Lingo 模型.docx

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Lingo模型

Lingo模型

Lingo是较好的最优化建模工具（详细使用说明见Lingo模型参考），Lingo模型由两部分组成：

（一）目标（objective）：

最优化目标。

（二）限制条件（constraint）.（下载网址：

）

1.我的食谱由四种食品组成:

果仁巧克力,冰淇淋,可乐,奶酪.一块果仁巧克力价格为50美分,一杯冰淇淋价格为20美分,一瓶可乐价格为30美分,一快奶酪价格为80美分.我每天的营养最低需求:

500卡路里,6盎司巧克力,10盎司糖,8盎司脂肪.四种食品的营养成分如下表:

卡路里

巧克力（盎司）

糖（盎司）

脂肪（盎司）

果仁巧克力（块）

400

3

2

2

巧克力冰淇淋（杯）

200

2

2

4

可乐（瓶）

150

0

4

1

奶酪（块）

500

0

4

5

试列出一份最节俭的食谱

〔讲评〕

师：

该问题的目标是什么？

生：

食谱中饮食的成本最低

师：

限制条件？

生：

满足每天卡路里，巧克力，糖，脂肪的最低需求

师：

选择哪些变量?

生：

果仁巧克力,冰淇淋,可乐,奶酪的数量

（参考模型:

lingo-LP1.lg4）

讨论：

如果巧克力冰淇淋的价格变为原来的两倍，食谱将如何改动？

练习：

1.1.你决意生产两种糖果:

硬糖和软糖,糖果仅由糖,坚果,和巧克力制成.你现在有100盎司糖,20盎司坚果,30盎司巧克力.软糖须含有至少20%的坚果.硬糖须含有至少10%的坚果和10%的巧克力.一盎司的软糖售价为25美分,一盎司的硬糖售价为20美分.试安排生产计划

（参考模型:

lingo-LP1－1.lg4）

1.2.某公司生产A,B,C三种产品,售价分别为:

A,$10;B,$56;C,$100.生产一单位A,需1小时的劳力;生产一单位B,需2小时的劳力加上2单位的A;生产一单位C,需3小时的劳力加上1单位的B.现有40小时的劳力,试安排生产计划.

（参考模型:

lingo-LP1－2.lg4）

2.Donovan公司生产一种电子产品.已知明年四季度的需求（须按时交货）:

季度1,4000件;季度2,2000件;季度3,3000件;季度4,10000件;公司员工每年有一个季度休假,每个员工年薪为$30,000,每季度最多可生产500件产品.每个季度末公司须为每件存货付存储费$30.公司现有600件产品,如何安排明年的生产?

〔讲评〕

师：

该问题的目标是什么？

生：

员工年薪与存储费总和最低

师：

限制条件？

生：

每季度初的库存与该季度生产量的和须满足该季度的需求

师：

如何表示员工总数?

生甲：

各季度上班的员工x

（1）,x

（2），x（3）,x（4）总和

生乙：

甲的总和是员工总数的3倍，因为每个员工工作3个季度。

师：

如何表示存储费?

生：

设计每季度末的库存变量

师：

如何表示每季度的产量?

生：

设计每季度每个员工的实际产量变量

（参考模型:

lingo-LP2.lg4）

讨论：

若每个季度上班员工数目相同，员工年薪与存储费总和将如何变化？

练习：

2.1.某公司须完成如下交货任务:

季度1,30件;季度2,20件;季度3,40件;每季度正常上班时间至多可生产27件,单位成本$40,加班时间的单位生产成本为$60.产品不合格率为20%,每季度剩下的合格产品（在存货时）中有10%被破坏,单位存货费为$15.已知现有20件合格产品,如何安排3季度的的生产?

（参考模型:

lingo-LP2－1.lg4）

3.某邮局每天需一定数量的全职员工:

星期一,17;星期二,13;星期三,15;星期四,19;星期五,14;星期六,16;星期日,11.全职员工连续工作5天后休息2天.

邮局须雇用多少全职员工?

〔讲评〕

师：

问题中如何设置变量？

生甲：

该问题跟模型2有点相似，将员工分为7种，分别为星期一开始上班（休假结束），星期二开始上班，．．．星期日上班，对应人数分别为x

（1）,x

（2）,…x（7）,这样星期一来上班的人数为：

x

（1）+x（4）+x（5）+x（6）+x（7）.

