数学在经济方面的应用举例大学毕业论文.doc
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内蒙古工业大学本科毕业论文
学校代码：
10128
学号：
200820905043
本科毕业论文
（
题目：
数学在经济方面的一些应用
学生姓名：
王鉴
学院：
理学院
系别：
数学系
专业：
信息与计算科学
班级：
信计08-2
指导教师：
周凤玲副教授
二〇一二年六月
3
摘要
在经济迅猛发展的今天，数学在经济上的应用越来越重要，数学越来越被人们关注并加以应用，并产生了事半功倍的效果.不敢预测也不可能断言，在未来的经济学理论研究中数学会占据统治地位，但是数学越来越渗透到经济学研究中并且发挥着越来越重要的作用已成为事实.而且还应当说，经济学不仅应用了数学，而且还会不断地应用着数学中最新的成果.因为数学家也在致力于解决能够描述复杂现象的数学.经济学家与数学家的合作，将会推动经济学与数学的共同发展.
本文通过大量资料，采用研究总结与案例结合的方法，阐述了数学在经济方面的应用的应用历程以及数学在经济方面的重要应用与出现的问题；探讨了微分、积分、导数等方面在经济中的应用，并论证了数学在经济方面作用，得出了未来数学将在经济领域起到的作用会越来越大.
关键词：
微分；积分；导数；经济
目录
引言 1
第一章数学在经济学中的应用历程及作用 2
1.1数学在经济学中的应用历程 2
1.2数学在经济方面重要的作用 3
1.2.1早期数学在经济方面的重要作用 3
1.2.2近代数学在经济方面重要的应用 4
1.3经济数学化下的走向 6
第二章数学在经济方面的一些应用 8
2.1导数在经济中的应用 8
2.1.1导数的概念 8
2.1.2导数在经济方面的应用 8
2.2微分在经济方面的一些应用 10
2.2.1微分的概念 10
2.2.2微分在经济方面的一些应用 10
2.3积分在经济方面的应用 11
2.3.1积分的概念 11
2.3.2积分在数学方面的应用 12
2.4多元函数的应用 20
2.4.1多元函数的定义 20
2.4.2多元函数的实际应用 21
结论 27
参考文献 28
谢辞 29
引言
随着社会的发展，数学与经济学相互促进共同发展已被越来越多的人认识和接受.在现代信息社会，数学与经济的结合日益密切，数学对经济研究的发展、深化无论在过去、现在还是将来都起到不可忽视的作用，滥用数学和盲目摒弃都不是可取之路，必须科学地、高水平地将数学应用于经济学中，才能促进经济学的长远发展.无数经济问题需要数学来解决，包括经济预测管理、决策优化、资源开发与环境保护、信息处理和质量控制、设计与制造和大型工程.在解决这些问题中，高等数学中的导数、微分、积分等数学知识起了重要作用.同时应用经济的发展又不断向数学提出新的挑战.不敢预测也不可能断言，在未来的经济学理论研究中数学会占据统治地位，但是数学越来越渗透到经济学研究中并且发挥着越来越重要的作用已成为事实.而且还应当说，经济学不仅应用了数学，而且还会不断地应用着数学中最新的成果.因为数学家也在致力于解决能够描述复杂现象的数学.经济学家与数学家的合作，将会推动经济学与数学的共同发展.我们数学人应努力投入到数学经济的研究中，为国家经济做贡献.
第一章数学在经济学中的应用历程及作用
1.1数学在经济学中的应用历程
最早应用数学方法解决经济问题的，有资料证明可追溯到十七世纪后期，当时英国最著名的古典经济学创始人威廉·配第（见图一，William.Petty，1623－1687年）在《政治算术》中提到“通过引入算术、量化等手段对经济结构和政治事件进行分析，进而得出英国有可能成为世界贸易霸主”的结论，这是经济学家首次在在经济中应用数学方法.
图1.1威廉·配第
之后，数学在经济学中的应用呈快速发展的趋势，尤其是在近代以来，从近年来诺贝尔经济学奖的获得者中可以看出这一结论.在获得诺贝尔经济学奖中的经济学家中，他们的论著中绝大多数都用到了数学工具，而一些获奖者他们本身就是出色的数学家，其它的也大多有着深厚的数学功底.
从威廉·配第第一次将数学方法应用到经济学中开始至今，数学在经济学中的应用范围不断扩大，越来越触及更高层次的经济领域，从而促进经济的发展.这与人类认识这个世界，改造这个世界的进程是一致的.
