升降电梯驱动系统设计及控制电路设计.docx
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升降电梯驱动系统设计及控制电路设计
摘要
点题曳引机是电梯的主要组成部分,它的设计水平、产品质量,直接影响电梯的产品质量,其强度和寿命直接影响电梯寿命和工作可靠性,它的振动和噪声直接影响人员乘坐电梯的舒适感。
因此本设计的主要内容为曳引机主传动机构的设计与计算。
关键词:
电梯;电梯曳引机;曳引机主传动机构
Abstract
Elevatortractorisproductquantitythatthedesignlevel,productquantitythattheelevatorconstitutesthepartprimarily,it,directinfluenceelevator,itsstrengthaffecttheelevatorlifespanwithworkwithlifespandirectlydependable,itofthevibrationfeelswithacomfortfordirectlyaffectingpersonnelembarkingelevator.Amaincontentsfordesigningspreadsthedesignthatmovetheorganizationforthelordandcalculation.
KeywordsElevatortractorElevatorThetractorlordspreadstomovetheorganization
1绪论
1.1引言
电梯作为垂直方向的交通工具,在随着计算机和电力电子技术的发展,现代电梯已成为典型的机电一体化产品。
高层办公楼、住宅建筑中的垂直电梯,商场、机场、火车站、地铁站内的扶梯、自动人行道;宾馆、酒店中的观光电梯越来越给人们带来方便。
随着我国房地产业的迅猛发展,中国电梯新技术在变频变压、无机房电梯、永磁同步拖动技术、无齿轮曳引机、计算机控制技术、远程监控技术等将迅速推广。
我国在电梯制造技术方面,内资电梯企业实力不断增强,如江苏江南、山东百斯特、浙江巨人、上海房屋设备总公司、东莞飞鹏、宁波宏大、苏州申龙、东南液压电梯等电梯制造企业发展很快。
随着我国加入WTO以及国家实施西部大开发的推进,全球著名电梯品牌如奥的斯、迅达、通力、三菱、日立、东芝、富士达、sigma等已陆续进入中国市场。
电梯可分为两大类:
一类是垂直升降电梯(简称垂直或通常所谓的电梯),一类是自动扶梯(含自动人行道,简称扶梯或电扶梯)
自动扶梯是通过电动机带动传动机构驱动梯级执行输送任务的,把电动机主传动机构,制动系统则是通过电动机驱动减速器,靠减速器从动轴上的曳引轮与钢丝绳之间的摩擦力矩牵动轿厢与配重(或称对重)上,下运动实现运输的目的,因为它是靠摩擦力牵动执行机构工作,故把电动机减速器,曳引轮和辅助机构-------制动器作为整体,称电梯曳引机。
曳引机分有齿曳引机和无齿曳引机两大类,本人采用的是有齿曳引机。
电梯曳引系统中的曳引机减速器,曳引机(简称绳轮)和动轮(由曳引比体现)组成了电梯的减速器多为齿轮副(含蜗杆副,行星系)减速器,该减速器中的齿轮副即为电梯的主传动机构。
电动机输入转矩T1,驱动曳引机减速器中的主传动机构,通过减速带动曳引轮转动,这时利用轿厢和配重的重量在曳引轮与钢丝绳之间产生的摩擦力矩,拖动轿禁止与配重上、下运动,从而完成电梯的任务,因为曳引机是决定轿厢运行速度、控制运行状态的减速装置,曳引机的技术含量、设计质量、产品质量等都会影响电梯的工作寿命及乘客的舒服感,所以电梯对曳引机有很高的技术要求。
1.2电梯(垂直梯)简介
1.2.1电梯的组成 :
按照其功能的不同,电梯可分为曳引系统、导向系统、门系统、轿厢和对重、安全装置电气拖动和控制系统等部分.
