G第一讲 简谐运动.docx

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G第一讲简谐运动

第一讲简谐运动

1．机械振动

（1）机械振动是物体在某一位置附近的往复运动.这一位置叫做平衡位置.

（2）这种往复运动是因为物体受到了相应的力，该力总是把试图离开平衡位置的物体拉向平衡位置，叫做回复力.这是物体做机械振动的条件.

2．简谐运动

（1）简谐运动是最简单的机械振动形式，因为做简谐运动的物体受到的回复力与该物体离开平衡位置的位移成正比.

（2）现阶段我们总是从振动质点的受力情况来确定物体是否做简谐运动，并总是选择平衡位置作为参考点，从平衡位置指向物体所在的位置的有向线段叫做振动质点的位移.考虑到位移的方向，我们可以把回复力写成下面的形式：

F=-kx

利用上式就能确定物体做简谐运动.步骤是：

首先分析物体的受力，再求出物体在振动方向上的合力，看该合力的方向是否指向平衡位置、是否与位移成正比。

满足了这点，物体不做简谐运动都不行了.

要注意的是：

回复力也是根据效果来命名的，一个单独的力、几个力的合力、某个力的分力都可以担当回复力.

（3）当物体做简谐运动时，运动的周期是完成一次全振动所用的时间。

计算周期的公式是：

（固有周期）

全振动是指：

从物体在某一位置的运动开始，直到物体下一次以相同的速度（或动量）到达该位置的过程.

（4）若简谐运动的位移图象为图所示

那么该振动图象的解析式是：

用余弦函数表示就是

其中A叫做简谐运动的振幅,意义是:

质点离开平衡位置的最大位移,

叫做圆频率,在以余弦表达的关系式中

叫做初相,

叫做相位.任意简谐运动都可以表示成为这样的形式：

就是初相，表示振子的初始状态。

（5）理想化的弹簧振子模型：

一根光滑的水平细杆上套一轻弹簧，弹簧一端固定，另一端连一小球，小球也套在细杆上.通过拉小球把弹簧拉变形后松开小球，小球就在水平杆上振动起来.此时，小球就做简谐运动，因为它受到的回复力恰好就是弹簧形变后的力，由胡克定律确定：

，负号表示力的方向与振子的位移相反.

弹簧振子的位置与速度（动量）随时间周期性变化，其振动的总机械能不变，但是动能与弹性势能在不断相互转化.在弹簧的形变最大时，具有最大的弹性势能而动能最小；在振子经过平衡位置时，动能最大而势能最小.要注意到的是，能量转化的周期只有简谐运动周期的一半.

（6）简谐运动的周期性与对称性是高考考查的难点知识,特别是对称性体现在:

平衡位置两侧的运动是对称的.

（7）受迫振动是物体在周期性外力作用下的振动,此周期性外力叫做驱动力.共振是当驱动力频率与物体固有振动频率接近时发生的受迫振动.

应用：

一、确定物体做简谐运动的方法

分析物体所受到的力,看物体在振动方向上受到的回复力是否满足简谐运动的要求.

二、对称性与周期性

对于振动问题,经常会遇到周期性与对称性分析.解决的办法是画出振子运动的往复路径或者利用振动图象,这可以从不同角度直观反映简谐运动的周期性与对称性.

【例1】如图所示，物体m系在两弹簧之间,弹簧的劲度分别为k1和k2,且k2=2k1=2k..开始两弹簧均处于自然状态,今向右拉动m,然后释放,物体在B、C之间振动,O为平衡位置,不计阻力,则下列判断正确的是:

（）

A．m做简谐运动,且OC=OB

B．m做简谐运动,且OC

OB

C.回复力F=-kx

D.回复力F=-3kx

【例2】如图为一弹簧振子的振动图象,求

（1）从计时开始经过多少时间第一次达到弹性势能最大?

（2）在第2s末到第3s末这段时间内,弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的?

（3）该振子在前100s的总位移是多少?

路程是多少?

