初中数学山西省太原市初中数学中考知识点聚焦23份 人教版13.docx
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初中数学山西省太原市初中数学中考知识点聚焦23份人教版13
专题七图形与证明
第十七章图形的全等与相似
考
情
分
析
高频考点
考查频率
所占分值
1.命题
★
6～9分
2.全等三角形的判定和性质
★★★
3.角平分线的性质定理及逆定理
★
4.线段垂直平分线的性质定理及逆定理
★★
5.等腰三角形中“三线合一”及“等边对等角”
★★
6.等边三角形的性质
★
7.平行线分线段成比例
★
8.相似三角形的判定和性质
★★★
知能图谱
第38讲 命题与证明
知识能力解读
知能解读
（一）命题的概念及组成
（1）命题：
判断一件事情的语句叫作命题。
（2）命题的组成：
命题由题设和结论两部分组成。
题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
命题常写成“如果……那么……”的形式，“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论。
注意
（1）命题必须是一个完整的句子，是对某一件事情作出正确或不正确的判断。
（2）如果命题的题设和结论不那么明确，我们可以先把它改写成“如果……那么……”的形式，再找题设和结论。
知能解读
（二）真命题与假命题
1真命题
如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫作真命题。
2假命题
题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫作假命题。
注意
要判断一个命题是假命题，只需举一个反例，即举一个例子具备命题的题设，而不具备命题的结论即可。
知能解读（三）基本事实与定理
1基本事实
如果—个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫基本事实。
例如：
“经过两点，有且只有一条直线”“两点之间线段最短”等。
2定理
命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫作定理。
定理可以作为继续推理的依据。
知能解读（四）定义、基本事实、定理、命题之间的区别和联系
（1）联系：
这四者都是命题。
（2）区别：
定义、基本事实、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过基本事实是最原始的依据，而命题不一定是真命题，因而它不能作为进一步判断其他命题真假的依据。
知能解读（五）互逆命题与互逆定理
（1）互逆命题：
在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫互逆命题。
如果把其中一个命题叫原命题，那么另一个命题就叫它的逆命题。
（2）互逆定理：
如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理，其中—个定理叫作另—个定理的逆定理。
注意
每个命题都有逆命题，但每个定理不一定都有逆定理，只有当定理的逆命题也是真命题时，这个定理才有逆定理。
知能解读（六）证明的含义及证明的一般步骤
（1）定义：
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫作证明。
（2）证明的一般步骤：
①仔细读题，领会题意，分清命题的题设和结论；
②根据题意，画出正确的图形，并在图上标注字母和符号；
③根据题设、结论，结合图形，用符号语言写出“已知”“求证”；
④缝过分析，探求解题的途径，书写出推理过程，并注明依据。
知能解读（七）几种证明题的思维方法（拓展）
1直接证法
（1）综合法：
从已知条件入手，运用已学过的基本事实、定义、定理等进行一步步的推理，一直推到结论为止，这种思维方法叫综合法。
它是从已知到可知，从可知到未知的思维过程。
（2）分析法：
所谓分析法，就是从问题的结论入手，运用已学过的基本事实、定义和定理，一步步寻找使结论成立的条件，一直“追”到这个结论成立的条件就是已知条件为止。
可见分析法是执果索因的思维过程，它与综合法的思维方向相反。
（3）分析综合法：
把分析法和综合法“联合”起来，从问题的两头向中间“靠拢”，从而发现解决问题的突破口，这种思维方法叫分析综合法。
对于比较复杂的题目，往往采用这种思维方法。
2间接证法
（1）反证法：
先假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫作反证法。
用反证法证明的一般步骤：
①假设命题的结论不成立；
②由假设推导出矛盾（与基本事实、定理、定义、已知条件等矛盾）；
③由矛盾判定所作假设不成立，从而肯定原命题的结论成立。
（2）反例法：
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了。
方法技巧归纳
方法技巧
（一）命题的识别法
判断语句是否为命题要抓住两条：
（1）命题必须是一个完整的带有判断性语气的句子，通常是陈述句（包括肯定句和否定句），而疑问句和命令性语句都不是命题；
（2）命题必须对某件事作出肯定或者否定的判断。
注意
只有对一件事情作出肯定或否定判断的语句，才是命题。
如果一个句子既没有肯定什么，也没有否定什么，那么它一定不是命题。