(一)曳引系统
1、作用:
曳引系统的作用是输出动力、曳引轿厢运行。
2、组成:
主要由曳引机、曳引钢丝绳、导向轮、反绳轮等构成。
曳引机由电动机、连轴器、制动器、减速箱、机座和曳引轮组成。
曳引钢丝绳连接轿厢和对重,依靠曳引轮绳槽和钢丝绳之间的摩擦来驱动电梯上下运行。
导向轮一般安装在曳引机座或承重梁上,用来承托曳引钢丝绳,调节轿厢和对重之间的距离。
反绳轮是安装在轿顶或对重顶部的动滑轮,主要作用是降低电梯速度,提高电梯运载能力。
(二)导向系统:
1、作用:
限制轿厢和对重的自由度,使其只能沿着导轨上下运动。
2、组成:
主要由导轨、导靴、导轨架组成。
导轨是对轿厢和对重的运动起导向作用,主要由T型、L型两种。
导靴安装在轿厢和对重架上,强制轿厢沿着导轨上下垂直运动。
导轨架安装在井道壁上,用来支撑和固定导轨。
(三)门系统
1、作用:
用以封闭轿厢和井道出口。
2、组成:
由轿门、厅门、开门机构组成。
轿门安装在轿厢上,有交删式和封闭式等。
厅门安装在每层电梯出口处。
每个厅门设有机械和电气联锁装置,保证厅门打开时电梯不能运行。
开门机构是开关电梯门的机构,有自动式、手动式两种区别。
(四)轿厢和对重
1、轿厢用来运送乘客或货物,是电梯的运载承载部分。
它主要有机械架、轿厢底、轿厢壁、轿顶组成。
2、对重相对于轿厢悬挂于曳引绳底另一端,使曳引机只需克服轿厢和对重之间底重量差便能驱动电梯,进而起到减少动力消耗、改善曳引机能力底作用。
对重由对重架、对重块、和补偿装置组成。
(五)电气拖动和控制部分
电梯的电力拖动系统有两大类,即交流拖动系统和直流拖动系统。
常见的直流拖动系统可分为控硅励磁和控硅供电两类;交流拖动系统分单速、双速、调速三类。
电梯的控制系统取决于电梯的用途、额定载荷、速度、控制方式等设计要求和使用性能要求,但控制内容大致相同。
主要是指对电梯的启动、加速、运行、减速、停止和运行方向、楼层显示、轿内指令、层站厅外召唤、安全保护等信号进行管理和控制。
(六)安全装置
安全装置的作用是保证电梯安全使用,防止危机人身、财物的事故发生。
安全装置分为两类:
机械安全装置和电气安全装置。
1、机械安全装置
机械安全装置主要有安全触板、厅门锁、限速器、安全钳、缓冲器等。
①安全触板设计在轿门上,在电梯关门过程中,当人或物品触及安全触板时,轿门自动反开,防止夹伤人或物。
②门锁装置(主要指厅门)位于厅门内侧,门关闭后将厅门关住,封闭井道,防止电梯不在本层站时人员进入井道;同时,当电梯离开本层站时,人们不能在电梯厅门用非正常手段打开厅门,防止人员进入井道;只有所有电梯厅门关闭后,电梯才能投入正常启动运行。
③限速器一般安装在机房楼板上。
当电梯运行速度超过速度限定时,限速器动作,先切断安全回路,如果电梯仍向下运行将直接牵引安全钳动作,将电梯制停。
④安全钳一般安装在轿厢底部(特殊情况下对重也安装有安全钳),当限速器动作时,电梯轿厢(或对重)仍向下运行,在限速器的带动下安全钳动作,将轿厢(对重)夹持在导轨上而使轿厢(对重)停止运动。
⑤缓冲器分为弹簧式和液压式两种,是电梯最后一道安全装置。
当轿厢或对重因某种原因超出极限位置冲顶或蹲底时,可减少设备对建筑物的冲击力。
2、电气安全装置
电气安全装置主要有上下限位开关、极限开关、超载保护、门区光电装置等。
①限位开关作用是当电梯超越正常行程范围时,通过安装在轿厢上的打板驱使限位开关动作,切断回路,强迫电梯停止。
