>>fzero（'sin（x）-0.1*x',6）
ans=
7.0682
>>fzero（'sin（x）-0.1*x',[2,6]）
ans=
3.8523
注：
fzero只能求零点附近变号的根，试用fzero求解（x-1）2=0，看看发生了什么？
8.3.3非线性方程组求解
fsolve用法与fzero类似。
例3：
解方程组
解写M函数eg8_1fun.m：
functiony=fun（x）
y
（1）=4*x
（1）-x
（2）+exp（x
（1））/10-1;
y
（2）=-x
（1）+4*x
（2）+x
（1）^2/8;
然后在命令窗口用
>>[x,y,f]=fsolve（'eg8_1fun',[0,0]）
x=
0.23260.0565
y=
1.0e-006*
0.09080.1798
f=
1
注：
x返回解向量,y返回误差向量，f>0则解收敛。
或直接用
>>[x,y,f]=fsolve（'[4*x
（1）-x
（2）+exp（x
（1））/10-1,-x
（1）+4*x
（2）+x
（1）.^2/8]',[0,0]）
x=
0.23260.0565
y=
1.0e-006*
0.09080.1798
f=
1
注意：
fsolve采用最小二乘优化法，稳定性比fzero好，但fsolve可能陷入局部极小。
试用fsolve解x2+x+1=0,看会发生什么？
不要完全相信计算机。
8.3.4解析求解solve
例4：
解ax2+bx+c=0
解
>>solve（'a*x^2+b*x+c','x'）
ans=
[1/2/a*（-b+（b^2-4*a*c）^（1/2））]
[1/2/a*（-b-（b^2-4*a*c）^（1/2））]
>>[x,y]=solve（'4*x-y+exp（x）/10=1','-x+4*y+y^2/8=0','x,y'）
x=
.23297580773115396971569236570313
y=
.58138324907069742242891748561961e-1
注意所得的解与fsolve的不同。
注意：
虽然solve可用于求数值解，但速度很慢，且有很大的局限性，不提倡使用。
8.4数值解法：
图解法和迭代法
8.4.1图解法
利用作图的方法可以求一元或二元方程（组）的低精度解，或者寻找迭代初值。
例5：
解方程
sinx=0.1x（8.5）
解显然，解在[-10,10]内，函数y=sinx-0.1x的零点就是（8.5）的解，
出y=sinx-0.1x在[-10,10]范围内的图象（图8.1）,可看出根的大致位置。
作图可使用如下MATLAB语句：
close;fplot（'sin（x）-0.1*x',[-10,10]）;grid;
可知±8.5,±7,±3,0附近各有一解。
（在figure窗口用matlab的zoom命令演示）
例6：
利用作图法解例3的方程组。
解
>>clear;close;
>>x1a=-1:
0.01:
1;x2a=-1:
0.01:
1;[x1,x2]=meshgrid（x1a,x2a）;
>>f=4*x1-x2+exp（x1）/10-1;g=-x1+4*x2+x1.^2/8;
>>contour（x1,x2,f,[0,0]）;%曲面与平面x2=0的交线
>>holdon;contour（x1,x2,g,[0,0]）;holdoff;
>>gridon
可见在（0.25,0.05）附近有一个解。
8.4.2迭代法（牛顿法，切线法）
求f（x）=0的解，从几何上说xk+1为用f（x）在xk处的切线代替f（x）求得的解，故也称为切线法。
当初值x0与真解足够靠近，Newton迭代法敛。
单根快，重根慢。
迭代格式：
例6：
求如下方程的正根（要求精度=10-6）
x2-3x+ex=2
解令f（x）=x2-3x+ex-2,f（0）=-1<0,x>2,f（x）>0,f´（x）>0,即f（x）单调上升，根在[0，2]内，先用图解法找初值。
>>fplot（'x^2-3*x+exp（x）-2',[0,2]）;gridon;
再使用zoom按纽使得图像可用鼠标点击放大，以提高局部观察精度。
唯一正根在1附近，取x0=1,迭代格式：
M脚本eg2_2.m
clear,e=1e-6;formatlong;
x1=1
x0=x1+2*2;%使while成立
while（abs（x0-x1）>e）
