单位根检验新进展.doc

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单位根检验新进展

张晓峒

中国数量经济学会常务理事

南开大学经济学院博士生导师

xttfyt@

单位根检验是非经典计量经济学的重要组成部分。

当人们认识到序列的非平稳性会给建立计量经济模型带来严重影响之后，检验经济序列平稳性的单位根检验理论与方法得到迅速的发展。

目前已经形成一个比较完整的理论体系。

里程碑式的论文是Dickey的博士论文“非平稳时间序列的估计与检验”（1976）和Dickey-Fuller共同发表的论文“含有单位根的自回归时间序列估计量的分布”（1979）。

对单位根检验理论贡献最大的当属Phillips。

Phillips在1986、1987连续发表两篇文章，从理论上彻底解决了单位根过程和虚假回归中回归参数和相应统计量的极限分布问题。

按序列类型划分：

随机游走、随机趋势、

退势平稳、趋势非平稳。

按序列性质划分：

非季节序列、季节

序列、面板数据。

按估计方法划分：

OLS法、拟GLS法、

GLS法、LM法等。

按序列结构划分：

无突变、均值突变、

趋势突变、双突变。

单位根检验

按研究方法划分：

蒙特卡罗模拟、数值

计算、极限分布推导

按检验方法划分：

DF,ADF,WS,HEGY

PP,BLS等30余种。

按单位根个数划分：

单根检验，双根检

验，多根检验。

季节序列、面板。

按检验统计量性质

划分：

参数的、非参数的。

单位根检验就是检验时间序列的平稳性。

而检验时间序列的平稳性是构造经典回归模型、时间序列模型、向量自回归模型、面板数据模型的基础。

下面分5类介绍单位根检验。

1．非季节时间序列单位根检验。

2．季节时间序列的单位根检验。

3．面板数据的单位根检验。

4．退势单位根检验。

5．结构突变序列的单位根检验。

五种典型的时间序列。

1．白噪声序列（whitenoise，属于平稳序列）。

ut,ut~IID（0,s2），Cov（uiuj）=0,i≠j

图1白噪声序列（s2=1）图2日元兑美元差分序列

2．随机游走序列（randomwalk，属于非平稳序列，图3）。

yt=yt-1+ut,ut~IID（0,s2），Cov（uiuj）=0,i≠j

随机游走的差分过程是平稳过程（白噪声过程）。

Dyt=ut。

图3随机游走序列（s2=1）图4深圳股市成分指数

3．随机趋势非平稳过程（stochastictrendprocess）或差分平稳过程（difference-stationaryprocess）、有漂移项的非平稳过程（non-stationaryprocesswithdrift）。