②极限开关是当电梯冲越端站时,限位开关又未制停电梯时,能在电梯或对重未触及缓冲器前切断安全回路或强行切断主电源的电气安全装置。
③超载保护是通过安装在轿厢悬挂结构或活动轿厢上的称量装置来实现的,当轿厢内装载的重量超出额定载荷时,发出警告信号,提醒电梯使用人员,并且保持开门状态不关门,直至轿厢内的人或物重量不超载。
另外,电梯中还有许多保证电梯安全运行的电气安全装置如轿厢内防捣乱功能等,这里不再加以说明。
1.2.2电梯的(垂直梯)分类
(一)按电梯的用途分类
根据电梯在楼宇使用用途(服务对象)的不同,电梯可分为:
1、乘客电梯:
主要用于运送乘客上下楼宇,一般设置有较好的轿内装饰和完善的安全设施。
2、载货电梯:
主要用于垂直方向运输货物、设备等,一般有专人控制。
3、消防电梯:
在楼宇发生火灾时,其它电梯均不能使用,只有该电梯可供消防员专用,平时用于运输设备、员工、载货等。
它一般是从地下室到顶层的每一层均能停留的垂直升降梯。
对高层楼宇,消防电梯非常重要,应特别加以注意。
4、病床电梯:
为医院运送病床、担架、医用车而设计,轿厢具有窄长的特点。
5、杂物电梯:
供图书馆、书店、办公楼、饭店等运送图书、文件、食品等设计的电梯,杂物电梯一般体积较小,不允许载人。
6、观光电梯:
轿厢壁透明,供乘客观光使用,一般安装在商业比较繁花的高层楼宇内。
7、自动人行道:
主要用于水平方向运输人员及物品的电梯。
8、自动扶梯:
主要用于斜面运送乘客的电梯。
9、其它电梯:
如车辆电梯、船舶电梯、建筑施工电梯和曳引电机等
(二)按电梯运输速度来分类
1、低速电梯:
指运行速度一般为1.0米/秒的电梯。
2、快速电梯:
指运行速度一般为1.0~2.0米/秒的电梯。
3、高速电梯运行速度一般为2.0~3.5米/秒的电梯。
4、超高速电梯:
指速度大于3.5米/秒的电梯。
(三)按驱动方式和曳引电机分类
1、交流电梯:
用交流感应电动机驱动的电梯。
根据拖动方式可分为交流单速、交流双速、交流调速电梯。
2、直流电梯:
用直流电动机驱动的电梯。
多用于速度大于2米/秒的高档电梯。
3、液压电梯:
利用液压泵,由柱塞或柱塞+钢丝绳驱动轿厢升降的电梯。
4齿轮齿条电梯:
将导轨加工成齿条,轿厢上装有与之齿合的齿轮,电动机带动齿轮旋转使轿厢升降的电梯。
多用于码头岸吊、建筑工地等。
5、直线电机电梯:
用直线电机带动的电梯,它是目前最新驱动方式的电梯。
1.3曳引机的主要技术指标
为了提高曳引机产品质量,必须满足下列技术指标:
1.3.1要确保电梯承载能力及曳引机的强度
电梯承载能力从100kg到几吨重,速度从0.25m/s到10m/s以上,亦即曳引机的功率范围很大。
在设计曳引机时,应首先满足在设计寿命内,不产生任何失效形式的强度要求,其中包括电动机功率的选择、制动力的确定,主传动机构强度设计或校核计算。
要特别重视轴承强度的校核计算及地脚螺栓的设计计算。
另外,绳轮可按易损件处理,其设计寿命可短一些。
1.3.2具有较高的传动效率
曳引机的传动效率是其综合技术指标。
传动效率的高低不但标志着输入功率有效利用的程度,而且表明了克服阻力力矩的能力,功率耗损的多少。
它不仅体现在节约能源上的意义,同时也是曳引机技术含量、设计质量、产品质量的具体体现。
为提高传动效率,合理选择主传动机构、轴承和联轴器是十分重要的,并且要提高制造和安装精度。
1.3.3具有较高的体积载荷
所体积载荷是指曳引机的许用载荷(功率或转矩)除以曳引机体积所得商。