十七世纪末到十九世纪初，经济研究中引入了数学，经济学者开始一点一点尝试与数学结合，实现经济研究方法上的进一步发展.这一期间的应用一般以初级数学为主，经济学家开始用初等函数构建最普通、最基础的模型视图来解决、发现经济问题.此外，他们还通过曲线运动，表格，等式等形式来表达当时的经济变量.那时比较典型的代表人物是弗朗斯瓦·魁奈（FrancoisQuesnay1694—1774），李嘉图（DavidRicardo1772—1823）和亚当·斯密（AdamSmith，1723～1790年）.他们通过自己的努力开创了将数学应用到经济学中的先河，这段时间被认为是数学在经济学中应用的萌芽时期.
图1.2李嘉图
十九世纪二十年代到四十年代是数学在经济学中应用的形成时期.在这一阶段，经济学中开始广泛地应用高等数学，线性代数、概率论、微积分等.经济学通过数学解决了一些实际问题的同时，开拓了新的研究领域，为一些新的研究方法的诞生奠定了基础.
二十世纪四十年代开始至今是数学在经济学中应用的广泛发展时期.各领域的数学思想应用到经济研究中，产生了大量新的研究理论，出现了巨量的成果，也因此衍生出其他很多学派.研究的问题从最初简单变为复杂，复杂贴近于现实.边际分析，回归分析，博弈论分析，均衡分析、经济增长模型等都广泛地被作为解释、研究经济问题的数学工具.
1.2数学在经济方面重要的作用
1.2.1早期数学在经济方面的重要作用
数学被誉为科学的皇冠，对人类改善世界，发明创造，自然科学的发展都做出了重大贡献，同样，数学在经济学研究中也起了非常重要的作用.从某种意义上来说，是数学加快了经济学的发展，无论是从古典经济相信古典经济学的转变，还是从“边际革命”到凯恩斯主义的转变，都与数学的应用有重要的关系.早期数学在经济学中的作用有着以下几点：
1.作为论证经济学理论的重要工具.一个经济理论的产生，通常提出后
还要不断地通过论证才能证明其价值性.数学有很强的逻辑性和推理性，用数学可以对经济学理论进行推导，如果在数学上通不过，肯定其中存在一定的问题，就需要再重新思考理论.这时可以通过数学文字来进行论证，需要大量的篇幅，但仍然没有较强的说服力，如果借助数学方法，经过数学论证的理论，就更容易被接受.如凯恩斯（JohnMaynardKeynes1883－1946）的《就业、利息、货币通论》经过凯恩斯学派的发展成为IS-LM模型，间或了其中的推论过程，让结果更加直接、明显.用数学方法虽然不是万能的，但它可以至少保证经济理论在逻辑上不出现错误，有助于正确理论的产生.
2．作为简单明了的表达工具.数学最直观的特点就是简明扼要.如果用文字的表达方式，由于不同的学者所使用的语言，翻译时存在的障碍，表达上存在的歧义，理解上的偏差等等都致使对研究成果造成误解，曾经就有一些学者因为表达方式不当使得他们的研究成果发表很长一段时间后都得不到其他人的认可.而使用数学语言，可以简单明了的表达所要的思想.如宏观经济学上的国民收入可以简明的列为Y=C+I+G+（X-M）,这样就可以用一个等式表明影响它的各个变量，继而研究各个变量的变化对总体的影响，通过这样的方法，可以简化研究时一些不必要的程序.
3.提供量化的工具.传统的经济研究，通过用思辨式的议论方法得出结论，这样定性的分析只能提供大概、总括的估计，其中存在着众多的不确定性，不利于让人信服，不利于政策的实施执行，不利于具体问题的解决.二通过量化这样的思路，可以将那些看似杂乱无章的资料整理加工起来，综合考察经济活动中的各个变量，进而研究经济现象，探索经济活动中存在的规律.例如在微观经济学中的边际、均衡等问题中，通过衡量就可以得出具体的数据，对时间有很大的指导意义.另外还可以看到数学在金融产品，衍生工具定价的问题中所起的重大作用，就是量化所提供的强大功能.