图5随机趋势非平稳序列（m=0.1）图6随机趋势非平稳序列（m=-0.1）

yt=m+yt-1+ut,ut~IID（0,s2）

属于非平稳过程。

m=0.1，-0.1的情形分别见图5和6。

迭代变换，

yt=m+（m+yt-2+ut-1）+ut=…

=y0+mt+=mt+

当yt表示对数变量时，E（Dyt）表示平均增长率。

4．趋势平稳过程（trend-stationaryprocess）或退势平稳过程（属于非平稳过程，见图7）

yt=b0+b1t+ut,ut=rut-1+vt,（r<1,vt~IID（0,s2））

趋势平稳过程由确定性时间趋势t所主导。

减去b1t之后，过程变为平稳过程，所以也称退势平稳过程。

整理上式，得退势平稳过程的另一种表达形式。

yt=a+dt+ryt-1+vt,（r<1,vt~IID（0,s2））

其中a=b0-r（b0-b1）,d=-b1（1-r）。

以当r=1时，必然有d=0。

所以原假设是r=1，d=0，被择假设是r<1，d¹0。

图7退势平稳序列（m=0,a=0.1）图8对数的中国国民收入序列

对于单位根过程（差分平稳），每个随机冲击都具有长记忆性。

对于退势平稳过程，随机冲击只具有有限记忆能力，由其引起的对趋势的偏离只是暂时的。

5．确定性趋势非平稳过程（non-stationaryprocesswithdeterministictrend，如图9）。

yt=m+at+yt-1+ut,ut~IID（0,s2）

迭代变换，

yt=m+at+yt-1+ut=m+at+（m+a（t-1）+yt-2+ut-1）+ut

=…=y0+mt+at2-a（1+2+…+t）+

=y0+mt+at2-（1+t）t+

=（m-）t+t2+（设定y0=0）

图9确定性趋势非平稳序列（m=0.1,a=0.1）图10中国进口序列

人们常用对数序列检验单位根，所以对宏观经济序列的检验常常是在随机趋势序列和退势平稳序列之间做出选择。

单位根检验过程中常常会把退势平稳序列误判为随机趋势非平稳序列。

图11图12

一．非季节时间序列单位根检验

检验单位根时常会碰到如下几种问题：

（1）当被检验序列（d.g.p.）的形式未知时，应该考虑到其中是否含有随机的或确定性的时间趋势成分。

（2）被检验序列（d.g.p.）的形式通常要比AR

（1）形式复杂，可能是高阶自回归序列或含有移动平均成分。

（3）当被检验随机序列含有近似单位根，但实为平稳过程（特征根小于1，但接近1）时，在有限样本、特别是小样本条件下的单位根检验结果容易接受原假设，误判为单位根过程，即检验功效降低。

（4）应该注意的是当被检验序列中含有结构突变点时，常导致单位根检验易于接受零假设（非平稳过程）。

（5）对于季节随机序列除了检验零频率单位根外，还要检验季节单位根。

1．DF、ADF（Augmented-Dickey-Fuller）检验。

最常用的一种检验方法。

检验式有3种（没有附加项时退化为DF检验）。

（1）

（2）

（3）

原假设是yt含有单位根。

DF、ADF检验属左单端检验。

统计量DF、ADF=服从DF分布。

当T®¥时，

（2）式和（3）式的DF分别有如下极限分布：

DF=Þ

DF=Þ

临界值表见Fuller（1976）第373页或《计量经济分析》附表6。

图13

（1）式为数据生成过程，

（1）~（3）式的DF统计量分布的蒙特卡罗模拟

建议首先按（3）式检验单位根

yt=m+at+byt-1+ut,ut~IID（0,s2）

H0：

a=0，b=1；（随机趋势过程）

H1a：

a=0，b<1；（平稳过程）

H1b：

a¹0，b<1；（退势平稳过程）

图14

T®¥时,

（2）式中的

=Þ

T®¥,（3）式中和的

=Þ

=Þ

其中A和L1，L2都是Wiener过程的泛函。

图15

（2）式中的分布图16和DF的比较

图17（3）式中的分布图18（3）式中的分布

表1

（2）式中和（3）式中and的临界值（a=0.05）计算用表

Teststatistics

Testsizea

f¥

f1

R2ofresponse

surfacefunction

inmodel

（2）

0.01

2.5067

2.5647

0.97

0.05

2.8000

4.5689

0.99

0.10

3.3279

10.4827

0.99

inmodel（3）

0.01

2.7893

3.0026

0.98

0.05

3.0972

5.6968

0.99

0.10

3.6578

14.0309

0.99

inmodel（3）

0.01

2.764

2.4457

0.97

0.05

3.0686

5.0902

0.98

0.10

3.6174

12.0685

0.98

注:

临界值计算公式CV（a）=±（f¥+f1T-1）,其中T为样本容量。

多重单位根的检验方法：

首先对yt取足够次数的差分，从而保证被检验序列为平稳序列。

然后每次用减少一次差分次数的序列依次进行单位根检验。

直至接受原假设为止。

从而判断出yt的单整阶数。

2．T（-1）检验（Fuller,1976）

原假设是yt含有单位根。

T（-1）检验属左单端检验。

统计量T（-1）服从特有分布。

当检验式误差项存在自相关时，T（-1）统计量的检验功效较低。

实际上，ADF检验的功效也不高。

例如b=0.95时，ADF（4）的检验功效只有14.9%。

因此又提出很多单位根检验方法。

3．WS（weightedsymmetric）检验（Pantulaetal.,1994）。

WS检验是用后向回归和前向回归两个回归式，通过追求两个残差平方和的加权和

最小，估计回归系数、计算统计量、检验是否存在单位根。

4．RMA（recursivelymean-adjusted，递归均值调整）检验（Taylor,2002）

RMA统计量是对DF统计量的一种修正计算。

在估计回归系数b和计算统计量的公式中，用的不是样本平均数，而是递归平均数。

5．PP（Phillips-Perron）检验（1988）

当DF检验式的误差项存在自相关时，ADF检验式通过附加被检验序列的差分滞后变量完善检验。

PP检验是通过附加一个修正因子完善单位根检验。

属于非参数方法。

其中表示ADF统计量，g0表示ADF检验式中误差项方差的一致估计。

f0表示ADF检验式中残差在零频率处的谱密度估计量。

T表示样本容量，表示ADF检验式中的抽样标准差。

表示ADF检验式中残差的标准差。

原假设是含有单位根。

PP检验属左单端检验。

临界值与DF分布相同。

6．KPSS（Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin）检验（1992）

KPSS检验的原理是用从待检验序列中剔出截距项和趋势项的序列{}构造LM统计量

其中是残差累积函数，是频率为零时的残差谱密度。

原假设是（趋势）平稳序列。

备择假设是单位根序列。

KPSS检验属右单端检验。

属于非参数方法。

临界值见KPSS（1992）166页表1。

7．ERS点最优（Elliot-Rothenberg-StockPointOptimal）检验（1996）

用待检验序列对截距项和趋势项进行拟差分变量回归。

假定拟差分系数用a和1表示，则用相应两个残差平方和SSR（a）与SSR

（1）（称为点最优）构造ERS统计量，

其中是频率为零时的残差谱密度。

原假设是（趋势）平稳过程。

ERS点最优检验属右单端检验。

检验临界值见ERS（1996）表1。

8．NP（Ng-Perron）检验（2001）

Ng-Perron（2001）基于GLS退势数据构造了4个检验统计量（MZa,MZt,MSB,MPt）。

属于非参数检验方法。

（EViews5.0有NP检验）

二．季节时间序列的单位根检验

1．DHF（Dickey-Hasza-Fuller）检验（1984）

把非季节序列的DF检验直接推广到季节序列，用季节自回归检验式

估计rs，构造季节DF统计量。

左单端检验。

2．HEGY（Hylleberg-Engle-Granger-Yoo）检验（1990）

通过对季节差分算子进行因式分解，，从而把季节单位根问题转化为序列在0、1/2、1/4频率上的单位根检验问题。

属于左单端检验。

HEGY（1990）给出临界值。

见《计量经济分析》。

3．Kunst检验（1997）

Kunst检验在DHF检验式基础上又多加了季节周期s以前各滞后期的滞后变量。

原假设是（有单位根）。

检验统计量为F。

Kunst（1997）给出临界值。

4．A.M.R.Taylor（2005）在计量经济学杂志第124期上提出用方差比（varianceratio）统计量检验季节单位根。

三．面板数据的单位根检验（相同根（commonunitroot）情形）

1．Quah检验（1990）

Quah（1990）首次把DF检验直接用于面板数据的单位根检验。

检验式是

也就是把N个同期时间序列混合在一起检验单位根。

。

Quah指出当NT同时趋近于无穷大，且速度相同（N/T为常数）时，DF渐近服从标准正态分布。

2．LL（Levin-Lin）检验（1992）

Levin-Lin（1992）对Quah检验式进行推广。

允许漂移项和趋势项进入检验式，并仿照ADF检验允许加入附加项。

并假定NT同时趋近于无穷大，N/T趋近于零。