（参考模型:

lingo-LP3

（1）.lg4）

讨论：

假设邮局可要求员工加一天班,已知员工正常工作日薪为$50,加班工作日薪为$62.试定一最省钱的人事安排计划.

（参考模型:

lingo-LP3

（2）.lg4）

练习：

3.1.GothamCityNationalBank每周一至周五的9:

00—17:

00营业.银行对信贷员的需求量如下表:

时间段:

9-10

10-11

11-12

12-13

13-14

14-15

15-16

16-17

信贷员需求量

4

3

4

6

5

6

8

8

银行雇用两种信贷员:

全职信贷员（工作时间:

9:

00—17:

00,除去11:

00-12:

00或12:

00—13:

00的中餐时间）,时薪为$8（含中餐时间）;兼职信贷员,工作时间为连续3小时,时薪为$5.试定一最省钱的信贷员雇用计划.每天兼职信贷员总数不超过5个.

（参考模型:

lingo-LP3－1.lg4）

4.AlexisCornby靠买卖谷子为生.年初,他有50吨谷子和$10000,每月初他可以以下价格买进谷子:

一月,$300;二月,$350;三月,$400;四月,$500;每月末他可以以下价格卖出谷子:

一月,$350;二月,$450;三月,$350;四月,$550;Alexis的谷子存放于它的仓库内（仓库容量为100吨）.他买谷子时须付现金.试设计买卖计划.

讨论：

若买谷子的钱可延期一个月付款，买卖计划将发生何种变化？

（参考模型:

lingo-LP4.lg4）

5.有一块长为120厘米,宽为90厘米的矩形薄铁皮材料,现要剪一个长方体的展开图,做一个长方体模型.求长方体体积的最大值.

〔讲评〕

师：

设a,b,c分别是长方体的长，宽，高，a,b,c须满足什么条件?

生甲：

2a+b<120及2a+2c<90

生乙：

也可以是2a+b<90及2a+2c<120。

师：

试试看哪种情况体积大?

讨论：

在体积最大的前提下，哪种情况铁皮利用率大？

（参考模型:

lingo-LP5.lg4）

练习

5.1.如图,P,Q到河岸的距离分别为10,8,试选一点R,使得R到河岸的距离及RP,RQ的和最小.

P

Q

R

6

（参考模型:

lingo-LP5－1.lg4）

6.某工厂在计划内拟生产I,II两种产品,已知生产单位产品所需的设备台时及A,B两种原材料的消耗如下表:

I

II

总量

设备（台时）

3

4

36

原材料A（kg）

0

2

12

原材料B（kg）

1

0

8

该工厂生产一件产品I可获利3百元,生产一件产品II可获利5百元,

（1）应如何安排生产?

（2）若该工厂决定不生产,而将上述资源出租,问总租金应为多少?

〔讲评〕

师：

问题

（2）是相对于问题

（1）的影子价格问题，运行lingo-LP6.lg4后，在solutionreport中的dualcost栏中显示。

我们不妨假设，原材料A的单价为a百元/公斤，原材料B的单价为b百元/公斤，设备费为c百元/台时。

因为3台时设备和1公斤原料B可生产一件产品I,等价于可获利3百元，所以，3*c+b>3,同理，4*c+2*a>5.但是作为承租方希望总租金最少：

min=36*c+12*a+8*b.

讨论：

若增加1公斤原材料Ａ，总获利增加多少？

若市场上有x公斤的原材料出售，你愿以何种价格收购？

（参考模型:

lingo-LP6.lg4）

7.DocCouncilman正组建一支400米混合泳（自由泳,仰泳,蝶泳,蛙泳）接力队,有四位泳将,GARYHALL,MARKSPITZ,JIMMONTGOMERY,CHETJASTREMSKI,他们四项游泳项目成绩如下表,DocCouncilman应如何安排四位泳将的接力项目?

单位:

秒

自由泳

蛙泳

蝶泳

仰泳

GARYHALL

54

54

51

53

MARKSPITZ

51

57

52

52

JIMMONTGOMERY

50

53

54

56

CHETJASTREMSKI

56

54

55

53

〔讲评〕

师：

问题的目标是什么？

生甲：

接力赛成绩最好

师：

限制条件是什么？

生乙：

每人只能参加一项，每项都须有人参加。

师：

如何表示这种限制条件?