方法技巧
（二）命题的题设与结论的识别法
如果是用“如果……那么……”的形式表示的命题，那么以“如果”开始的部分是题设，以“那么”开始的部分是结论；如果不是用“如果……那么……”的形式表示的命题，那么一般先将其改写成“如果……那么……”的形式，再找题设和结论。
点拨
准确地把命题改写为“如果……那么……”的形式，对找命题的题设与结论有很大帮助。
方法技巧（三）识别真、假命题的方法
首先应掌握一些公式、性质、判定等，这些都是真命题，另外有些命题要通过分析判断真假。
要证明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可。
点拨
举反例是说明命题是假命题的重要方法。
方法技巧（四）找一个命题的逆命题的方法
首先找出原命题的题设与结论，然后把题设与结论互换就可以找到其逆命题。
点拨
一个命题一定有逆命题，但当原命题是真命题时，其逆命题不一定是真命题。
方法技巧（五）用反证法证明命题的方法
反证法一般从结论的反面出发，先假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，从而肯定原结论正确。
易混易错辨析
易混易错知识
1.逆命题与逆定理。
区别：
所有的命题都有逆命题，当然真命题也不例外，但由于真命题的逆命题不一定是真命题，因此不是所有的定理都有逆定理。
2.反证法与举反例。
区别：
反证法是从结论的反面证明命题正确的方法，而举反例是说明命题为假命题的方法。
易混易错
（一）命题的题设与结论区分不准确致错
易混易错
（二）用反证法证题时，结论反面找错
中考试题研究
中考命题规律
证明题是中考中必不可少的部分，占分较多，涉及直线、三角形、四边形、圆等各章知识，题型有说理题、探究开放题等，对于命题、概念的考查主要以填空题、选择题为主。
中考试题
（一）反证法的应用
中考试题
（二）真、假命题的判断
第39讲全等三角形
知能解读
（一）全等形
能够完全重合的两个图形叫作全等形。
知能解读
（二）全等三角形
1全等三角形的概念及表示方法
（1）概念：
能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角。
（2）全等三角形的符号表示、读法：
与
全等，记作
，“
”读作“全等于”。
注意
（1）记两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上。
（2）找全等三角形对应边、对应角的几种常用方法：
①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边。
②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。
③有公共边的，公共边是对应边。
④有公共角的，公共角是对应角。
⑤有对顶角的，对顶角是对应角。
⑥两个全等三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）。
⑦由全等三角形的表示方法确定对应边和对应角，如：
若
，则AB和DE，AC和DF，BC和EF分别是对应边；
和
，
和
，
和
分别是对应角。
2全等三角形的性质
（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。
（2）全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等。
（3）全等三角形的周长相等，面积相等。
3三角形全等的判定方法
（1）三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS"（基本事实）；
（2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS’（基本事实）；
（3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA'’（基本事实）；
（4）两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS"；
（5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。
注意
“SSA”“AAA'’不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与。
非直角三角形中，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。
4三角形全等的证题思路
（1）
（2）
（3）
5全等变换（拓展）
一个图形与另一个图形的形状一样，大小相等，只是位置不同，我们称这个图形是另一个图形的全等变换。
三种基本全等变换：
（1）旋转；
（2）翻转；（3）平移。
知能解读（三）角平分线的性质定理及逆定理
（1）性质定理：
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
注意
（1）定理作用：
①证明线段相等；②为证明三角形全等准备条件。
（2）如图所示，点P在
的平分线上，
于点D，
于点E，则
。
（3）性质定理中的“距离”是指点到射线的距离，是垂线段的长度。
（2）性质定理的逆定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
