C.a
[总结反思]
(1)函数值的大小比较问题,可以利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,再利用其单调性比较大小;
(2)对于抽象函数不等式的求解,应变形为f(x1)>f(x2)的形式,再结合单调性脱去法则“f”变成常规不等式,如x1x2)求解.
微点2 奇偶性与周期性的结合
例6
(1)[2018·全国卷Ⅱ]已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f
(1)=2,则f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(50)=( )
A.-50B.0
C.2D.50
(2)[2018·南昌二模]已知定义在R上的函数f(x)满足对任意实数x,都有f(x+3)=f(x-3),f(-x)=f(x),且x∈[-3,0]时,f(x)=lo
(6+x),则f(2018)的值为( )
A.-3B.-2
C.2D.3
[总结反思]周期性与奇偶性相结合的问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性将所求函数值转化为已知函数解析式的区间上的函数值.
微点3 奇偶性、周期性与单调性的结合
例7
(1)[2018·泉州5月质检]已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=-f(x),且在[0,2]上单调递减,则( )
A.f(8)B.f(11)C.f(15)D.f(15)(2)设函数f(x)是以2为周期的奇函数,当x∈(0,1)时,f(x)=2x,则f(x)在(2017,2018)上是( )
A.增函数,且f(x)>0
B.减函数,且f(x)<0
C.增函数,且f(x)<0
D.减函数,且f(x)>0
[总结反思]解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题,通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.
应用演练
1.【微点1】[2018·衡水中学月考]下列函数中,与函数y=-3|x|的奇偶性相同,且在(-∞,0)上的单调性也相同的是( )
A.y=1-x2B.y=log2|x|
C.y=-
D.y=x3-1
2.【微点2】已知f(x)为定义在R上且周期为2的奇函数,当-1≤x<0时,f(x)=x(ax+1),若f
=-1,则a=( )
A.6B.4
C.-
D.-6
3.【微点1】[2019·长春实验中学检测]已知定义域为R的偶函数f(x)在(-∞,0]上是减函数,且f
(1)=2,则不等式f(log2x)>2的解集为( )
A.(2,+∞)B.
∪(2,+∞)
C.
∪(
+∞)D.(
+∞)
4.【微点3】[2018·天津9校联考]已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=2x-1.设a=ln
b=
c=
则( )
A.f(a)C.f(b)5.【微点2】若f(x)是周期为2的奇函数,当x∈(0,1)时,f(x)=x2-8x+30,则f(
)= .
第6讲 函数的奇偶性与周期性
考试说明1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.
2.会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性.
3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.
【课前双基巩固】
知识聚焦
1.f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) y轴 原点
2.f(x+T)=f(x) 最小的正数 最小正数
对点演练
1.2 [解析]f(x)=x2-1和f(x)=x2+cosx为偶函数.
2.减 减 [解析]根据奇偶函数图像的对称性可得.
3.1-
[解析]f(-2)=-f
(2)=-(
-1)=1-
.
4.1 [解析]因为f(x+3)=f(x),所以f(x)是以3为周期的周期函数,所以f(2019)=f(673×3)=f(0)=log4(02+4)=1.
5.奇 [解析]由
得-1∴f(x)=
=
∴f(-x)=
=-f(x),∴f(x)是奇函数.
6.x=a (b,0) [解析]因为y=f(x+a)是偶函数,所以其图像关于y轴对称,将y=f(x+a)的图像向左(a<0)或向右(a>0)平移|a|个单位长度,得到函数y=f(x)的图像,则y=f(x+a)图像的对称轴平移至直线x=a处,即函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称.同理,函数y=g(x)的图像关于点(b,0)成中心对称.
7.2 [解析]∵f(x)=-f
∴f(x+3)=f
=-f
=f(x),∴f(2018)=f(3×672+2)=f
(2)=2.
8.
[解析]设x<0,则-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)-3]=x+3(x<0).由奇函数的定义可知f(0)=0,
所以f(x)=
【课堂考点探究】
例1 [思路点拨]
(1)考虑f(x)=f(-x)或f(-x)=-f(x)成立时,a,b的取值情况;
(2)根据函数奇偶性的定义进行判断.