生甲：

设置一个4×4的选择矩阵（每个元素只能是1或0），矩阵每行每列的和均为1

师：

如何表示接力赛成绩？

生乙：

甲设的矩阵与成绩矩阵点乘（对应元素相乘）后对所有元素求和

（参考模型:

lingo-LP7.lg4）

8.四项工作指派给五个员工（每项工作只能由一人单独完成）,每人完成各项工作耗时如下表,如何指派使得完成四项工作总耗时最少?

工作1

工作2

工作3

工作4

员工1

22

18

30

18

员工2

18

-

27

22

员工3

26

20

28

28

员工4

16

22

-

14

员工5

21

-

25

28

（注:

横线表该员工不宜完成该项工作）

〔讲评〕

师：

碰到横线怎么办？

生：

设成很大的数

师：

5个人4项工作如何表示？

生：

每列的和为1（工作须有人做），每行的和小于或等于1（有机会不做）

（参考模型:

lingo-LP8.lg4）

9.已知森林具有6年的生长期,我们把森林中的树木按照高度分为6类,第一类树木的高度为[0,h1],它是树木的幼苗,其经济价值为p1=0,第k类树木的高度为[h（k-1）,h（k）],每一棵经济价值为p（k）,第六类树木的高度为[h5,∞],经济价值为p6.设每年对森林砍伐一次,且为了维持每年都有稳定的收获,只能砍伐部分树木,留下的树木和补种的幼苗,经过一年的生长期后,应该与上一次砍伐前的高度状态一致.再假设在一年的生长期内树木最多只能生长一个高度级,即第k类的树木可能进入k+1类（比例为g（k））,也可能停留在k类中.设g1=0.28,g2=0.32,g3=0.25,g4=0.23,g5=0.37,p2=50元,p3=100元,p4=150元,p5=200元,p6=250元.求出对其进行最优采伐的策略.

〔讲评〕

师：

如何描述砍伐前后森林高度状态的变化？

生：

设森林的总面积为1，6类高度树木分别为x

（1）,x

（2）,x（3）,x（4）,x（5）,x（6）,被砍掉的面积分别为y

（1）,y

（2）,y（3）,y（4）,y（5）,y（6）.x

（1）先变为x

（1）-y

（1）,由于补种树苗的原因，x

（1）变为x

（1）-y

（1）+（y

（1）+y

（2）+y（3）+y（4）+y（5）+y（6））,最后由于树木生长原因，

x

（1）变为（1－g1）×（x

（1）-y

（1）+（y

（1）+y

（2）+y（3）+y（4）+y（5）+y（6）））.x

（2）先变为x

（2）-y

（2），后由于树木生长原因x

（2）变为（1－g2）×（x

（2）-y

（2））+g1×（x

（1）－y

（1）+（y

（1）+y

（2）+y（3）+y（4）+y（5）+y（6）））。

同理，x（3）=（1-g3）×（x（3）-y（3））+g2*（x

（2）-y

（2））,…x（6）=（x（6）-y（6））+g5*（x（5）-y（5））

讨论：

修改p2,p3,p4,p5,p6,g1,g2,g3,g4,g5的值，看看砍伐策略的变化情况．

（参考模型:

lingo-LP9.lg4）

10.Chicago教育委员会为该城市的四条学生公交线路招标.四家公司做出如下竟标:

线路1

线路2

线路3

线路4

公司1

4000

5000

-

-

公司2

-

4000

-

4000

公司3

3000

-

2000

-

公司4

-

-

4000

5000

（a）假设每位竟标者至多可分配到一条线路,问委员会将如何招标?

（参考模型:

lingo-LP10a.lg4）

（b）假设每位竟标者至多可分配到两条线路,问委员会将如何招标?

（参考模型:

lingo-LP10b.lg4）

11.福特在L.A.和Detroit生产汽车,在Atlanta有一仓库,供应点为Houston和Tampa;城市间每辆汽车运输费用见下表.L.A.的生产能力为1100辆,Detroit的生产能力为2900辆.Houston汽车需求量为2400辆,Tampa汽车需求量为1500辆,

L.A

DETROIT

ATLANTA

HOUSTON

TAMPA

L.A.

0

140

100

90

225

DETROIT

145

0

111

110

119

ATLANTA

105

115

0

113

78

HOUSTON

89

109

121

0

-

TAMPA

210

117

82

-

0

如何确定运输和生产方案,才能满足Houston和Tempa的需求且费用最低.

