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1算法的基本思想
必修3第二章
算法初步
课题：
§1算法的基本思想
编写：
闻军、郭群审核：
日期：
2010．5．10编号：
01
学习目标：
1、知识与技能：
（1）了解算法的含义，体会算法的思想。
（2）能够用自然语言叙述算法。
（3）掌握正确的算法应满足的要求。
（4）会写出解线性方程（组）的算法。
（5）会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。
（6）会应用Scilab求解方程组。
2、过程与方法：
通过求解二元一次方程组，体会解方程的一般性步骤，从而得到一个解二元一次方程组的步骤，这些步骤就是算法，不同的问题有不同的算法。
由于思考问题的角度不同，同一个问题也可能有多个算法，能模仿求解二元一次方程组的步骤，写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。
3、情感态度与价值观：
通过本节的学习，使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解，明确算法的要求，认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具，进一步提高探索、认识世界的能力。
学习重难点：
重点：
算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。
难点：
把自然语言转化为算法语言。
学习过程：
一、问题提出
1、算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。
但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。
如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。
我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法，解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法等。
因此，算法其实是重要的数学对象。
算法（algorithm）一词源于算术（algorism），即算术方法，是指一个由已知推求未知的运算过程。
后来，人们把它推广到一般，把进行某一工作的方法和步骤称为算法。
广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。
菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。
在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。
比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法，等等。
2、两个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡1个大人或两个小孩，他们四人都会划船，但都不会游泳。
试问他们怎样渡过河去？
请写出一个渡河方案。
3、猜物品的价格游戏：
现在一商品，价格在0~8000元之间，解决这一问题有什么策略？
二：
合作探究：
引例：
在给定素数表的条件下，设计算法，将936分解成素因数的乘积。
算法分析：
根据素数的定义，很容易设计出下面的步骤：
第一步：
。
第二步：
。
·
·
·
重复进行上述步骤，直到找出936的所有素因数。
解算法步骤如下：
（请写出）
三、实例演练
例1、写出求1+2+3+4+5+6的一个算法。
（可以写一种以上算法）
例2、写出解二元一次方程组
的算法。
例3、任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判定。
例4、试给出求解一元二次方程
的一个算法.
例5、用二分法设计一个求议程x2–2=0的近似根的算法。
注意：
算法的描述可以用自然语言，也可以用数学语言。
例如，某同学要在下午到体育馆参加比赛，比赛下午2时开始，请写出该同学从家里发到比赛地的算法。
若用自然语言来描述可写为：
第一步：
1:
00从家出发到公共汽车站
第二步：
1:
10上公共汽车
第三步：
1:
40到达体育馆
第四步：
1:
45做准备活动。
第五步：
2:
00比赛开始。
若用数学语言来描述可写为：
S11:
00从家出发到公共汽车站
S21:
10上公共汽车
S31:
40到达体育馆
S41:
45做准备活动
S52:
00比赛开始
大家从中可以看出，实际上两种写法无本质区别，但我们在书写时应尽量用教学语言来描述，它的优越性在以后的学习中我们会体会到。
四、课堂小结
本节课主要讲了算法的概念，算法就是解决问题的步骤，平时列论我们做什么事都离不开算法，算法的描述可以用自然语言，也可以用数学语言。
五、自我检测
1、P78练习1
2、P81练习2
3、P83练习3
4、写出解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个算法。
5、写出求1至1000的正数中的3倍数的一个算法（打印结果）
六、自我反思
1．1．1算法的概念
一、教学目标：
1、知识与技能：
（1）了解算法的含义，体会算法的思想。
（2）能够用自然语言叙述算法。
（3）掌握正确的算法应满足的要求。
（4）会写出解线性方程（组）的算法。
（5）会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。
（6）会应用Scilab求解方程组。
2、过程与方法：
通过求解二元一次方程组，体会解方程的一般性步骤，从而得到一个解二元一次方程组的步骤，这些步骤就是算法，不同的问题有不同的算法。
由于思考问题的角度不同，同一个问题也可能有多个算法，能模仿求解二元一次方程组的步骤，写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。
3、情感态度与价值观：
通过本节的学习，使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解，明确算法的要求，认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具，进一步提高探索、认识世界的能力。
二、重点与难点：
重点：
算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。
难点：
把自然语言转化为算法语言。
三、学法与教学用具：
学法：
1、写出的算法，必须能解决一类问题（如：
判断一个整数n（n>1）是否为质数；求任意一个方程的近似解；……），并且能够重复使用。
2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。
3、要保证算法正确，且计算机能够执行，如：
让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的，但让计算机去执行“倒一杯水”“替我理发”等则是做不到的。
教学用具：
电脑，计算器，图形计算器
四、教学设想：
1、创设情境：
算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。
但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。
如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。