(1)D
(2)D [解析]
(1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.由f(x)=
+b=
得f(-x)=
+b=
.若f(x)=f(-x)成立,则b=b-2,舍去;若f(-x)=-f(x)成立,则b-2=-b,解得b=1,此时函数为奇函数;若b≠1,则函数为非奇非偶函数.所以函数f(x)的奇偶性与b有关,与a无关.
(2)对于①,定义域为(-1,1],所以函数不具有奇偶性;对于②,定义域为R,且f(-x)=log3(
-x)=log3
=-log3(
+x)=-f(x),所以函数为奇函数;对于③,当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-1=-(-x2+1)=-f(x),同理当x<0时,-x>0,则f(-x)=-x2+1=-(x2-1)=-f(x),所以函数为奇函数;对于④,定义域为R,f(-x)=(-x)2+cos(-x)=f(x),函数为偶函数.所以选D.
例2 [思路点拨]
(1)观察函数结构,可整理成一个奇函数及一个常数的和的形式,根据奇函数的最大值与最小值的和为0求解;
(2)奇函数的定义域中若有0,则f(0)=0,求出m,再根据奇函数的定义求值.
(1)C
(2)-7 [解析]
(1)令x-1=t,则f(t)=
=3-
t∈[-4,4],
∴y=f(t)-3是奇函数,
则f(t)min-3+f(t)max-3=0,即f(t)min+f(t)max=6,
∴函数f(x)在区间[-3,5]上的最大值、最小值之和为6,
即p+q=6,故选C.
(2)函数f(x)为R上的奇函数,则f(0)=0,即20+m=0,所以m=-1,当x≥0时,f(x)=2x-1,
所以f(-3)=-f(3)=-(23-1)=-7.
例3 [思路点拨]
(1)由函数y=f(x+2)为偶函数可知函数f(x)的图像关于直线x=2对称,再结合单调性比较大小;
(2)根据函数图像的平移关系得到函数g(x)的单调递增区间,根据偶函数的单调性解不等式即可得到结论.
(1)D
(2)(0,2) [解析]
(1)函数y=f(x+2)为偶函数,将函数y=f(x+2)的图像向右平移2个单位长度得到函数y=f(x)的图像,所以y=f(x)的图像关于直线x=2对称,则函数f(x)在(-∞,2)上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(0)>f
(1),f(0)>f
(2),f
(1)>f
(2)都成立,f
(1)>f(3)不成立.故选D.
(2)f(x)在[1,+∞)上为增函数,
将f(x)的图像向左平移1个单位长度得到f(x+1)的图像,则f(x+1)在[0,+∞)上为增函数,
即g(x)在[0,+∞)上为增函数,
且g
(2)=f(2+1)=f(3)=0.
不等式g(2-2x)<0等价为g(2-2x)(2),
∵g(x)=f(x+1)为偶函数,
∴|2-2x|<2,得0即不等式的解集为(0,2).
应用演练
1.C [解析]对于A,f(-x)=(-x)2sin(-x)=-x2sinx,是奇函数;
对于B,是非奇非偶函数;
对于C,f(-x)=
=
是偶函数;
对于D,是非奇非偶函数.故选C.
2.C [解析]f(x)=ax+λa-x,f(-x)=a-x+λax.
当λ=1时,f(x)=f(-x),f(x)为偶函数;
当λ=-1时,f(x)=-f(-x),f(x)为奇函数;
当λ≠1且λ≠-1时,f(x)既不是奇函数又不是偶函数.
故选C.
3.D [解析]函数f(x+2)的图像是由f(x)的图像向左平移2个单位长度后得到的,而f(x+2)的图像关于直线x=-2对称,故f(x)的图像关于y轴对称,即f(x)为偶函数,所以f(x-2)≤1即为f(x-2)≤f(-2)=f
(2),又函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以|x-2|≤2,得-2≤x-2≤2,解得0≤x≤4.
4.-x2+6 [解析]当x>0时,-x<0,∴f(-x)=(-x)2-6,∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴-f(x)=f(-x)=x2-6,故f(x)=-x2+6,x>0.