〔讲评〕

师：

这个问题是否很简单？

生甲：

这是一个从L.A.和Detroit到Houston和Tampa城市间的汽车运输问题，仓库Atlanta完全多余

生乙：

仓库Atlanta可降低运费，例如，从L.A.经过Atlanta到达Tampa比从L.A.直接到达Tampa便宜

师：

这是运输问题中的转运问题，任何一个地点都可以输入也可以输出。

生产点（L.A.和Detroit），仓库（Atlanta），需求点（Houston和Tampa）的输入和输出须满足什么条件？

生：

生产点，输入减输出等于产量；仓库，输入等于输出；需求点，输出减输入等于需求量。

（参考模型:

lingo-LP11.lg4）

12.设有三个化肥厂供应四个地区的农用化肥.假定等量的化肥在这些地区使用效果相同.各化肥厂年产量,各地区年需要量及从各化肥厂到各地区运送单位化肥的运价（万元/万吨）如下表所示.试求出总的运费最省的化肥调拨方案.

需求地区

化肥厂

I

II

III

IV

产量（万吨）

A

16

13

22

17

50

B

14

13

19

15

60

C

19

20

23

禁止

50

最低需求（万吨）

30

70

0

10

最高需求（万吨）

50

70

30

不限

〔讲评〕

师：

地区IV最高需求为不限，是不是无限大的意思？

生甲：

是的

生乙：

不是，地区IV最多可得到（50+50+60）（总产量）-（70+30）（其它地区最小需求）＝60

（参考模型:

lingo-LP12.lg4）

13.某航运公司承担6个港口城市A,B,C,D,E,F的四条固定航线的物资运输任务.已知各条航线的起点,终点城市及每天航班数见下表:

航线

起点城市

终点城市

每天航班数

1

E

D

3

2

B

C

2

3

A

F

1

4

D

B

1

假定各条航线使用相同型号的船只,由各城市间的航程天数见下表:

到

从

A

B

C

D

E

F

A

0

1

2

14

7

7

B

1

0

3

13

8

8

C

2

3

0

15

5

5

D

14

13

15

0

17

20

E

7

8

5

17

0

3

F

7

8

5

20

3

0

又知每条船只每次装卸货物的时间各需1天,则该航运公司至少应配备多少条船,才能满足所有航线的运货要求.

〔讲评〕

师：

若城市x（起点）,y（终点）间航程为4天，每条船只每次装卸货物的时间各需1天，空船从空船从y到x只需2天，每天航班数为5，应配备多少条船？

生甲：

5条

生乙：

若一天发出5条船，第二天便没船可发，应备5×（4+2）＝30条

生丙：

6天过后，离开x的船还没回来，应备5×（4+2+2）＝40条

师：

该题中4条航线需多少船？

生甲：

3×（17+2）+2×（3+2）+（7+2）+（13+2）=91

生乙：

91条不够，城市E处的船只够19天（51条），E,每天需3条空船。

同理，A和B每天均需1条船;而C,D，F处每天分别多出2,2,1条船。

生丙：

这这正好是一个C,D，F到E,A,B的运输问题。

（参考模型:

lingo-LP13.lg4）

14.Indianapolis航空公司计划每天从Indianapolis飞6个航班,计划目的地为:

NewYork,LosAngeles,或Miami.下表列出各航线的日收益与航班次数的关系.

航班次数

1

2

3

4

5

6

NEWYORK

$80

$150

$210

$250

$270

$280

LOSANGELES

$100

$195

$275

$325

$300

$250

MIAMI

$90

$180

$265

$310

$350

$320

试帮该公司确定航线和相应的航班次数.

［讲评］

师：

如果，NEWYORK飞3个航班，LOSANGELES飞2个航班，MIAMI只能飞1个航班了，如何用数据表示这种安排（有利于收益的计算，及限制条件的表示）

生：

上述安排对应于下表：

航班次数

1

2

3

4

5

6

NEWYORK

0

0

1

0

0

0

LOSANGELES

0

1

0

0

0

0

MIAMI

1

0

0

0

0

0

1表示选择，0表示不选．

正好可以设计一个选择矩阵（3行6列）

（参考模型:

lingo-LP14.lg4）

15.某种机器可在高低两种不同的负荷下进行生产,设机器在高负荷下生产的年产量函数为:

y=8x,（x:

投入生产的机器台数）,年完好率为0.7;机器在低负荷下生产的年产量函数为:

y=5x,（x:

投入生产的机器台数）,年完好率为0.9;假定开始生产时完好的机器数量为1000台,试问每年如何安排机器在高,低负荷下的生产,使在五年内生产的产品总产量最高.