注意
如图1-39-1所示，
，
，根据“HL”得
，
，
是
的平分线。
（3）三角形的三个内角的平分线交于一点，此点到三角形三边的距离相。
方法技巧归纳
方法技巧
（一）利用全等三角形的性质求线段长或角的度数的方法
解答这类问题时，一般先根据全等三角形的对应边（或角）相等，找出相等的边（或角），然后利用边（或角）的和差关系以及三角形内角和定理等求出所求的边（或角）。
方法技巧
（二）三角形全等的判定、性质与角平分线判定定理的综合应用
在解决三角形中边或角的问题时，可结合已知条件和隐含条件，看是否能通过三角形的全等来解决，同时选择合适的判定方法。
点拨
如果一个点到角的两边的距离相等，且点在角的内部，那么这个点在这个角的平分线上。
方法技巧（三）利用三角形全等解决实际问题
首先将实际问题转化为全等三角形问题，然后利用全等三角形的判定和性质解决问题。
点拨
利用全等三角形的性质解决实际问题，关键是正确建立全等三角形模型。
易混易错辨析
易混易错知识
混淆“HL”与“SSA”。
一般的两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA”条件时，它们并不全等，但当其中的“A”是直角时，这两个直角三角形就是全等的，这就是判定两个直角三角形全等特有的“HL'’定理。
易混易错
（一）错用两边及一角对应相等说明三角形全等
易混易错
（二）利用角平分线的性质定理时，混淆“点与点”与“点与线”之间的距离致错
中考试题研究
中考命题规律
运用三角形全等的性质和判定进行有关的计算和推理，运用三角形全等的知识解决一些实际问题都是中考重点考查的内容。
另外本讲知识还常与四边形、圆等构成综合题，考查综合运用知识解决问题的能力。
近几年添加的有关全等的条件或结论的开放性问题也成为中考的热点，题型有选择题、填空题、解答题。
中考试题
（一）添加全等的条件
中考试题
（二）利用三角形全等的判定和性质进行证明
中考试题（三）综合运用全等三角形的判定和性质
中考试题（四）全等三角形性质和判定的创新
点拨
本题考查了全等三角形的判定与性质，读懂问题背景，作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点。
第40讲等腰三角形
知识能力解读
知能解读
（一）线段垂直平分线的概念
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线。
知能解读
（二）线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
注意
（1）线段垂直平分线性质定理的作用是：
证明两条线段相等。
如图所示，若CD垂直平分线段AB，则
。
（2）在CD上任意取一点P都有
。
知能解读（三）线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
从线段垂直平分线的性质定理及其逆定理可以看出：
在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B两点的距离相等；反过来，与A，B两点距离相等的点都在线段AB的垂直平分线l上，所以直线l可以看成是与A，B两点距离相等的所有点的集合。
注意
（1）线段垂直平分线性质定理的逆定理的作用是：
判定一点在线段的垂直平分线上。
如图1-40-2所示，若
，则点P在线段AB的垂直平分线上。
（2）等腰三角形的顶点在底边的垂直平分线上。
（3）如果两点到一条线段的两个端点的距离相等，那么这两点所在的直线是该线段的垂直平分线。
如图所示，若
，
，则点C，D都在线段AB的垂直平分线上，CD与AB的交点O是线段AB的中点。
知能解读（四）三角形三边垂直平分线的性质
根据线段垂直平分线的性质定理可以得到：
三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三个顶点的距离相等。
注意
（1）此定理的作用是：
证明线段相等.如图所示，若边AB，BC，CA的垂直平分线交于点P，则
；
（2）三角形两边的垂直平分线段的交点必在第三边的垂直平分线上；（3）证明三线共点，可先找到两直线交点，再证明第三条直线也过这一点；（4）锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，直角三角形三边垂直平分线的交点恰是斜边中点，钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部；（5）此定理给出了作一个点使其到三个不共线的点距离相等的方法，只需顺次连接这三点组成一个三角形，作这个三角形两边的垂直平分线，交点即为所求.
知能解读（五）等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成：
等边对等角”）；
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）；
（3）等腰三角形是轴对称图形，其顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高所在的直线是它的对称轴.
知能解读（六）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
注意
（1）等腰三角形的判定定理和性质定理互为逆定理.