5.-1 [解析]由偶函数的定义得到kx+log3(1+9x)=-kx+log3(1+9-x),即2kx=log3
=-2x,即(2k+2)x=0恒成立,所以k=-1.
例4 [思路点拨]
(1)由题知函数f(x)的周期为2π,利用周期性将所求函数值转化到已知定义区间求解;
(2)由条件可得出函数的周期为2,利用f(-1)=f
(1)求出a,再求f(2017)+f(2018)的值.
(1)C
(2)C [解析]
(1)由f(x+2π)=f(x)可知函数f(x)的周期为2π,所以f
=f
=f
又当x∈(0,π)时,f(x)=2sin
所以f
=2sin
=1,故选C.
(2)由f(x+1)=f(x-1)可知f(x)是周期为2的函数,故f(-1)=f
(1),代入解析式,得-a+2=(a-2)e,解得a=2,从而f(x)=
故f(2017)+f(2018)=f
(1)+f(0)=0+2=2,故选C.
变式题 1 [解析]∵定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=
∴f(x+4)=
=f(x),∴函数f(x)的周期为4.
当x∈[0,2)时,f(x)=x+ex,
∴f(2018)=f(504×4+2)=f
(2)=
=
=1.
例5 [思路点拨]
(1)将-1≤f(x-2)≤1转化为f
(1)≤f(x-2)≤f(-1),利用函数单调递减转化为常规不等式求解;
(2)根据f(x)为偶函数可求出m=0,从而可知函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,然后比较自变量的值,再根据f(x)的单调性即可比较出a,b,c的大小.
(1)D
(2)C [解析]
(1)因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=1,不等式-1≤f(x-2)≤1,即f
(1)≤f(x-2)≤f(-1),因为f(x)单调递减,所以-1≤x-2≤1,解得1≤x≤3,故x的取值范围为[1,3].
(2)∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),
∴
-1=
-1,∴|-x-m|=|x-m|,即(-x-m)2=(x-m)2,∴mx=0,∴m=0,∴f(x)=
-1,∴f(x)在[0,+∞)上单调递减.又a=f(log0.52)=f(|log0.52|)=f(log22)=f
(1),b=f(log21.5),c=f(0),
且0例6 [思路点拨]
(1)先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期,再根据周期以及对应函数值求结果;
(2)根据题中条件得到函数的周期性和奇偶性,从而得到f(2018)=f
(2),再由f
(2)=f(-2)得到结果.
(1)C
(2)B [解析]
(1)因为f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,所以f(-x)=-f(x)①,且f(0)=0.而f(1-x)=f(1+x),所以f(-x)=f(2+x)②,由①②可得f(x+2)=-f(x),则有f(x+4)=f(x),所以函数f(x)的周期为4.由f
(1)=2,得f(-1)=-2,于是有f
(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0,所以f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(50)=12×[f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=12×0+f
(1)+f
(2)=2+0=2.
(2)对任意实数x都有f(x+3)=f(x-3),可得到函数的周期是6,又f(-x)=f(x),即函数为偶函数,则f(2018)=f
(2)=f(-2)=lo
(6-2)=-2.
例7 [思路点拨]
(1)根据奇偶性与周期性将自变量转化到同一个单调区间上,再借助函数的单调性,由自变量的大小关系得到函数值的大小关系;
(2)根据函数奇偶性、单调性和周期性进行转化,即可得到结论.
(1)B
(2)C [解析]
(1)根据题中所给的条件f(x+4)=-f(x),可知函数f(x)是以8为周期的周期函数.
因为f(x)在[0,2]上单调递减,所以奇函数f(x)在[-2,2]上是减函数,
又f(15)=f(-1),f(8)=f(0),f(11)=f(3)=f(-1+4)=-f(-1)=f
(1),
且满足-1<0<1,所以f(-1)>f(0)>f
(1),
所以f(11)(2)∵函数f(x)的周期是2,
∴函数f(x)在(2017,2018)上的单调性和在(-1,0)上的单调性相同.
∵当x∈(0,1)时,f(x)=2x为增函数,且函数f(x)为奇函数,
∴当x∈(-1,0)时,f(x)为增函数,
又当x∈(0,1)时,f(x)=2x>0,
∴当x∈(-1,0)