体积载荷越大表明曳引机体积越小,结构越紧凑。
不难理解,要想实现大的体积载荷,首先要选择高科技型的主传动机构。
合理地设计箱体结构,其中同样功率的曳引机,体积可相差1/3,重量相差到2/5。
因此设计出结构紧凑、体积小、重量轻的曳引机是设计者的奋斗目标。
1.3.4应满足电梯所需的运动特性
电梯的工作特性决定了曳引机的运动特征:
运动速度中等、间断工作、变速、起动频繁的正反转运行。
为了满足运动特性,在设计曳引机时要特别注意曳引传动系统中传动比的分配,电动机类型的选用,以及主传动机构齿轮副齿侧间隙的保证等。
1.3.5应具有较低的振动和噪声
这项技术指标对乘人电梯特别重要。
为了不造成严重的环境污染,使乘客感到乘坐舒适,要求曳引机有较低的振动(特别是扭振)和噪声。
1.3.6应具有合理的结构
结构设计历来是机械设计中的重要课题,对曳引机而言则更为重要。
结构设计要特别重视结构对受力、刚度的影响;对减振、降噪、附加载荷、自身振动频率的影响,对润滑条件、润滑质量的影响等。
在设计曳引机结构时,要逐条分析、结合实力合理,没有(或少有)附加载荷、满足强度和刚度要求;润滑条件良好;外形美观;制造、安装、维修工艺良好;成本较低。
1.3.7具有灵活可靠的制动系统
制动系统要具有受力合理、技术先进、强度高、寿命长、灵活可靠、结构紧凑的性能。
1.4曳引机的总体设计
曳引机主要由电动机、联轴器、减速器、曳引轮、机架、飞轮(手扳轮)、编码器等部分组成。
目前曳引机的组合形式主要有下列三种:
1)电动机→联轴器→制动机构→减速器→曳引轮
2)电动机→联轴器→减速器→制动机构→曳引轮
3)制动机构→电动机→联轴器→减速器→曳引轮
综合分析后,本人选择第1)种方案来设计。
2电梯的驱动功率计算
2.1曳引比与曳引力
2.1.1曳引传动与曳引传动形式
2.1.1.1曳引比和机械效益
曳引比:
曳引机上曳引轮的圆周速度与轿厢速度之比称为曳引比,用i’12表示。
机械效益:
令曳引机中曳引轮上钢丝绳承受的拉力为F,轿厢总重力为Q,则机械效益
A=Q/F式(2-1)
定滑轮及动滑轮机构Q为重物,F为拉力,动力臂与阻力臂都是滑轮的半径r,所以rQ=rFA=Q/F=1i’12=1式(2-2)
定滑轮机构速度不变、力不变。
R不变,A=i’12
2.1.1.2电梯的曳引传动形式
曳引传动形式可由定滑轮、动滑轮、组合滑轮、差动滑轮机构组合而成。
多年经验表明
常用曳引传动形式见下
●定滑轮机构的曳引传动该传动形式的曳引比i’12=1,机械效益A=1。
增加一个过轮其目的是为了拉开轿厢与对重之间的距离。
过轮使曳引轮与钢丝绳的包角减小。
一般设计尽量使包角α大于135°。
过轮使绳的弯曲次数增多,疲劳寿命减少。
●曳引比为2的曳引传动i’12=2,A=2亦即轿厢(或对重)的上升(或下降)速度是曳引轮圆周速度的1/2。
曳引轮两侧钢丝绳承受的拉力分别为轿厢总重量、对重总重量的1/2
●滑轮组机构曳引传动在轿厢(或对重)上各有三股钢丝绳,有三个定轮。
i’12=3,A=3,亦即轿厢(或对重)的上升(或下降)速度是曳引轮圆周速度的1/3,曳引轮两侧钢丝绳承受的拉力分别为轿厢总重量、对重总重量的1/3
还有大曳引比曳引传动、复绕曳引传动、长绕曳引传动、双对重对曳引传动、具有补偿的曳引传动。
综合分析之后,决定选择第一个方案,曳引比i’12=1,机械效益A=1。
2.2作用在曳引轮上的静力