1.2.2近代数学在经济方面重要的应用
在现代信息社会，数学与经济的结合日益密切，无数经济问题需要数学来解决，经济的发展又不断向数学提出新的挑战.博弈论大师、著名数学教授约翰·纳什提出的“纳什均衡”及其后续理论不仅影响了数学界，而且改变着整个经济学乃至整个社会科学的面貌.1994年，约翰·纳什（JohnFNash1928—）教授因为对“非合作博弈均衡分析以及对博弈论的贡献，荣获诺贝尔经济学奖.世界经济体制在信息社会中正处于深刻的变革时期，数学已经迎来了无限光明的前途.近代数学在经济学中的作用有着以下几点：
1．应用于经济预测管理与决策优化
在经济和管理中，预测非常重要.是管理资金投放、商品产销、人员组织等方面的决策依据.经济的发展需要各种资源的优化组合，需要抉择目标和抉择经营管理方式，在多种策略中选取其一以获得最大利益.这要求数学的目标函数达到极大，目标函数也可代表损失，于是要求它达到极小.这类问题往往化为求目标函数的条件极值或者化为变分问题.优选法、线性规划、非线性规划、最优控制等都致力于发展优化问题.
2．应用于资源开发与环境保护
通过数学理论和万法，可以分析人工地震的数据，以推断地质的构造，为探寻我国石油、天然气的储藏位置提供依据.运用数理统计、Fourier分析、时间序列分析等数学方法，我国成功地开发了具有先进水平的地震数据处理系统.近年来还用波动方程解的偏移叠加、逆散射等方法处理地震数据等.另外，建立了一套地下水资源评价的理论和方法，取得了实际效益，并在农田灌溉及理论发展上得到许多成果.数学工作者对江、湖、河口的污染扩散、土壤洗盐等问题成功地进行了分析和模拟；对于城市的交通、管理自然条件和社会的容纳力进行深入的发展预测和评价.
3．应用于信息处理和质量控制
电子商务已经成为经济发展的重要平台，在信息通讯中运用数学由来已久，如传统的编译码、滤波、呼唤排队等.近年来，长途电话网络系统、移动通讯系统、国际互联网系统中出现的数学问题更为可观.目前，我国应用数学原理，发展了计算机指纹自动识别，发展成功了新一代图像数据压缩技术，发展成功了计算机视觉，创造了从单幅图像定量恢复三维形态的代数方法、应用模式识别和信息论，在时间序列和信号分析的发展中取得新的进展.应用代数编码，使计算机本身具有误差检测能力，提高了计算机的可靠性.提高产品质量是国民经济中的一个关键问题，针对工业系统性能可靠性要求，产生了可靠性抽样检查、质量控制等新的数学方法，收到了良好的效果.
4．应用于设计与制造和大型工程
数学在制造业中的应用进入了新阶段.数学设计技术和计算机技术密不可分，数学设计技术成果可应用于飞机、汽车、船体、机械模具、服装、首饰等设计.可以运用数学原理，对各项工程设计以周密的计算来提供精确的数据，大型工程尤其如此.我国数学家设计了一批工程计算专用程序，在国家重点工程建设中发挥了作用，如三峡水利工程是举世关注的超大型工程，其中一个严重的施工问题是大体积混凝土在凝结过程中化学反应产生的热，它使得坝体产生不均匀应力甚至形成裂缝，危害大坝安全.以往的办法是花大量财力进行事后修补.现在我国已研制成可以动态模拟混凝土施工过程中温度、应力和徐变的计算机软件.人们可用计算方法分析、比较各种施工方案以实现工程最优化，还可用它来对大型工程建成后的运行进行监控和测算以保障安全.
5．应用于农业经济
我国数学工作者在分析了我国传统的生态农业思想与人类开发关系等问题之后，提出了一个生态农业经济发展及整治的理论框架与行动措施，建立了许多数学模型.其中包括：
一般水环境整治与扩建水电能源的投入产出与经济系统的优化、林业开发与土地资源开发等优化模型.同时，我国运用数学、生物、化学与经济发展交叉的发展成果，建立了平原农业资源配置的数学模型和资源配置规划.运用线性规划、对策论参数规划等数学工具，建立了多地区的种植业和畜牧业，制定最优的结构布局方案，采用模糊聚类分析方法，建立了水产业最优结构的模型，为农村剩余劳力提出了合理转移方案.
1.3经济数学化下的走向
数学被广泛地应用到经济研究中，使得经济学的领域不断扩大.经济理论更加成熟和丰富，其成果也更具有可操作性和现实性，然而同时我们也须看到它存在的不足和可能导致的不良现象，因此必须加以防范，促进经济学的发展.
首先，要辩证地看待数学在经济学中的作用.既不要迷信它，也不要盲目地加以否定.俗话说：
“知其然亦知其所以然”，既要明白它的优越性，同时也要看到它的不足，真正地做到取长补短.
其次，要给予经济思想足够的重视.经济思想决定经济研究大的原则方向，对促进研究的正确持续顺利进行有着重大意义，如果迷失大的原则方向，可能导致研究的最终失败.