【例3】如图图为一做简谐运动的质点的位移时间图象,则该质点（）

A．在0.015s时刻,速度和加速度都为-x方向

B．在0.01s至0.03s内,速度和加速度先反方向后同方向,且速度是先减小后增大,加速度是先增大后减小

C．在第8个0.01s内,速度与位移方向相同,且都在不断增大

D．在每1s内,回复力的瞬时功率有100次为零

课堂练习

1．一弹簧振子做简谐运动,则下列说法正确的是（）

A．若位移为负,则速度一定为正值

B．振子通过平衡位置时,速度为零,加速度为最大

C．振子每次通过平衡位置时,加速度相同,速度也一定相同

D．振子每次通过同一位置时,其速度不一定相同,但加速度一定相同.

2．如图轻弹簧的一端固定在地面上,另一端与木板

B相连,木板A放在B上,两木板质量均为m,现加竖直

向下的力F作用于A,A与B均静止.问:

（1）将力F瞬间撤除后,两木板共同运动到最高点时,B对A的弹力多大?

（2）要使两板不会分开,F应该满足什么条件?

3．一弹簧振子做简谐运动,周期为T（）

A．若

时刻与（t+Δt）时刻振子运动位移大小相等,方向相同,则Δt一定是T的整数倍

B．若

时刻与（t+Δt）时刻振子运动速度大小相等,方向相反,则Δt一定是T/2的整数倍

C．若Δt=T,,则在t时刻与（t+Δt）时刻振子运动的加速度一定相等

D．若Δt=T/2,,则在t时刻与（t+Δt）时刻弹簧的长度一定相等

4．在接近收费口的道路上安装了若干条凸起于路面且与行驶方向垂直的减速带,减速带间距为10m,当车辆经过减速带时会产生振动,若某汽车的固有频率为1.25Hz,则当该车以m/s的速度在此减速区行驶时颠簸得最厉害,我们把这种现象叫做.

5．一弹簧振子在A、B间做简谐运动,O为平衡位置,如图甲所示.图乙是位移图象.对于加速度a和速度v,正确的图象是（）

6．弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动,在振子向平衡位置运动的过程中（）

A．振子所受回复力逐渐增大

B．振子的位移逐渐增大

C．振子的速度逐渐减小

D．振子的加速度逐渐减小

7．公路上匀速行驶的货车受一扰动,车上货物随车厢底板上下振动.一段时间内货物在竖直方向上的振动可以视为简谐运动,周期为T,取竖直向上为正方向,以某时刻作为计时起点,即t=0,其振动图象如图则:

（）

A．t=T/4时,货物对车厢底板的压力最大

B．t=T/2时,货物对车厢底板的压力最小

C．t=3T/4时,货物对车厢底板的压力最大

D．t=3T/4时,货物对车厢底板的压力最小

单摆、振动中的能量

一、单摆

1、单摆：

在细线的一端挂上一个小球，另一端固定在悬点上，如果线的伸缩和质量可以忽略，球的直径比线长短得多，这样的装置叫做单摆．这是一种理想化的模型，一般情况下细线（杆）下接一个小球的装置都可作为单摆．

2、单摆振动可看做简谐运动的条件是：

在同一竖直面内摆动,摆角θ＜100．

3、单摆振动的回复力是重力的切向分力，不能说成是重力和拉力的合力。

在平衡位置振子所受回复力是零，但合力是向心力，指向悬点，不为零。

4、单摆的周期：

当l、g一定，则周期为定值T=2π

，与小球是否运动无关．与摆球质量m、振幅A都无关。

其中摆长l指悬点到小球重心的距离，重力加速度为单摆所在处的测量值。

要区分摆长和摆线长。

5、小球在光滑圆弧上的往复滚动，和单摆完全等同。

只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动。

这时周期公式中的l应该是圆弧半径R和小球半径r的差。

6、秒摆：

周期为2s的单摆．其摆长约为lm.