电梯是靠曳引轮槽与钢丝绳之间产生的摩擦力(或摩擦力矩)平衡外力,在曳引机的驱下,牵引轿厢与对重上下运行的。
在曳引轮两侧的钢丝绳分别系有轿厢及对重,轿厢与对重分别在钢丝绳上产生拉力Q与F。
Q与F是静止情况下的拉力,故称静力。
静力实际上是两侧各构件重力和对钢丝绳的拉力。
计算中用到的符号如下:
Q1--------轿厢的结构自重力(N);取值为2900kg
Q2--------电梯的额定载重力(N);取值为1250kg
F--------对重侧钢丝绳承受的总拉力(N);
Q-------轿厢侧钢丝绳承受的总拉力(N);
R1--------轿厢至曳引轮间钢丝绳所受的重力(N);
R2--------对重物至曳引轮间钢丝绳所受的重力(N);
G1--------曳引机两侧所受总拉力之差图2-1曳引轮上的静力图
G2--------曳引机两侧钢丝绳重力之差(N);
P--------曳引机输出轴轴颈承受的静压力(N);
i12-------曳引机中减速器之传动比;
i’12------曳引传动的曳引比;
A--------机械效益;
η1--------曳引机中减速器的传动效率;
η2--------电梯的总效率;
f--------接触面间相对运动时的摩擦因数;
v--------轿厢运行速度(m/s);
η2--------曳引轮的转速(r/min)。
2.3曳引轮两侧静拉力计算
Q值从轿厢到曳引轮之间是一个曳引系统。
也就是说轿厢的速度、重量要通过曳引系统中的滑轮组才能传递到曳引轮。
当然也可以通过滑轮组直接连接起来,这时i’12≠1,A≠1。
则可用下式求得Q值。
Q=(Q1+Q2)/A+R1=(Q1+Q2)/i’12+R1式(2-3)
R1的大小受轿厢到曳引轮之间距离的影响,亦即是轿厢位置的函数,即R1=f1(h1),于是:
Q=(Q1+Q2)/A+f1(h1)
曳引机强度设计计算中,为了安全可靠,一般规定额定载荷要乘以系数1.25,又轿厢的结构自重一般为额定载荷的1。
4倍,前文已述及机械效益与曳引比量值相等,最后Q值的计算式为:
Q=2.65Q2/+R1式(2-4)
式中,i’12由曳引传动机构确定。
R1在设计曳引机时按满载,轿厢在井道部位计算。
设曳引绳的根数为n,电梯提升高度为H,绳的直径为d,绳的单位长度重量为q,则R1为
R1=Hnq
F值在对重侧同样是一个滑轮组传动机构,也有机械效益。
按规定,对重取Q+ψQ2。
ψ称对重系数,其值一般为0.4~0.5。
所以对重侧的拉力F可由下式计算:
F=(Q1+ψQ2)/A+R2=(Q1+ψQ2)/i’12+f2(h2)式(2-5)
考虑到上文所述相应问题最后得
F=2Q2/i’12+f2(h2)式(2-6)
Q值与G值差
由式可知
G1=Q-F=(Q1+Q2-Q1-ψQ2)/i’12-(R1+R2)式(2-7)
=(1-ψ)Q2/i’12-(R1+R2)
实际计算时可采用简化式
G1=0.55Q2/i’12-(R1+R2)式(2-8)
Q值与F值之和
由式可知
P=Q+F=(Q1+Q2+Q1+ψQ2)/i’12+(R1+R2)式(2-9)
=2Q1+(1+ψ)Q2/i’12+(R1+R2)
实际计算时可采用简化式
P=4.55Q2/i’12+(R1+R2)式(2-10)
R1+R2的计算有两种情况
没有补偿绳时R1+R2=Hnq
有补偿绳时R1+R2=2Hnq
2.4曳引轮上的静转矩