讨论：

如果5年末完好机器数必为500台,又将如何?

（参考模型:

lingo-LP15.lg4）

16.某工厂要对一种产品制定今后四个时期的生产计划,据估计在今后四个时期内,市场对于

该产品的需求量如表所示,假定该厂生产每批产品的固定成本为3（千元）,若不生产为0;

每单位产品成本为1（千元）;每个时期生产能力所允许的最大生产批量为不超过6个单位;

每个时期末未售出的产品,每单位需存储费0.5（千元）.还假定在第一个时期的初始储存

量为0,第四个时期之末的库存量也为0.试问如何安排各个时期的生产与库存,才能在满足

市场需要的条件下,使总成本最小.

时期

1

2

3

4

需求（单位）

2

3

2

4

［讲评］

师：

如何处理生产固定成本？

生：

设计一个生产判断变量数组x,若生产则x（i）为1，不生产则x（i）为0

师：

如何表示每个时期的产量？

生：

设计一个产量数组y,x（i）*y（i）则为第i时期的产量。

（参考模型:

lingo-LP16.lg4）

17.下图为一网络，节点1到节点2的宽带带宽为6兆，节点1到节点3的宽带带宽为2兆，节点2到节点4的宽带带宽为3兆，…节点4到节点6的宽带带宽为2兆，求节点1到节点6的最大网速。

3

2

6

3

7

1

7

2

［讲评］

师：

节点1到节点6的最大网速受什么限制？

生甲：

受节点1输出宽带带宽的限制。

生乙：

还受中间节点2，3，4，5输入和输出宽带带宽的限制。

生丙：

中间节点的输入等于输出。

师：

如何表示节点1到节点6的最大网速？

生：

节点1的输出或节点6的输入。

讨论：

若想提高节点1到节点6的最大网速x兆，如何实现？

（参考模型:

lingo-LP17.lg4）

18.在网络传输过程中有时得考虑费用问题，下表中的单位成本是指流经该宽带单位流量的费用，考虑从节点1到节点5的最小费用最大流。

宽带

（1,2）

（1,3）

（2,4）

（2,5）

（3,2）

（3,4）

（4,5）

带宽

10

8

2

7

5

10

4

单位成本

4

1

6

1

2

3

2

（参考模型:

lingo-LP18.lg4）

19.某项研制新产品的各个工序,工序所需时间及相应费用,工序极限时间及相应费用,以及工序之间的相互关系如表:

工序代号

正常情况

采取措施后

缩短一天工期代价

紧后工序

正常时间（天）

直接费用

极限时间（天）

直接费用

a

60

10000

60

10000

--

b,c,d,e

b

45

4500

30

6300

120

l

c

10

2800

5

4300

300

f

d

20

7000

10

11000

400

g,h

e

40

10000

35

12500

500

h

f

18

3600

10

5440

230

l

g

30

9000

20

12500

350

k

h

15

3750

10

5750

400

l

k

25

6250

15

9150

290

l

l

35

12000

35

12000

--

l

研制过程中每天间接费用为400元.

（1）试作出流程图，并求出正常情况最早完工时间

〔讲评〕

x

师：

我们通常用

来表示工序x.

0

f

h

l

k

g

c

b

e

d

a

工序（3，6）是虚拟工序，仅用来表示h须在d结束后才能开始。

我们通常在各节点处摆放一个记时器，定t

（1）=0,t

（2）为以节点2为起点的工序中最早开始动工的时刻，t（3）为以节点3为起点的工序中最早开始动工的时刻，…t（8）为完工时间。

请问，t（5）,t（7）间需满足什么关系？

生：

t（5）-t（7）大于工序f所需时间。

师：

正常情况最早完工时间怎么表示？

生：

就是t（8）的最小值

（参考模型:

lingo-LP19

（1）.lg4）

（2）求最短工期下的最低费用.（参考模型:

lingo-LP19

（2）.lg4）

（3）求最低费用下的最短工期.（参考模型:

lingo-LP19（3）.lg4）

20.如下图所示，节点间的线段表示某小区的弄堂，线段旁的数字表示弄堂的长度。

邮局在其中某个节点，请设计邮递员投递路线。

2

4

6

4

3

4

9

5

5

〔讲评〕

师：

问题的目标是什么？

生：

邮递员投递线路最短。

师：

邮递员投递线路的长度是否等于所有弄堂的长度和？

生：

不是，每条弄堂仅过一遍