（2）“等角对等边”应用极为广泛，往往通过计算三角形各角的度数得角相等，则可得边相等.
（3）底角为顶角2倍（顶角为
，底角为
）的等腰三角形非常特殊，其一条底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形.
知能解读（七）等边三角形的性质、判定
1 等边三角形的性质
等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个角都等于
。
注意
（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质.
等边三角形的判定
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是
的等腰三角形是等边三角形。
注意
腰三角形的条件下.三个判定定理的前提不同，判定
（1）和
（2）是在普通三角形的条件下，判定（3）是在等腰三角形的条件下。
方法技巧归纳
方法技巧
（一）利用线段垂直平分线的性质或判定进行计算和推理
线段垂直平分线的性质定理可直接用来证明两条线段相等，而其逆定理可直接用来证明某一个点在线段的垂直平分线上，均不必证明三角形全等.
点拨
在解决有关线段或角的计算问题时，给合一元一次方程或二元一次方程组求解是一种比较常用的方法.
方法技巧
（二）利用等腰三角形的性质求角的度数的方法
先利用等腰三角形的性质得到等角，再借助三角形内角和定理及内角与外角之间的关系，可以求角的度数.
本题综合考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理.
方法技巧（三）利用“三线合一”证明线段相等或角相等的方法
“三线合一”既可以提供等角、等线段，又可以提供直角，这些条件可用于证明线段相等或角相等.
点拨
使用“三线合一”的性质时应注意“三线”是指“底边”上的三线.另外，“三线合一”的性质既是证明两线段相等的方法，也是证明两线垂直或某线是角平分线的方法.
方法技巧（四）利用“等角对等边”证明线段相等的方法
如果所要证明的相等的两条线段是同一个三角形的两边，可以先证明这两边所对的角相等，从而用“等角对等边”来证明线段相等.
点拨
“等角对等边”是继全等三角形之后又一种证明线段相等的常用方法，应注意它的使用前提条件是线段在同一个三角形中.
方法技巧（五）等腰三角形判定和性质的综合运用
在等腰三角形中寻长角或边的等量关系时，首先考虑等腰三角形判定和性质的运用.
点拨
本题考查等腰三角形的判定，用到的知识有等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及角平分线的定义等.解题时找出图中的三角形，逐个证明.
方法技巧（六）利用等边三角形的性质求角的度数或线段长度的方法
点拨
本题综合运用等边三角形的性质以及三角形内角和定理求角的度数.
方法技巧（七）利用等边三角形的性质证明线段相等的方法
等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，为证明三角形全等提供了条件，由此可证明线段相等.
点拨
等腰三角形的底角相等、“三线合一”的性质以及等边三角形三边相等的性质常与三角形全等综合使用证明线段相等.
易混易错辨析
易混易错知识
1.涉及等腰三角形腰上“高”的问题对由于考虑不全面漏解.
由于等腰三角形分为等腰锐角三角形、等腰直角三角形和等腰钝角三角形，所以腰上“高”的位置不同.
2.线段的垂直平分线与过线段中点的直线相混淆.
区别：
线段的垂直平分线过线段中点且与该线段垂直，而过线段中点的直线与线段不一定垂直.
考虑不全致误
中考试题研究
中考命题规律
等腰三角形的考查包括边的计算、角的计算以及与全等、相似结合进行计算，近年来也出现了一些操作型试问题，题型主要以填空题、选择题为主，分值为3分左右，有些综合性解答题分值占到8～10分.
中考试题
（一）利用等腰三角形的相关知识求解
中考试题
（二）利用等腰三角形的相关知识推理证明
第41讲相似
知识能力解读
知能解读
（一）图形的相似
（1）相似图形：
我们把形状相同的图形叫作相似图形.两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.
（2）相似多边形：
两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形.
（3）相似比：
相似多边形对应边的比叫作相似比.
（4）线段成比例：
对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如
（即
），我们就说这四条线段成比例.
（5）相似多边形的性质：
相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
注意
（1）当两个多边形全等时，其相似比为1；反之，如果两个相似多边形的相似比为1，那么这两个多边形全等.