【例1】如图为一单摆及其振动图象，回答：

（1）单摆的振幅为，频率为，摆长为，一周期内位移x（F回、a、Ep）最大的时刻为．

解析：

由纵坐标的最大位移可直接读取振幅为3crn．横坐标可直接读取完成一个全振动即一个完整的正弦曲线所占据的时间．轴长度就是周期T=2s，进而算出频率f=1/T=0.5Hz，算出摆长l=gT2/4π2=1m·

从图中看出纵坐标有最大值的时刻为0．5s末和1．5s末．

（2）若摆球从E指向G为正方向，α为最大摆角，则图象中O、A、B、C点分别对应单摆中的点．一周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是。

势能增加且速度为正的时间范围是．

解析：

图象中O点位移为零，O到A的过程位移为正．且增大．A处最大，历时1/4周期，显然摆球是从平衡位置E起振并向G方向运动的，所以O对应E，A对应G．A到B的过程分析方法相同，因而O、A、B、C对应E、G、E、F点．

摆动中EF间加速度为正，且靠近平衡位置过程中加速度逐渐减小，所以是从F向E的运动过程，在图象中为C到D的过程，时间范围是1．5—2．0s间

摆球远离平衡位置势能增加，即从E向两侧摆动，而速度为正，显然是从E向G的过程．在图象中为从O到A，时间范围是0—0．5s间．

（3）单摆摆球多次通过同一位置时，下述物理量变化的是（）

A．位移；B．速度；C．加速度；D．动量；E．动能；F．摆线张力

解析：

过同一位置，位移、回复力和加速度不变；由机械能守恒知，动能不变，速率也不变，摆线张力mgcosα＋mv2/L也不变；由运动分析，相邻两次过同一点，速度方向改变，从而动量方向也改变，故选B、D．

如果有兴趣的话，可以分析一下，当回复力由小变大时，上述哪些物理量的数值是变小的？

从

（1）、

（2）、（3）看出，解决此类问题的关键是把图象和实际的振动—一对应起来．

（4）当在悬点正下方O/处有一光滑水平细钉可挡住摆线，且

＝¼

．则单摆周期为s．比较钉挡绳前后瞬间摆线的张力．

解析：

放钉后改变了摆长，因此单摆周期应分成钉左侧的半个周期，前已求出摆线长为lm，所以T左=π

=1s：

钉右侧的半个周期T右＝π

=0．5s，所以T＝T左十T右=1．5s．

由受力分析，张力T=mg＋mv2/L，因为钉挡绳前后瞬间摆球速度不变，球重力不变，挡后摆线长为挡前的1/4．所以挡后绳张力变大．

（5）若单摆摆球在最大位移处摆线断了，此后球做什么运动？

若在摆球过平衡位置时摆线断了，摆球又做什么运动？

解析：

问题的关键要分析在线断的时间，摆球所处的运动状态和受力情况．在最大位移处线断，此时球速度为零，只受重力作用，所以球做自由落体运动．在平衡位置线断，此时球有最大水平速度，又只受重力，所以做平抛运动．