x0=x1,x1=x0-（x0^2-3*x0+exp（x0）-2）/（2*x0-3+exp（x0））
end;format
得x1=1.44623868596643
8.5贷款利率问题求解
考虑方程（8.2）.常识上，r应比当时活期存款月利率略高。
用活期存款月利率0.0198/12作为迭代初值，用fzero求解。
（使用Matlab）
>>r=fzero（'25.2*（1+x）^360-（（1+x）^360-1）/x*0.1436',0.0198/12）,R=12*r
r=
0.0046
R=
0.0553
8.6养老保险
某保险公司的一份材料指出：
在每月交费200元至60岁开始领取养老金的约定下，男子若从25岁起投保，届时月领养老金2282元；若35岁起投保，届时月领养老金1056元；若45岁起投保，届时月领养老金420元。
我们来考察这三种情况所交保险非获得的利率。
设投保人在投保后第k个月所交保险费急利息的累计总额为Fk,易得数学模型：
其中p,q分别为60岁前所交月保险费和60岁起所领月养老金的数目（单位：
元），r是所交保险金获得的月利率，N,M分别是自投保起至停交保险费和停领养老金的时间（单位：
月）。
显然M依赖于投保人的寿命，我们取为该公司养老计划所在地男性寿命的统计平均值75岁。
以25岁起投保为例，则有
p=200,q=2282,N=420,M=600
而初值F0=0,易得
在前一式中取k=N而在后一式中取k=M并注意到FM=0,这样只要消去FN,就导出关于r的方程：
记x=1+r,且将已知数据代入，则只须求解方程
显然，1是上述方程的的解，但我们要求的根显然略大于1。
利用Newton法借助计算机编程或用数学软件能很方便的求出方程的实根，只是要注意选择合理的初始值，例如在MATLAB中，应用图解法求解：
>>close;
>>fplot（'x^600-12.41*x^180+11.41',[0.8,1.2]）;
>>axis（[0.95,1.01,-0.5,0.5]）;
>>gridon;zoomon
易得略大于1的根
x=1.00485,
所以
r=0.00485
对于35岁起和45岁起投保的情况，同样可得保险金所获得的月利率分别为0.00461和0.00413。
由于银行利率和投保人寿命等随机因素，保险费的计算是比较复杂的，但通过分析，我们对总体的利率还是可以得到大致的估计。
8.7习题
1、作出f（x）=xsin（1/x）在[-0.1,0.1]内的图象，可见在x=0附近f（x）=0有无穷多个解，并设法求出它的解。
2、（月还款额）作为房产公司的代理人，你要迅速准确回答用户各方面的问题。
现在有个客户看中了贵公司一套建筑面积为120m2,单价5200元/m2的房子。
他计划首付30%，其余70%用20年按揭贷款（年利率5.58%）。
请你提供下列信息：
房屋总价格、首付款额、月付还款额。
8.8补充：
混沌
线性迭代要么收敛于它的不动点，要么趋于无穷大；而不收敛的非线性迭代可能会趋于无穷大，也可能趋于一个周期解，但也可能在一个有限区域内杂乱无章地游荡，由确定性运动导致的貌似随机的现象称为混沌现象。
下面就Logistic迭代研究这一现象。
8.8.1昆虫数量的Logistic模型
xk表示第k代昆虫数量（1表示最大值）。
（8.7）式反映了下一代对上一代的既依赖又竞争的关系。
当上一代很少，繁殖能力不够，从而后代很少；当上一代很多，会吃掉很多食物，后代难以存活，从而后代很少。
a为资源系数，0≤a≤4保证了xk在区间（0,1）上封闭。
8.8.2平衡与稳定
称a为映射g（x）的平衡解或不动点，若g（x）=ax（1-x）.解方程
x=ax（1-x）
得（8.7）式两个不动点0和1-1/a.若初始值恰好为不动点，迭代式（8.7）的值永不改变。
如果对于不动点x0附近的初始值，（8.7）收敛与此不动点，我们称这一不动点是稳定的。
当0x<1,在[0,1]内只有一个不动点0，且由|g（0）|=a<1,可知它是稳定的。
说明资源匮乏时，昆虫趋于死亡。
当a>1,不动点0不再稳定，而由|g′（1-1/a）|=|2-a|<1可知18.8.3周期解、分叉和混沌
称a为映射g（x）的周期k点，若gk（a）=a,而对任意j并称a,g（a）,…,gk-1（a）为周期k轨道。
我们来求（8.7）的周期2轨道：
解x-a2x（1-x）（1-ax（1-x））=0