（2）相似比是有顺序的，如：
若正方形ABCD与正方形
的相似比为
，则正方形
与正方形ABCD的相似比
.
知能解读
（二）平行线分线段成比例
（1）基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例.
（2）推论：
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
知能解读（三）相似三角形
1 相似三角形及表示方法
2 相似三角形的判定
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
（2）三边成比例的两个三角形相似.
（3）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
（4）两角分别相等的两个三角形相似.
（5）斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.
3 相似三角形的性质
（1）相似三角形的对应角相等.
（2）相似三角形的对应边成比例.
（3）相似三角形对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线）的比等于相似比。
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
拓展：
相似三角形周长的比等于相似比。
4 相似三角形的应用
利用三角形相似，可以解决一些测量问题。
知能解读（四）位似图形的概念及性质
1 位似图形
如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫作位似图形，这点叫作位似中心，这时我们说这两个图形关于这点位似。
2 位似图形的画法
（1）确定位似中心；
（2）分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长；（3）根据位似比，找出所作的位似图形的对应点；（4）顺次连接上述各对应点，得到放大或缩小后的图形。
3 直角坐标系中，位似图形坐标之间的关系
一般地，在平面与直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为
，那么与原图形上的点
对应的位似图形上的点的坐标为
或
。
方法技巧归纳
方法技巧
（一）求两条线段的比的方法
两条线段的比所表示的是两数的相除关系，因此求两条线段的比，只要把线段长度代入，然后约会就可以，在代入时应注意统一单位。
点拨
（1）比例尺就是图上距离与实际距离的比；
（2）求线段的比时单位要一致。
方法技巧
（二）相似三解形的判定方法
相似三解形的判定方法除定义外还有四种，其中使用最多的是利用平行判定相似和两角分别相等的两个三解形相似；如果既有边又有角的条件，那么可以考虑“两边夹角”的方法判定；如果只有边的条件，那么可以考虑用“三边成比例”的方法判定。
方法技巧（三）相似三解形性质的应用
利用相似三角形对应边成比例来求线段的长度，有时通过寻找中间比组成比例式。
点拨
本题关键是抓住中间比
，构造比例式
，从而求出
的长.
方法技巧（四）相似三角形的实际应用
相似三角形知识在实际生活中应用非常广泛，主要是运用相似三角形的有关性质来测量、计算那些不易直接测量的物体的高度或宽度.例如：
通常利用在同一时刻物高与影长成比例的原理解决测量高度问题，或通过构造相似三角形，利用相似三角形的性质解决测量宽度问题.
点拨
本题需要运用已知条件构建比例式
.构建比例式的常用方法有：
（1）三点定形法，寻找相似三角形；
（2）等线段替换法，依据比例式不能组建三角形时选择合适的相等线段替换，构造三角形；
（3）寻找“过渡比”，体会本例所采用的方法.
方法技巧（五）位似图形、位似中心的知别
识别似图形，关键是看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形，交点就是位似中心.
点拨
位似图形必须满足两个条件：
①两个图形是相似图形；②两个相似图形每对对应点所在的直线都经过同一个点.二者缺一不可.
方法技巧（六）位似的性质的应用
位似图形是特殊的相似图形，利用位似比等于相似比，而面积比等于相似比的平方可进行相关计算.
求比值：
由已知去求比值，多种途径可利用.活用比例七性质，变量替换也走红，消元也是好办法，殊途同归会变通.
易混易错辨析
易混易错知识
1.计算比例尺时，容易忽视单位的统一.
比例尺是图上距离与实际距离的比，在计算比值时单位必须要统一.
2.相似三角形中有时对应关系找不准.
3.位似图形和相似图形.
区别：
相似图形不受位置关系的限制，但位似图形有位置上的要求.位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.
易混易错
（一）求两条线段的比时，忽视两条线段的单位统一而致错
易混易错
（二）利用相似三角形对应边成比例时，由于考虑不全面，导致漏解
易混易错（三）不能正确理解和把握位
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