【例2】有一个单摆，其摆长l=1．02m，摆球的质量m＝0．1kg，从和竖直方向成摆角θ=40的位置无初速度开始运动（如图所示），问：

（1）已知振动的次数n＝30次，用了时间t＝60．8s，重力加速度g多大？

（2）摆球的最大回复力多大？

（3）摆球经过最低点时速度多大？

（4）此时悬线拉力为多大？

（5）如果将这个摆改为秒摆，摆长应怎样改变？

为什么？

（取sin40＝0．0698，cos40＝0．9976，π＝3．14）

【解析】

（1）θ＜50，单摆做简谐运动，其周期T=t/n=60．8/30s＝2·027s，根据T=2

得，g=4×π×1．02/2．0272=9．791m/s2。

（2）最大回复力为F1＝mgsin4o=0．1×9．791×0．0698N＝0．068N

（3）单摆振动过程中，重力势能与动能互相转化，不考虑阻力，机械能守恒，其总机械能E等于摆球在最高处的重力势能E，或在最低处的速度v＝

=0．219m/s。

（4）由T－mg=mv2/L得

悬线拉力为T=mg十mv2/L=0．l×10十0．l×0．2l92/1．02＝0．52N

（5）秒摆的周期T=2s，设其摆长为L0，根据T=2

得，g不变，

则T∝

即T∶T0=

∶

故L0=T02L/T2=22×l．02/2．0272=0．993m，

其摆长要缩短ΔL＝L—L0＝l．02m—0．993m=0．027m

二、振动的能量

1、对于给定的振动系统，振动的动能由振动的速度决定，振动的势能由振动的位移决定，振动的能量就是振动系统在某个状态下的动能和势能的总和．

2、振动系统的机械能大小由振幅大小决定，同一系统振幅越大，机械能就越大．若无能量损失，简谐运动过程中机械能守恒，做等幅振动．

3、阻尼振动与无阻尼振动

（1）振幅逐渐减小的振动叫做阻尼振动．

（2）振幅不变的振动为等幅振动，也叫做无阻尼振动．

注意：

等幅振动、阻尼振动是从振幅是否变化的角度来区分的，等幅振动不一定不受阻力作用．

4.受迫振动

（1）振动系统在周期性驱动力作用下的振动叫做受迫振动．

（2）受迫振动稳定时，系统振动的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关．

5.共振

（1）当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时，物体的振幅最大的现象叫做共振．

（2）条件：

驱动力的频率等于振动系统的固有频率．

（3）共振曲线．如图所示．

【例3】行驶着的火车车轮，每接触到两根钢轨相接处的缝隙时，就受到一次撞击使车厢在支着它的弹簧上面振动起来．已知车厢的固有同期是0．58s，每根钢轨的长是12．6m，当车厢上、下振动得最厉害时，火车的车速等于m／s．

解析：

该题应用共振的条件来求解．火车行驶时，每当通过铁轨的接缝处就会受到一次冲击力，该力即为策动力．当策动周期T策和弹簧与车厢的国有周期相等时，即发生共振，即T策＝T固＝0．58s………①T策=t=L/v……②

将①代入②解得v=L/0．58=21．7m／s答案：

21．7m／s

规律方法1、单摆的等效问题

①等效摆长：

如图所示，当小球垂直纸面方向运动时，摆长为CO．

②等效重力加速度：

当单摆在某装置内向上运动加速度为a时，

T＝2π

；当向上减速时T=2π

，影响回复力的等效加速度可以这样求，摆球在平衡位置静止时，摆线的张力T与摆球质量的比值．

【例4】如图所示，在光滑导轨上有一个滚轮A，质量为2m，轴上系一根长为L的线，下端悬挂一个摆球B，质量为m，设B摆小球作小幅度振动，求振动周期。

【分析】将2m的A球和m的B球组成系统为研究对象，系统的重心O点可视为单摆的悬点，利用水平方向动量守恒可求出等效摆长。

【解析】A和B两物体组成的系统由于内力的作用，在水平方向上动量守恒，因此A和B速度之比跟质量成反比，即vA/vB=mB/mA=1/2．因此A和B运动过程中平均速度

/

=1/2，亦即位移SA/SB＝1/2。

，

因为ΔOAA/∽ΔOBB/，则OB/OA＝2/1。

对B球来说，其摆长应为2/3L，因此B球的周期T＝2

。

说明：

据动量守恒条件，2m在A位置时，m在B位置，当2m运动到A/时，m运动到B/。

【例5】如图所示，三根细线OA,OB,OC结于O点，A,B端固定在同一水平面上且相距为L，使AOB成一直角三角形，∠BAO=300，已知OC绳长也为L，下端C点系一个可视为质点的小球，下面说法中正确的是

A、当小球在纸面内做小角度振动时,周期为：

B.当小球在垂直纸面方向做小角度振动时，周期为

C.当小球在纸面内做小角度振动时，周期为

D.当小球在垂直纸面内做小角度振动时，周期为

解析:

当小球在纸面内做简谐振动时，是以0点为圆心,OC长L为半径做变速圆周运动，OA和OB绳没有松弛，其摆长为L,所以周期是

；当小球在垂直于纸面的方向上做简谐振动时，摆球是以OC的延长线与AB交点为圆心做振动,其等效的摆长为L十Lsin600/2=L十

L/4,其周期为

故选A.

拓展:

若将上题中的小球改为装满沙子的漏斗，在漏斗摆动的过程中，让沙子匀速的从漏斗底部漏出，则单摆的周期如何变化?