渐近服从N（0,1）分布。

3．LLC（Levin-Lin-Chu）检验（2002）

LLC仍采用ADF检验式形式。

但使用的却是和的代理变量。

具体做法是

（1）先从和中剔出和确定项的影响，并使其标准化，成为代理变量。

（2）用代理变量做ADF回归。

渐近服从N（0,1）分布。

。

4．Breitung检验

Breitung检验法与LLC检验法类似。

先从和中剔出动态项，然后标准化，再退势，最后用ADF回归检验单位根。

5．Hadri检验

Hadri检验与KPSS检验相类似。

原假设是面板中的所有序列都不含有单位根。

计算步骤是首先用原面板数据的退势序列（残差）建立LM统计量

其中是残差累积函数，是频率为零时的残差谱密度。

三．面板数据的单位根检验（不同根（individualunitroot）情形）

6．IPS（Im-Pesaran-Shin）检验（1997,2002）

IPS检验克服了LL检验的缺陷，允许面板中不同时间序列的不同。

IPS检验式是

然后用N个相应的计算平均值。

再用构造面板IPS检验用统计量。

渐近服从N（0,1）分布。

临界值与N、T以及检验式中是否含有确定项有关系。

IPS检验为左单端检验。

7．MW（Maddala-Wu）检验（1997）

IPS检验和LL检验的缺陷是只适用于平衡面板数据，为解决此问题，Maddala-Wu（1997）提出了组合p值检验。

其中p表示ADF检验的显著性水平。

8．崔仁（InChoi）检验（2001）

崔仁（2001）提出了两种组合p值检验统计量。

其中p表示ADF检验的显著性水平。

Maddala-Wu检验和Choi检验又被称作Fisher-ADF检验。

9．Vanessa（Vanessaetal.）检验（2004）

Vanessa等（2004）利用单变量中的WS（加权对称）检验构造了面板数据的单位根检验方法。

三．面板数据的单位根检验（个体协整条件下的面板单位根检验）

个体协整条件下的面板单位根检验是一个尚不完善的领域。

Crowder（1997）发现面板数据中随着协整个数的增加，LL检验统计量的分布开始向左偏移。

当协整个数增加到13个时，的分布变为双峰分布。

10．Taylor-Sarno检验（1998）

为了克服上述问题，Taylor-Sarno检验基于Johanson的协整检验方法提出了面板VAR的JLR检验。

LL（Larsson-Lyhagen）检验（1999）也提出了类似的检验方法。

在单位根检验理论逐步完善的过程中，人们发现

1．当自回归系数接近1时，在小样本条件下DF、ADF检验的功效（testpower）很低。

即DF、ADF检验能正确检出序列平稳（拒绝单位根假设）的概率很低。

2．经济时间序列在变化的同时常常伴有结构上的变化，其中包括均值突变、趋势突变以及均值和趋势的双突变。

结构上的突变常常会使单位根检验的功效降低，即容易把带有结构突变的趋势平稳过程误判为单位根过程。

图19图20

图21香港月度GDP图22中国年人口总数

从而使单位根检验理论又开辟出两个新领域。

（1）为解决DF、ADF检验功效低的问题，提出退势单位根检验；

（2）为解决序列结构突变给单位根检验带来的影响，提出结构突变的单位根检验。

四．退势（detrending）单位根检验

时间序列中的趋势因素是导致DF、ADF检验检验功效降低的主要原因。

为了克服DF、ADF检验功效（testpower）低的缺陷，人们采取对待检时间序列退势的方法提高单位根检验功效。

主要有四种退势方法。

1．OLS退势

Sargan-Bhargava（1983）和Bhargava（1986）采取OLS退势方法，即用原序列对确定性时间趋势项进行OLS回归，然后利用冯纽曼比（VonNeumammratio）统计量对相应残差序列（OLS退势后的原序列）进行单位根检验。

Stock（1995）专门研究了时间序列中含有线性趋势项的情形。

Schmidt-Phillips（1992）专门研究了时间序列中含有多项式时间趋势项的情形，并提出广义冯纽曼比单位根检验（GeneralizedVonNeumammratiounitroottest）法。

OLS退势序列的单位根检验称作DF-OLS检验。

2．GLS退势

Eilliot（1996）提出GLS退势。

具体做法是首先对原序列、检验式中截距项对应的常数1序列与时间趋势序列用一个确定的参数（a=1-7/T与a=1-13.5/T）进行拟差分（quasi-difference）变换，利用拟差分序列进行广义最小二乘回归（GLS）继而得到回归系数的广义最小二乘估计量。

