可能是（）斤。
A.80 B.82 C.84 D.86
我们能够知道的就是5个人的总重量是固定的，还有就是他们的体重都是整数，且各不相同，注意看提问“体重最轻的人最重是多少？
”
首先你这样想，因为体重各不相同，肯定有人最轻，但是我们要想办法让他轻也要尽可能的重些。
所以我们直接考虑连续自然数 423/5=84 ，余数是3 中间重量是84斤，那么这个连续自然数就是82，83，84，85，86
那多余的3斤怎么办，很简单，我们把这3斤分配给最重的3人其中的一个或者2个人都可以。
因为这对轻者的体重无影响。
如果分配给轻者，那么就会出现体重轻的人加上1～3斤的时候和后面的某一个人的体重重复，所以我们只要看连续自然数最小的一个自然数即可【例2】现有鲜花21朵分给5人，若每个人分得的鲜花数目各不相同，则分得鲜花最多的人至少分得（）朵鲜花。
A.7 B.8 C、9 D.10
只有连续自然数才能让少的人尽可能多，多的人尽可能少，所以21/5=4 ，余数是1 ，注意这里余数是必须要考虑的，答案就是6＋1＝7
份数
（120为例）
平均数
最小值最大
最大值最小
参照数
参照数
奇数
5
24
24
24-（5-1）/2
24
24+（5-1）/2
7
17.1
17
17-（7-1）/2
18
18+（7-1）/2
11
10.9
10
10-（11-1）/2
11
11+（11-1）/2
偶数
6
20
20
20-6/2
20
20+6/2
22
5.45
5
5-22/2
5
5+22/2
16
7.5
8
8-16/2
7
7+16/2
14
8.6
9
9-14/2
9
9+14/2
（十）浅谈mn/（m+n）公式的由来（盐水交换问题）
有甲乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐水重１２０克，乙杯盐水重８０克．现在从两杯倒出等量的盐水，分别交换倒入两杯中．这样两杯新盐水的含盐率相同．从每杯中倒出的盐水是多少克？
公式：
mn/（m+n）=120*80/（120＋80）＝48
公式的由来是通过2个十字交叉法得到的
你假设交换的部分是a克盐水
假设120克的盐水浓度是P1，80克的盐水浓度是P2， 交换混合后相同的浓度是P
那么对于120克的盐水来讲建立十字交叉法
120－a（P1） P－P2
P
a（P2） P1－P
我们得到
（120－a）：
a＝（P－P2）：
（P1－P）
那么对于80克的盐水来讲建立十字交叉法
80－a（P2） P1－P
P
a（P1） P－P2
我们得到
（80－a）：
a＝（P1－P）：
（P－P2）
根据这2个比例的右边部分我们可以得到
（120－a）：
a＝a：
（80－a）
化简得到 a＝120×80/（120+80） 说明跟各自的浓度无关！
补充方法：
因为2种溶液的混合浓度相等。
其实可以看作是先将2种溶液直接混合，在按照比例分开成2部分。
所以我们假设交换了a克
a克相对于120克的溶液剩下部分的比例也就是满足浓度之间的差值比例 跟原始的参照质量也是同一比例。
（120－a）/a=120/80 a=48克
或者
（80－a）/a=80/120 a=48克
1.【周末练习】4道经典习题（已公布解析DONE）
习题一：
.1到500这500个数字最多可取出多少个数字保证其取出的任意三个数字之和不是7的倍数。
--------------------------------------------
【天字一号解析】
每7个数字1组，余数都是1，2，3，4，5，6，0，要使得三个数字之和不是7的倍数，那么其余数之和就不是7的倍数。
我们应该挑选0，1，2，或者0，5，6
因为7/3=2也就是说最大的数字不能超过2 ，例如如果是1，2，3 那么我们可以取3，3，1这样的余数，其和就是7
500/7=71余数是3，且剩下的3个数字余数是1，2，3
要得去得最多，那么我们取0，1，2比较合适 因为最后剩下的是1，2，3所以这样就多取了2个
但是还需注意0不能取超过2个如果超过2个是3个以上的话 3个0就可以构成7的倍数 0也能被7整除
所以答案是71个1，2 和剩下的一组1，2 外加2个0
71×2＋2＋2＝146
习题二：
将50个苹果分成相同的3堆，每堆至少1个，有多少种分法？
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【天字一号解析】
这个题目我们可以先将其看作插孔法来研究
那么就是C49取2＝1176 事实上插孔法是针对的不同组不同分类的情况来做的，这里是相同的堆。
所以计算重复了
我们按照三个堆各不相同为标准 恢复到这个状态来做。
我们少算了多少个
1，1，48
2，2，46，
3，3，44
4，4，42
.。
。
。
。
。
50/2=25
所以直到
24，24，2
这样的情况少算了 P33-P33/P22=3次
所以一共少算了 24×3＝72
按照标准情况来看应该是1176＋72＝1248种
所以我们每组都需要扣除6种情况变为1种 因为不区分组
所以答案是
1248/P33=208种
习题三：
1～1998，有多少个数字其各个位置上的数字之和能被4整除？
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【天字一号解析】
差不多每个4个数字都可以满足题目的条件
我距离每40个数字1组就是一个周期
例如：
12不行13可以，20不行22可以，32不行35可以。
40～50之间都满足。
这就是一个周期
所以我们看最后一个倍数是多少
1996这是最后一个4的倍数1＋9＋9＋6＝25 不行还差3个 应该是1999补上它
所以答案是1996/4=499 但是1999不含在其中所以答案是499－1＝498
习题四：
有一批长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10和11厘米的细木条，它们的数量都足够多，从中适当选取3根本条作为三条边，可围成一个三角形。