（因沙子遂渐漏出，其重心的位置先下移后上升，等效摆长先增加后减小，所以周期先变长后减小）。

【例5】在图中的几个相同的单摆在不同的条件下，关于它们的周期关系，判断正确的是（）

A、T1＞T2＞T3＞T4；B、T1＜T2=T3＜T4

C、T1＞T2=T3＞T4、；、D、T1＜T2＜T3＜T4

【解析】单摆的周期与重力加速度有关．这是因为是重力的分力提供回复力．当单摆处于

（1）图所示的条件下，当摆球偏离平衡位置后，是重力平行斜面的分量（mgsinθ）沿切向分量提供回复力，回复力相对竖直放置的单摆是减小的，则运动中的加速度减小，回到平衡位置的时间变长，周期T1＞T3．对于

（2）图所示的条件，带正电的摆球在振动过程中要受到天花板上带正电小球的斥力，但是两球间的斥力与运动的方向总是垂直，不影响回复力，故单摆的周期不变，T2=T3．在（4）图所示的条件下，单摆与升降机一起作加速上升的运动，也就是摆球在该升降机中是超重的，相当于摆球的重力增大，沿摆动的切向分量也增大，也就是回复力在增大，摆球回到相对平衡的位置时间变短，故周期变小，T4＜T3．综上所述，只有C选项正确．

点评：

对于单摆的周期公式，在摆长不变的条件下，能影响单摆振动的周期的因素就是运动过程中的回复力发生的变化，回复力增大，周期变小，回复力变小，周期变大．这是判断在摆长不变时单摆周期变化的唯一

2、摆钟问题

单摆的一个重要应用就是利用单摆振动的等时性制成摆钟。

在计算摆钟类的问题时，利用以下方法比较简单：

在一定时间内，摆钟走过的格子数n与频率f成正比（n可以是分钟数，也可以是秒数、小时数……），再由频率公式可以得到：

【例6】有一摆钟的摆长为ll时，在某一标准时间内快amin。

若摆长为l2时，在同一标准时间内慢bmin。

，求为使其准确，摆长应为多长？

（可把钟摆视为摆角很小的单摆）。

【解析】设该标准时间为ts，准确摆钟摆长为lm，走时快的钟周期为T1s，走慢时的周期为T2s，准确的钟周期为T3。

不管走时准确与否，钟摆每完成一次全振动，钟面上显示时间都是Ts。

（法一）由各摆钟在ts内钟面上显示的时间求解，

对快钟：

t＋60a=

T；对慢钟：

t—60a=

T

联立解，可得

=

=

最后可得L=

。

（法二）由各摆钟在ts内的振动次数关系求解：

设快钟的ts内全振动次数为nl，慢钟为n2，准确的钟为n。

显然，快钟比准确的钟多振动了60a/T次，慢钟比准确的钟少振动60b/T次，故：

对快钟：

nl＝t/T1＝n＋60a/T＝t/T+60a/T

对慢钟：

n2＝t/T2＝n－60b/T＝t/T－60b/T

联解①②式，并利用单摆周期公式T＝2

同样可得L=

点窍：

对走时不准的摆钟问题，解题时应抓住：

由于摆钟的机械构造所决定，钟摆每完成一次全振动，摆钟所显示的时间为一定值，也就是走时准确的摆钟的周期T。

3、单摆的综合应用

【例7】图中两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好触．现将摆球A在两摆线所在平面向左拉开一小角度后释放，碰撞后，两球分开各自做简谐运动．以mA、mB分别表示摆球A、B的质量，则（）

A．如果mA＞mB，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧

B．如果mA＜mB，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧

C．无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧

D．无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧

解析：

由于两球线长相等,所以两球做单摆运动的周期必然相等.两球相碰后有这几种可能:

①碰后两球速度方向相反,这样两球各自到达最高点再返回到平衡位置所用的时间相等,故两球只能在平衡位置相遇;②碰后两球向同一方向运动,则每个球都先到达最大位移处然后返回平衡位置,所用的时间也都是半个周期,两球仍只能在平衡位置相遇;③碰后一球静止,而另一球运动,则该球先到最大位移又返回到平衡位置,所用时间还是半个周期,在平衡位置相遇.

因此，不管mA＞mB，还是mA＜mB还是mA＝mB，无论摆球质量之比为多少，下一次碰撞都只能发生在平衡位置，也就是说不可能发生在平衡位置的右侧或左侧，所以选项C、D正确．

拓展:

两球的碰撞是否是弹性碰撞?