然后利用这个回归参数给原序列退势，进而用退势的序列进行单位根检验。

GLS退势序列的单位根检验称作DF-GLS检验。

3．KGLS退势

Eilliot在1996年提出GLS退势的基础上，又于1999年提出KGLS退势方法。

KGLS退势与GLS退势方法的不同点在于前者对序列做的是拟差分，而后者是对序列进行广义差分，即对第一个观测值进行Kadiyala（卡迪亚拉）增补。

KGLS退势序列的单位根检验称作DF-KGLS检验。

4．ROLS（递归OLS）退势

Shin-So（2001）和Taylor（2002）提出采用动态模型

的方式为待检验时间序列退势（是一个退势序列）。

上式运算过程中，不是用序列的样本平均数退均值，而是采用递归平均数退均值。

然后用b的递归OLS估计量对原序列进行ROLS（递归OLS）退势。

对序列先退势，然后作DF、ADF检验会在某种程度上提高检验功效。

四种退势方法与五种单位根检验方法相结合的检验功效比较。

我们用四种退势方法（OLS退势、GLS退势、KGLS退势、ROLS退势）与五种单位根检验方法（DF检验、ADF检验、RMA检验、WS检验、MAX检验）相组合，研究20种单位根检验方法的功效，结论是：

（1）用退势方法检验单位根比不用退势方法检验单位根的功效都有一定程度的提高；

（2）递归退势RMA（递归均值调整）单位根检验的功效最高；广义最小二乘退势DF（GLS-DF）单位根检验的功效次之；其他检验方法再次之。

（3）各种退势方法均不能有效地提高T（-1）统计量的检验功效。

五．结构突变序列的单位根检验

实践证明，对于在趋势或水平值存在结构突变的过程来说，如果不考虑这种突变，用ADF统计量检验单位根时，将会把一个带趋势突变或水平值突变的退势平稳过程误判为随机趋势非平稳过程。

即进行单位根检验时不考虑结构突变，会导致检验功效降低（实为退势平稳过程，检验结果却认为是单位根过程）。

1．Perron（1989,1990）方法

如果时间序列的结构突变点已知，那么采用在ADF检验式中加入描述结构突变的虚拟变量就可以了。

序列中含有多少个突变点，就相应加入多少个虚拟变量。

检验单位根的零假设是时间序列是含有结构突变点的单位根过程；备择假设是：

时间序列是含有结构突变点的趋势平稳过程。

检验用临界值从Perron（1989,1990）中查找。

例：

有T=100的均值突变平稳过程yt如图20。

ADF检验式估计结果是

Dyt=-0.0119yt-1-0.3656Dyt-1+ut

（-0.5）*（-3.8）

R2=0.14,DW=2.07,ADF（0.05）=-1.94,T=100

由于ADF检验式没有考虑均值突变，检验结果yt是单位根过程。

用虚拟变量（D=0，（1-50）；D=1，（51-100））区别突变前后两个时期，得ADF检验式如下：

Dyt=-0.9499yt-1+0.0126Dyt-1+0.2714+7.3115D+ut

（-5.9）*（-0.1）（1.5）（5.7）

R2=0.37,DW=1.84,ADF（0.05）=-1.94,T=100

因为ADF=-5.9<-1.94，所以，yt为带有均值突变的退势平稳过程。

2．Zivot-Andrews（1992）方法

Z-A,（1992）在Perron信息值离群（IO）检验式的基础上，取消结构突变点已知的约束，将其内生化。

检验式中含有描述内生结构突变的虚拟变量，并设定突变点在整个样本范围内移动，将得到一个单位根检验统计量序列。

从中选择最小的一个与临界值比较。

若大于临界值，则接受原假设，若小于临界值，则接受备择假设。

ZA检验零假设与Perron不同。

零假设是时间序列为不含有结构突变的单位根过程。

3．BLS（Banerjee-Lumsdaine-Stock,1992）方法

Banerjee,LumsdaineandStock,