第三，简单、实用、科学原则.在应用数学的过程中，应该明确它只是一个工具，而该工具的作用就是让经济研究变得简明、清晰、科学.能用简短文字表达的就使用文字表述清楚，需要借用数学形式的，要用简单科学的方式表达，而不是为了现实理论的深奥、追赶时髦而被动地应用，那样会起到画蛇添足的作用.
第四，要善于学习先进的数学方法，并将其应用到实践当中.数学作为经济研究的重要工具，已经产生了巨大的成就，这显然是极大的生命力，而且也是可行的.所以要认真学习先进的数学方法，利用数学逻辑的严密性，数学符号的简明性，为解决经济问题，解释经济现象做好铺垫.
第二章数学在经济方面的一些应用
2.1导数在经济中的应用
2.1.1导数的概念
在经济和管理中，预测非常重要.是管理资金投放、商品产销、人员组织等方面的决策依据.经济的发展需要各种资源的优化组合，需要抉择目标和抉择经营管理方式，在多种策略中选取其一以获得最大利益.这要求数学的目标函数达到极大，目标函数也可代表损失，于是要求它达到极小.这类问题往往化为求目标函数的条件极值或者化为变分问题.优选法、线性规划、非线性规划、最优控制等都致力于发展优化问题.
定义2.1设函数，在附近有定义，对应于自变量的任一该变量，函数的该变量为，如果极限
存在，则此极限值就称作函数在点的导数（也叫微商）,记为，这时我们就说在点导数存在，或者说在点可导.
函数在的导数就是函数在的平均变化率的极限，即函数在的变化率，刻画了当自变量在有1个单位的改变时，函数在相应地有个单位的改变.
导数在很多实际中有应用，利用导数与经济学的联系，可以解决一些经济经济学中的实际问题.
2.1.2导数在经济方面的应用
如果某公司生产某种商品的总成本函数为，其中为该商品的生产量，为生产个单位该商品的总成本，则导数表示当产量在有1个单位的改变时，该公司的总成本在将会有个单位的改变.
如果某公司生产某种商品的平均成本函数，其中为该商品的生产量，为生产个单位该商品的平均成本，则导数表示当产量在有1个单位的改变时，该公司的平均成本在将会有个单位的改变.
如果某公司销售某种商品的总收入函数为，其中为该商品的销售量，为销售个该商品的总收入，则导数表示当销售量在有1个单位的改变时，该公司的总收入在将会有个单位的改变.
例1某公司某产品的日生产能力为500台，某日产品的总成本C（千元）是日产量x（台）的函数：
.求
（1）当产量为400台时的总成本；
（2）当产量为400台时的平均成本；
（3）当产量为400台时总成本的变化率.
解
（1）当产量为400台时，总成本为
（2）当产量为400台时，平均成本为
（3）因为，所以当产量为400台时总成本的变化率为
上式中，表示当日产量为400台时，若再多生产1台，总成本将增加2.125千元.
例2设某家具的需求函数为，其中为家具的销价格，单位为元，为
该家具的需求量，单位为件.求当销售量分别为件时总收入的变化率，并解释所得到的结果.
解由需求函数，得价格
总收入函数为
所以
上述计算表明：
当家具的销售量为450件时，再多销售1件家具，那么总收入将增加100元；当家具的销售量为600件时，再多销售1件家具，那么总收入不会增加；当家具的销售量为750件时，再多销售1件家具，总收入反而减少100元.
2.2微分在经济方面的一些应用
2.2.1微分的概念
微分是数学专业一门重要的分支，其解法和理论已经很完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分具有极大地普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵.
定义2.2设函数在的邻域内有定义，及在此区间内.如果函数的增量可表示为（其中A是不依赖于的常数），而是比高阶的无穷小，那么称函数在点是可微的，且称作幻术在点相应于自变量增量的微分，记作，即
当充分小时，.利用此关系可以简化运算，这是微分的近似计算.
2.2.2微分在经济方面的一些应用
例1某种载重卡车行驶500mile路程的总成本（美元）是其平均速率的函数
试求当平均速率由55mile/h增加到58mile/h时,其总成本改变量的近似值.
解
所以
计算结果表明：
当平均速率由55mile/h增加到58mile/h时,其总成本将减少1.46美元.这可以部分解释许多独立行使的载重卡车的平均速率会超过55mile/h（最高限速）的原因.
例2.某公司的广告的支出（千元）与总销售额（千元）之间的函数关系为如果该公司的广告支出从100000元（）增加到105000元（），试估计该公司销售额的改变量.