【例8】如图所示，两个完全相同的弹性小球1,2，分别挂在长L和L/4的细线上，重心在同一水平面上且小球恰好互相接触，把第一个小球向右拉开一个不大的距离后由静止释放，经过多长时间两球发生第10次碰撞？

解析:

因将第1个小球拉开一个不大的距离，故摆动过程应符合单摆的周期公式有

，

系统振动周期为

，在同一个T内共发生两次碰撞，球1从最大位移处由静止释放后．经

发生10次碰撞，且第10次碰后球1又摆支最大位移处.

【例9】如图所示，AB为半径R=7.50m的光滑的圆弧形导轨，BC为长s＝0.90m的光滑水平导轨，在B点与圆弧导轨相切,BC离地高度h＝1.80m，一质量m1＝0.10kg的小球置于边缘C点，另一质量m2＝0.20kg的小球置于B点，现给小球m1一个瞬时冲量使它获得大小为0.90m/s的水平向右速度，当m1运动到B时与m2发生弹性正碰，g取10m/s2，求：

（1）两球落地的时间差Δt；

（2）两球落地点之间的距离Δs

解析:

（1）m1与m2发生弹性正碰，则设碰后m1和m2速度分别为v1/和v2/，有

得v1＝一0.3m/s,v'2=0.6m/s

可见m1以0.3m/s速度反弹，从B到C,t=s/v1/=3s,m2以0.6m/s速度冲上圆弧轨道，可证明m2运动可近似为简谐运动，在圆弧上运动时间为

＝2.72s,再从B到C,t2=s/v2/=1.5s则△t＝t2＋T/2一t1=1.22s.

（2）利用平抛运动知识不难求得△s＝0.18m.

【例10】在长方形桌面上放有：

秒表、细绳、铁架台、天平、弹簧秤、钩码，怎样从中选取器材可较为准确地测出桌面面积S？

并写出面积表达式．

【解析】用细绳量桌面长，并用此绳（包括到钩码重心）、钩码、铁架台做成单摆，由秒表测出其振动周期T1；同理量桌面宽，做单摆，测出周期T2．答案：

S=

试题展示

1、一单摆的摆长为L，摆球的质量为m，原来静止，在一个水平冲量I作用下开始摆动．此后，每当摆球经过平衡位置时，便给它一个与其速度方向一致的冲量I，求摆球经过多长时间后其摆线与竖直方向间的夹角可以达到α？

（α≤50，不计阻力，所施冲量时间极短）

解析：

设摆球经过平衡位置的次数为n，则摆球达最大偏角α时需用时间

t=（n—l）

十

…………①

由动量定理和机械能守恒定律得：

nI＝mv………②

½mv2=mgl（1－cosα）………③

单摆周期

………④

联立①－④式得：

2、如图所示，a、b、Co质量相等的三个弹性小球（可视为质点），a、b分别悬挂在L1=1.0m，L2=0.25m的轻质细线上，它们刚好与光滑水平面接触而不互相挤压，ab相距10cm。

若c从a和b的连线中点处以v0=5cm/s的速度向右运动，则c将与b和a反复碰撞而往复运动。

已知碰撞前后小球c均沿同一直线运动，碰撞时间极短，且碰撞过程中没有机械能损失，碰撞后a和b的摆动均可视为简谐振动。

以c球开始运动作为时间零点，以向右为正方向，试在图中画在l0s内C、b两球运动的位移—时间图像，两图像均以各自的初位置为坐标原点。

（运算中可认为

）

【答案】如图

3、有几个登山运动员登上一无名高峰，但不知此峰的高度，他们想迅速估测出高峰的海拔高度，但是他们只带了一些轻质绳子、小刀、小钢卷尺、可当作秒表用的手表和一些食品，附近还有石子、树木等，其中一个人根据物理知识很快就测出了海拔高度，请写出测量方法，需记录的数据，推导出计算高峰的海拔高度的计算式．

解析:

用细线和小石块做一个单摆，量出摆线长L1，并测出单摆周期T1.设小石块重心到细线与小石块的连接处的距离为d，则

改变摆线长为L2,测出周期T2，则

可得当地重力加速度为

又由

，得