模型专题训练火车头模型解析.docx
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模型专题训练火车头模型解析
模型专题训练之“火车头”模型
【知识总结】
模型专题训练之“火车头”模型
\1/
【经典例题】
考法一一个“火车头”
【例1】如图，BD平分∠ABC，ED∥BC，∠1＝30°，求∠2，∠3的度数．
【解答】解：
∵BD平分∠ABC，
∴∠4＝∠1＝30°，
∵ED∥BC，
∴∠2＝∠4＝30°，
∴∠3＝∠1+∠2＝30°+30°＝60°
【练1】如图，BD平分∠ABC，ED∥BC，∠1＝25°．求∠2、∠3的度数．
【练2】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，且交AB于点E，∠A＝60°，∠BDC＝
86°，则∠BDE的度数为（）
A．26°B．30°C．34°D．52°
【解答】解：
∵∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝86°﹣60°＝26°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD＝26°，又∵DE∥BC，
∴∠BDE＝∠DBC＝26°．故选：
A．
【练3】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，EF⊥BD于点
F．求证：
∠BEF＝∠DEF．
∴∠BEF＝∠DEF．
【例2】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，若AB＝4，AD＝2，则△AED的周长是
（）
A．6B．7C．8D．10
【解答】解：
∵ED∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴∠EDB＝∠ABD，
∴DE＝BE，
∴AE+ED+AD＝AE+BE+AD＝AB+AD＝4+2＝6，
即△AED的周长为6，故选：
A．
【练1】如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E两点分别在AC、BC上，BD是∠ABC的平分线，DE
∥AB，若BE＝5cm，CE＝3cm，则△CDE的周长是（）
∴∠ABD＝∠DBE．
∴∠DBE＝∠BDE，
∴BE＝DE＝DC＝5cm，
∴△CDE的周长为DE+DC+EC＝5+5+3＝13（cm），故选：
B．
【练2】如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PD＝2，求PC的长．
【解答】解：
作PE⊥OA于E，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE＝PD＝2，
∵OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，
∴∠AOB＝30°，
∵PC∥OB，
∴∠ECP＝∠AOB＝30°，
∴PC＝2PE＝4．
【例3】如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝8，则DF的长是（）（会用到八年级下中位线）
【解答】解：
∵△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE∥AB，BD＝
BC＝4，
∴∠ABF＝∠BFD，
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBC＝∠ABF，
∴∠BFD＝∠DBF，
∴DB＝DF＝4，故选：
D．
【练1】已知：
如图，△ABC中，BD平分∠ABC，且D为AC的中点，DE∥BC交AB于点E，若
EB＝4，则线段BC的长为8．（会用到八年级下中位线）
【解答】解：
∵D为AC的中点，DE∥BC，
∴E为AB的中点，
∴2DE＝BC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠ABD，
∴DE＝BE＝4，
∴BC＝8，
【解答】解：
∵ED∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，又∵∠EBD＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝ED．
设ED＝x，则BE＝x，AE＝7﹣x．
∵ED∥BC，
∴△AED∽△ABC．
∴
＝
，
∴
＝
，
解得x＝2.1，即ED＝2.1cm．
△ABC的周长是7+7+3＝17cm．设△AED的周长是ycm．
则
＝
＝
，
∴y＝11.9cm．
故答案为：
2.1，11.9．
考法二“两个“火车头””模型
【例4】已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交
AB、AC于点D、E，若DE＝8，则线段BD+CE的长为（）
DE＝DO+EO＝DB+EC＝8，
故选：
D．
【练1】如图，已知△ABC中，AC+BC＝24，AO，BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC
于N，BC于M，则△CMN的周长为（）
A．12B．24C．36D．不确定
【解答】解：
由AO，BO分别是角平分线得∠1＝∠2，∠3＝∠4，又∵MN∥BA，∴∠1＝∠6，∠3＝∠5，
∴∠2＝∠6，∠4＝∠5，
∴AN＝NO，BM＝OM．
∵AC+BC＝24，∴AC+BC＝AN+NC+BM+MC＝24，
即MN+MC+NC＝24，也就是△CMN的周长是24．故选：
B．
【练2】如图，在△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB、AC
于点E、F，若△AEF的周长为9，BC＝6，则△ABC的周长为（）
A．18B．17C．16D．15
【解答】解：
∵BD平分∠ABC，