我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法，解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法等。
因此，算法其实是重要的数学对象。
2、探索研究
算法（algorithm）一词源于算术（algorism），即算术方法，是指一个由已知推求未知的运算过程。
后来，人们把它推广到一般，把进行某一工作的方法和步骤称为算法。
广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。
菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。
在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。
比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法，等等。
3、例题分析：
例1任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判定。
算法分析：
根据质数的定义，很容易设计出下面的步骤：
第一步：
判断n是否等于2，若n=2，则n是质数；若n>2，则执行第二步。
第二步：
依次从2至（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的数，若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数。
这是判断一个大于1的整数n是否为质数的最基本算法。
例2用二分法设计一个求议程x2–2=0的近似根的算法。
算法分析：
回顾二分法解方程的过程，并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超过0.005，则不难设计出以下步骤：
第一步：
令f（x）=x2–2。
因为f
（1）<0，f
（2）>0，所以设x1=1，x2=2。
第二步：
令m=（x1+x2）/2，判断f（m）是否为0，若则，则m为所长；若否，则继续判断f（x1）·f（m）大于0还是小于0。
第三步：
若f（x1）·f（m）>0，则令x1=m；否则，令x2=m。
第四步：
判断|x1–x2|<0.005是否成立？
若是，则x1、x2之间的任意取值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步。
小结：
算法具有以下特性：
（1）有穷性；
（2）确定性；（3）顺序性；（4）不惟一性；（5）普遍性
典例剖析：
1、基本概念题
x-2y=-1,①
例3写出解二元一次方程组的算法
2x+y=1②
解：
第一步，②-①×2得5y=3；③
第二步，解③得y=3/5；
第三步，将y=3/5代入①，得x=1/5
学生做一做：
对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤应该怎样进一步完善？
老师评一评：
本题的算法是由加减消元法求解的，这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法。
下面写出求方程组
的解的算法：
第一步：
②×A1-①×A2，得（A1B2-A2B1）y+A1C2-A2C1=0；③
第二步：
解③，得
；
第三步：
将
代入①，得
。
此时我们得到了二元一次方程组的求解公式，利用此公司可得到倒2的另一个算法：
第一步：
取A1=1，B1=-2，C1=1，A2=2，B2=1，C2=-1；
第二步：
计算
与
第三步：
输出运算结果。
可见利用上述算法，更加有利于上机执行与操作。
基础知识应用题
例4写出一个求有限整数列中的最大值的算法。
解：
算法如下。
S1先假定序列中的第一个整数为“最大值”。
S2将序列中的下一个整数值与“最大值”比较，如果它大于此“最大值”，这时你就假定“最大值”是这个整数。
S3如果序列中还有其他整数，重复S2。
S4在序列中一直到没有可比的数为止，这时假定的“最大值”就是这个序列中的最大值。
学生做一做写出对任意3个整数a,b,c求出最大值的算法。
老师评一评在例2中我们是用自然语言来描述算法的，下面我们用数学语言来描述本题的算法。
S1max=a
S2如果b>max,则max=b.
S3如果C>max,则max=c.
S4max就是a,b,c中的最大值。
综合应用题
例5写出求1+2+3+4+5+6的一个算法。
分析：
可以按逐一相加的程序进行，也可以利用公式1+2+…+n=
进行，也可以根据加法运算律简化运算过程。
解：
算法1：
S1：
计算1+2得到3；
S2：
将第一步中的运算结果3与3相加得到6；
S3：
将第二步中的运算结果6与4相加得到10；
S4：
将第三步中的运算结果10与5相加得到15；
S5：
将第四步中的运算结果15与6相加得到21。
算法2：
S1：
取n=6；
S2：
计算
；
S3：
输出运算结果。
算法3：
S1：
将原式变形为（1+6）+（2+5）+（3+4）=3×7；
S2：
计算3×7；
S3：
输出运算结果。
小结：
算法1是最原始的方法，最为繁琐，步骤较多，当加数较大时，比如1+2+3+…+10000，再用这种方法是行不通的；算法2与算法3都是比较简单的算法，但比较而言，算法2最为简单，且易于在计算机上执行操作。
学生做一做求1×3×5×7×9×11的值，写出其算法。
老师评一评算法1；第一步，先求1×3，得到结果3；
第二步，将第一步所得结果3再乘以5，得到结果15；
第三步，再将15乘以7，得到结果105；
第四步，再将105乘以9，得到945；
第五步，再将945乘以11，得到10395，即是最后结果。
算法2：
用P表示被乘数，i表示乘数。
S1使P=1。
S2使i=3
S3使P=P×i
S4使i=i+2
S5若i≤11，则返回到S3继续执行；否则算法结束。
小结由于计算机动是高速计算的自动机器，实现循环的语句。
因此，上述算法2不仅是正确的，而且是在计算机上能够实现的较好的算法。
在上面的算法中，S3，S4，S5构成一个完整的循环，这里需要说明的是，每经过一次循环之后，变量P、i的值都发生了变化，并且生循环一次之后都要在步骤S5对i的值进行检验，一旦发现i的值大于11时，立即停止循环，同时输出最后一个P的值，对于循环结构的详细情况，我们将在以后的学习中介绍。
4、课堂小结
本节课主要讲了算法的概念，算法就是解决问题的步骤，平时列论我们做什么事都离不开算法，算法的描述可以用自然语言，也可以用数学语言。
例如，某同学要在下午到体育馆参加比赛，比赛下午2时开始，请写出该同学从家里发到比赛地的算法。
若用自然语言来描述可写为
第一步：
1:
00从家出发到公共汽车站
第二步：
1:
10上公共汽车
第三步：
1:
40到达体育馆
第四步：
1:
45做准备活动。
第五步：
2:
00比赛开始。
若用数学语言来描述可写为：
S11:
00从家出发到公共汽车站
S21:
10上公共汽车
S31:
40到达体育馆
S41:
45做准备活动
S52:
00比赛开始
大家从中要以看出，实际上两种写法无本质区别，但我们在书写时应尽量用教学语言来描述，它的优越性在以后的学习中我们会体会到。
5、自我评价
1、写出解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个算法。
2、写出求1至1000的正数中的3倍数的一个算法（打印结果）
6、评价标准
1、解：
算法如下
S1计算△=b2-4ac
S2如果△〈0，则方程无解；否则x1=
S3输出计算结果x1，x2或无解信息。
2、解：
算法如下：
S1使i=1
S2i被3除，得余数r
S3如果r=0，则打印i，否则不打印
S4使i=i+1
S5若i≤1000,则返回到S2继续执行，否则算法结束。
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