解即求销售额的改变量的近似值，
所以
销售额大约增加305000元.
2.3积分在经济方面的应用
2.3.1积分的概念
定义2.3若在某一区间上，，则在这个区间上，函数叫做函数的原函数.
我们把函数的原函数的一般表达式称为该函数的不定积分.
定义2.4设是定义在上的有界函数，在中任意插入若干个分点
来划分区间，并在每一个部分区间中任取一点，作和式个区间，
其中，设为中的最大数，即
当时，如果和式的极限存在，且此极限值不依赖于的选择，也不依赖与对区间的分法，就称此极限值为在上的定积分，记作
即
2.3.2积分在数学方面的应用
随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济类问题显得越来越重要.在经济分析中，我们常用积分来求某经济总量及变动值，并通过对经济总量变动值的综合分析对比，对企业的经营决策及时做出正确的调整.本文结合几个经济分析中的实际问题，谈谈定积分在广告策略，消费者剩余和生产者剩余，国民收入分配及无穷积分在仓库供应的订货分析中的应用.
一．需求函数和供给函数
（1）设需求函数，其中是需求量，是价格，当时，需求量最大.设最大需求量为，即.
若已知边际需求函数为，则总需求函数为
，
其中，积分常数可由条件确定.
也可由定积分求得需求函数
.
（2）设供给函数，其中是供给量，是价格当时，供给量为0.
若已知边际供给函数为，则供给函数为
，
其中，积分常数可由条件确定.
也可由定积分直接求出供给函数
例1某企业每月销售额是10000元，平均利润是销售额的10%.根据企业以往经验，广告宣传期间月销售额的变化率近似地服从增长曲线（t以月为单位），企业现需决定是否举行一次类似的总成本为1300元的广告活动.按惯例，对超过1000元的广告活动，若新增销售额产生的利润超过广告投资的10%,则决定做广告.试问该企业按惯例是否应该做此广告？
解 12个月后总销售额是当t=12时的定积分，即总销售额为
（元）
公司的利润是销售额的10%，故新增销售产生的利
（元）
由于1560元是花费了1300元的广告费而得到的，因此，广告所产生的实际利润是 1560-1300=260（元），这表明盈利大于广告成本的10%，故企业应该做此广告.
例2已知某产品总成本关于产量的变化率为，，求：
（1）总成本函数；
（2）当产量从2百台增加到4百台时，成本增加了多少？
解
（1）
由即代入上式得到，
所以成本函数
（3）当产量从2百台增加到4百台时，成本增加量为
故成本函数为，当产量从2百台增加到4百台，成本增加了14万元.
例3某杂志目前的发行量为每周3000本，总编辑计划从现在开始，杂志周发行量的增长率为（单位：
本/周），求从现在起75周该杂志的发行量将是多少？
解设从现在起周该杂志的发行量为，由已知可得周发行量的增长率为
所以
，
将，代入上式得到
故从现在起周的发行量为
因此
所以，从现在起75周的发行量为8925本.
例4某商品需求量是价格的函数，最大需求量为100，已知边际需求为，求需求量与价格的函数关系.
解由求需求函数的不定积分公式可求得
再由，代入上式，求得，所以需求量与价格的函数关系是
或者由求需求函数的定积分公式可直接求得
例5某种名牌女士鞋价格（元）关于需求量（百双）的变化率为，如果销售量（百双）时，每双售价为500元，求这种名牌女士鞋的需求函数.
解由已知可求出价格和需求量的函数关系
由已知时，代入上式
，求得，
得到需求函数为
显然，价格越低，需求量越大，这与我们日常生活想吻合的.
例6若上例中女士鞋单价（元）关于日供给量（百双）的变化率为：
，如果每双的售价为50元时，供给量为200双/天（），求这种名牌女士鞋的日供给函数.
解由已知可求出价格和供给量的函数关系
当时，代入上式得
，求得
所以
整理得
二．总成本函数
设产量为时的边际成本为，固定成本为，则产量为时的总成本函数由前面的边际分析可得到
，
其中，积分常数可由条件确定.
也可由定积分求出总成本函数
其中，是固定成本，为可变成本.
例7如果某企业生产一种产品的边际成本为，固定成本，求总成本函数.
解由定积分求总成本的公式可得
例8某跨国公司制造一种便捷式烤炉，生产这种烤炉的日边际成本为，表示这种产品每天的生产量，生产这种产品的固定成本为800美元/天.
（1）求总成本函数
（2）该公司生产该产品为300台/天时，总成本是多少？
（3）日产量由200台变化到300台时，公司的生产成本是多少？
解1（
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