如果规定底边是11厘米长，你能围成多少个不同的三角形？
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【天字一号解析】
看看这个题目你就觉得简单了
1、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（C ）
（A）25个 （B）26个 （C）36个 （D）37个
【解析】
根据三角形边的原理两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
可见最大的边是11
则两外两边之和不能超过22因为当三边都为11时是两边之和最大的时候
因此我们以一条边的长度开始分析
如果为11，则另外一个边的长度是11，10，9，8，7，6，。
。
。
。
。
。
1
如果为10 则另外一个边的长度是10，9，8。
。
。
。
。
。
2，
（不能为1否则两者之和会小于11，不能为11，因为第一种情况包含了11，10的组合）
如果为9 则另外一个边的长度是9，8，7，。
。
。
。
。
。
。
3
（理由同上，可见规律出现）
规律出现总数是11＋9＋7＋。
。
。
。
1＝（1＋11）×6÷2＝36
2.【分享】关于相遇问题和追击问题的综合题目的分析
一条街上，一个骑车人和一个步行人相向而行，骑车人的速度是步行人的3倍，每个隔10分钟有一辆公交车超过一个行人。
每个隔20分钟有一辆公交车超过一个骑车人，如果公交车从始发站每隔相同的时间发一辆车，那么间隔几分钟发一辆公交车？
A 10 B 8 C 6 D 4
----------------------------------------------------------
我们知道这个题目出现了2个情况，就是
（1）汽车与骑自行车的人的追击问题，
（2）汽车与行人的追击问题
追击问题中的一个显著的公式就是 路程差＝速度差×时间
我们知道这里的2个追击情况的路程差都是汽车的间隔发车距离。
是相等的。
因为我们要求的是关于时间所以可以将汽车的间隔距离看作单位1.
那么根据追击公式
（1） （V汽车－V步行）=1/10
（2） （V汽车－3V步行）=1/20
（1）×3－
（2）=2V汽车＝3/10-1/20 很快速的就能解得V汽车＝1/8 答案显而易见是8
再看一个例题：
小明在商场的一楼要乘扶梯到二楼。
扶梯方向向上，小芳则从二楼到一楼。
已知小明的速度是小芳的2倍。
小明用了2分钟到达二楼，小芳用了8分钟到达一楼。
如果我们把一个箱子放在一楼的第一个阶梯上问多长时间可以到达二楼？
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
跟上面一题一样。
这个题目也是2个行程问题的比较
（1）小明跟扶梯之间是方向相同
（1） （V小明＋V扶梯）=1/2
（2）小芳跟扶梯的方向相反
（2） （V小芳－V扶梯）=1/8
（1）-2×
（2）=3V扶梯＝1/4 可见扶梯速度是1/12 答案就显而易见了。
总结：
在多个行程问题模型存在的时候。
我们利用其速度差，速度和的关系将未知的变量抵消。
可以很轻松的一步求得结果！
习题：
1、电扶梯由下往上匀速行驶.男孩以每秒2个梯级的速度沿电扶梯往上走,40秒种可达电扶梯顶部.一女孩以每2秒3个梯级的速度往上走,50秒可以达到顶部.则静止时电扶梯的梯级数为（ ）
A 80 B 75 C 100 D 1202、
2、某人沿电车线路行走,每12分钟有一辆电车从后面追上,每4分钟有一辆电车迎面而来.2个起点站的发车间隔相同,那么这个间隔是多少?
?
?
?
3.【分享】“牛吃草”的问题的模式化解题方式总结
“牛吃草”的问题主要抓住草每天的增长速度这个变量。
至于其原本有多少？
不是我们关心的内容，为什么这么说，因为在我们计算的时候，实际上是根据差值求草长速度，那么原有的草量都是一样，有些题目可能面积不一样，但是每亩地的原始草量确实一样的。
！
废话少说，就下面2个题目来讨论一下：
1．一片牧草，可供16头牛吃20天，也可以供80只羊吃12天，如果每头牛每天吃草量等于每天4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃这一片草，几天可以吃完？
（）
A.10B.8C.6D.4
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
我们先要确定一个单位，即一头牛每天吃的草量为1个标准单位，或者叫做参照单位
因为此题中出现了牛和羊，这两个吃草效率不等，转化一下
4羊＝1牛。
看题目
（1）“一片牧草，可供16头牛吃20天”
说明这片牧草吃了20天即原有的草和20天长出来的草共计是20×16＝320个单位
（2）“也可以供80只羊吃12天”相当于“20头牛吃12天”
说明这片牧草吃了12天即原来的草和12天长出来的草共计是12×20＝240个单位
两者相减320－240＝80就是多出的8天所长的草量即每天草长速度是80÷8＝10个单位
现在是“10头牛与60只羊一起吃这一片草”相当于“10＋60÷4＝25头牛吃草”
牛多了，自然吃的天数就少了
我们还是可以根据上面的方法，挑选
（1）或者
（2）来做比较。
就挑选
（1）
320－25a＝（20－a）×10
这个等式，a表示我们要求的结果即可解得a＝8天。
3．22头牛吃33公亩牧场的草，54天可以吃尽，17头牛吃同样牧场28公亩的草，84天可以吃尽。
请问几头牛吃同样牧场40公亩的草，24天吃尽？
（）
A.50B.46C.38D.35
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
再看这个有面积的题目
其实道理是一样的。
我们只要将不同的转化为相同的，面积不一样，但是没公亩的原有量和每天每亩草长的量是相同的。
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