【练3】如图，已知O是△ABC中∠ABC，∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于点D，OE
∥AC交BC于点E，若BC＝10cm，则△ODE的周长为（）
A．10cmB．8cmC．12cmD．20cm
【解答】解：
∵OD∥AB，
∴∠DOB＝∠ABO，
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠DOB，
∴∠BOD＝∠DBO，
∴OD＝BD，同理OE＝CE，
∴△ODE的周长为OD+DE+OE＝BD+DE+CE＝BC＝10cm，故选：
A．
【练4】在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点E，过点E作PQ∥BC，交AB于点P，交AC于点Q，若∠A＝60°，则∠PEB+∠QEC＝（）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【解答】解：
∵∠A＝60°，
【练5】如图，△ABC中，IB，IC分别平分∠ABC，∠ACB，过I点作DE∥BC，分别交AB于D，交AC于E，给出下列结论：
①△DBI是等腰三角形；②△ACI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE周长等于
AB+AC，
其中正确的是（）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
【解答】解：
①∵IB平分∠ABC，
∴∠DBI＝∠CBI，
∵DE∥BC，
∴∠DIB＝∠CBI，
∴∠DBI＝∠DIB，
∴BD＝DI，
∴△DBI是等腰三角形，故本选项正确；
②∵∠BAC不一定等于∠ACB，
∴∠IAC不一定等于∠ICA，
故选：
C．
【例5】如图，在△ABC中，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC、∠ACB的平分线分别交DE于点E、
D，若AC＝3，AB＝4，则DE的长为（）
A．6B．7C．8D．9
【解答】解：
由分析得：
∠EBC＝∠ABE，∠ACD＝∠DCB；根据平行线的性质得：
∠DCB＝∠CDE，∠EBC＝∠BED；
所以∠ADC＝∠ACD，∠ABE＝∠AEB，则AD＝AC，AB＝AE；所以DE＝AD+AE＝AB+AC＝3+4＝7；
故选：
B．
【练1】如图，在△ABC中，已知∠ABC和△ABC的外角∠ACG的平分线交于点F，过点F作FD
∥BC，FD分别交AB、AC于点D、E，求证：
DE＝BD﹣CE．
【解答】证明：
∵∠ABC的平分线和外角∠ACF的平分线交于点F，
∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠GCF；
∵FD∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠GCF，
②BD，CE，DE之间存在着什么关系？
请证明．
【解答】
（1）解：
图中有2个等腰三角形即△BDF和△CEF，
∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，
∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCM，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCM，
∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，
∴BD＝FD，EF＝CE，
∴△BDF和△CEF为等腰三角形；
（2）存在：
BD﹣CE＝DE，证明：
∵DF＝BD，CE＝EF，
∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE．
【解答】证明：
（1）∵CD与CF分别是△ABC的内角、外角平分线，
∴∠DCE＝
∠ACB，∠ECF＝
∠ACG，
∵∠ACB+∠ACG＝180°，
∴∠DCE+∠ECF＝90°，
∴△DCF为直角三角形；
（2）∵DF∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
∵∠ECD＝∠BCD，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴ED＝EC，
同理，EF＝EC，
∴DE＝EF．
【练1】如图△ABC，AD平分∠BAC，AD⊥CD垂足为D，DE∥AB交AC于点E，求证：
AE＝CE．
∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠ADE+∠EDC＝90°，
∵∠EDA＝∠EAD，
∴∠EDC＝∠ACD，
∴DE＝CE，
∴AE＝CE．
考法三“火车头模型”的构造
【例7】如图，AD为△ABC的角平分线，M为BC的中点，ME∥AD交BA的延长线于E，交AC于
F．求证：
BE＝CF＝（AB+AC）．
【解答】证明：
过B作BN∥AC交EM延长线于N点，
∵BN∥AC，BM＝CM，
∴CF：
BN＝CM：
BM，∠CFM＝∠N，
∴CF＝BN，
又∵AD∥ME，AD平分∠BAC，
∴∠CFM＝∠DAC＝∠E，
∴∠E＝∠N，
【练1】已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是CA延长线上的一点，EG∥AD，交AB于
F，求证：
AE＝AF．
【解答】证明：
∵AD是△ABC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵GE∥AD，
∴∠AFE＝∠BAD，∠E＝∠CAD，
∴∠AFE＝∠G，
∴AE＝AF．
【练2】如图，△ABC中，∠ABC=2∠C,BE平分∠ABC，交AC于E，AD⊥BE于D，求证：
AC=2BD
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