>>solve（'x-a*a*x*（1-x）*（1-a*x*（1-x））=0'）
ans=
[0]
[（-1+a）/a]
[（1/2*a+1/2+1/2*（a^2-2*a-3）^（1/2））/a]
[（1/2*a+1/2-1/2*（a^2-2*a-3）^（1/2））/a]
可见当a2-2a-3>0,即a>3,出现两个周期2解，可以证明3迭代开始发生倍周期分岔，从周期2，周期4，…，周期2n,…,直到a∞=3.569945672…。
说明a在[3,a∞]取值时昆虫数量呈现规律性振荡。
当a>a∞,（8.4）是的迭代序列几乎杂乱无章，即所谓混沌。
下列例子可形象地显示上述现象。
例：
（分叉图）对a在[0,4]的不同值，画出Logistic迭代的极限形态图。
如下M文件对于每一个a值，随机产生一个初值。
文件显示前20步迭代的变化。
最后用第180~200步迭代值表示极限形态，最后结果见图8-3。
%M脚本8_3.m
clear;close;a=0:
0.01:
4;
M=length（a）;K=200;X=zeros（K,M）;x（1,:
）=rand（1,M）;
form=1:
M,fork=1:
K-1
x（k+1,m）=a（m）*x（k,m）*（1-x（k,m））;
end,end
fork=1:
20,
plot（a,x（k,:
）,'.'）;title（['k=',int2str（k）]）;pause
（2）;
end;
plot（a,x（180:
K,:
）,'.'）;xlabel（'a'）;ylabel（'x'）;holdoff;
8.8.3混沌的特征
混沌是由确定性系统产生的貌似随机的现象。
一般认为混沌有如下几个特征
（i）初值的敏感性：
两个任意近的点出发的两条轨迹迟早会分得很开；
（ii）遍历性：
任意点出发的轨迹总会进入[0,1]内任意小的开区间。
例：
（初值的敏感性）如下M文件eg8_4.m验证了Logistic迭代序列的初值敏感性。
对于靠得很近的两个初值（相差仅1e-4）,画出了两个序列50步内的误差图（图8-4）。
可见10步以后，差异增大，有时甚至接近1。
%M脚本eg8-4.m
clear;close;a=4;e=1e-4;
x=zeros（50,2）;x（1,:
）=[0.4,0.4+e];
fori=2:
50
x（i,:
）=a*x（i-1,:
）.*（1-x（i-1,:
））;
end
y=x（:
1）-x（:
2）;plot（y）
例：
（蛛网图）混沌的遍历性
昆虫数量的Logistic模型：
xk表示第k代昆虫的数量（1表示最大可能数量）。
平面迭代式：
蛛网图正好显示迭代计算x0,y0,x1,y1,…的一系列变化过程。
如下M函数eg8_5.m是一个通用的logistic蛛网图函数。
做出系数为a，初值为x0,从第m步到第n步的迭代过程：
functionf=eg8_5（a,x0,m,n）
x=0:
0.01:
1;y=a*x.*（1-x）;
plot（x,x,'r',x,y,'r'）;holdon;
clearx,y;x
（1）=x0;y
（1）=a*x
（1）*（1-x
（1））;x
（2）=y
（1）;
ifm<2,plot（[x
（1）,x
（1）,x
（2）],[0,y
（1）,y
（1）]）;end
fori=2:
n
y（i）=a*x（i）*（1-x（i））;
x（i+1）=y（i）;
ifi>m,plot（[x（i）,x（i）,x（i+1）],[y（i-1）,y（i）,y（i）]）;end
end
holdoff
在命令窗口执行
>>subplot（2,2,1）;eg8_5（2.7,0.1,1,100）;%收敛迭代
>>subplot（2,2,2）;eg8_5（3.4,0.1,50,500）;%周期2
>>subplot（2,2,3）;eg8_5（3.5,0.1,50,500）;%周期4
>>subplot（2,2,4）;eg8_5（4,0.1,50,500）;%混沌
可见混沌迭代对于初值为0.1，轨迹遍历了[0,1]区间（图8-5）
8.9补充习题
（Henon吸引子）混沌和分形的著名例子，迭代模型为
取初值x0=0,y0=0,进行3000次迭代，对于k>1000,在（xk,yx）处亮一点（注意不要连线）可得所谓Henon引力线图。
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