电梯没有运行前,曳引轮随的拉力差G1产生的转矩称静转知T(N·m),它的方向与G相同。
可由下式计算,设曳引轮节圆直径为D(mm);则
T’20=DG1/(2*1000)式(2-11)
=1/2*D*[0.55Q2/i’12-(R1+R2)]*1/1000
电动机受的静转矩为T10=T20/i12η
2.4.1静摩擦转矩
静力P是比较大的力,作用在轴颈上要产生摩擦转矩T’10(N·m),其值可由下式计算:
T’10=fpr/1000式(2-12)
式中r为轴半径(mm)
T’20方向与v方向相反,电动机受的摩擦转矩为
T’10=T’20/i12η式(2-13)
电动机轴上承受的总静转矩为:
T’10=T10-T’10式(2-14)
或T0=T10+T’0
2.4.2F和Q的讨论
由F值的计算式可以看出,F值的大小仅随R2大小变化,在电梯提升高度H<35m时一般可以不计入R2总等于Hnq,显然F值是变化不大的物理量。
若不计入R2,或计入R2=Hnq,则F是固定量。
由Q值的计算式可知,Q值在运行过程中不但受R1的影响,而且受层站处乘客上下变化的影响,也就是不计入R1,Q在电梯运行中亦是变量。
Q值的变化会影响静转矩和静摩擦转矩大小,影响电梯的工作状态。
在某下层站,乘客减少到Q2的40%~50%时,即恰好等于ψ时,F=Q,于是G1=0,T20=0,T10=0。
当Q2值再减小,乘客量小于ψQ2时,则要产生F>Q的工作状态。
这时产生的静力矩与G方向一致。
当F方向的静转矩大到一定程度时,亦即若大于摩擦力矩时,电梯起动的瞬时,主传动机构的共轭啮合面发生改变,由左齿面(或右齿面)改变成了右齿面(或左齿面),也就是这个瞬间齿面要产生一次冲击,齿面改变的结果使齿轮副啮合状态发生了根本变化。
正常(以蜗杆副为例)共轭啮合是蜗杆为主动件。
改变后的啮合状态是蜗轮为主动件。
要特别注意,无论那个齿面工作,电梯的运行方向不变,这是一个重要的共轭齿面啮合现象。
2.5静转矩的讨论
2.5.1曳引轮承受的静转矩变化
载荷很小时(极限情况是空载),F>Q,静载荷产生的转矩方向与F方向一致;载荷较大时(极限情况是满载);Q>F,静载荷产生的转矩方向与Q的方向一致,又由P力产生的摩擦转矩总和v的方向相反于是可得出如下规律性结论:
(1)满载上行T20与T’20方向一致要相)加
(2)满载下行T20与T’20方向相反要相减
(3)空载上行T20与T’20方向一致要相减
(4)空载下行T20与T’20方向一致要相加
所谓上行和下行是指轿厢运行方向。
关于对重系数ψ=0.4~0.5,这就是说Q值和F值仅相差(0.6~0.5)Q2,曳引轮两侧的接力在不考虑钢丝绳重量影响的情况下,仅随载重量Q2的变化而变化。
若载重量不是满载而是ψQ2时,则Q=F,这时静转矩理论上可为零,也就是说电梯功率可达到最小。
客梯的乘客不可能总是满载,也不可能空载运行,从概率上讲可以判定,乘载40%~60%的机率最多。
而ψ=0.4~0.5,可见ψ系数的给定值是很巧妙的,这就不难断定客梯实际运行中电动机功率多数情况是很小的。
曳引机使用情况已说明主传动机构齿轮副失效破损的很少。
由于P力的作用,设计轴承则是一个重要问题了。
2.5.2设计载荷
在设计曳引机时,总是按照最危险的情况考虑,所以应采用1.25Q的超载计算,Q总是大于F。
曳引机主传动机构的设计及电动机选择,都应遵循这一原则。
2.5.3曳引机驱动转矩的计算
运行中的曳引传动情况是很复杂的:
轿厢运行有上有下;轿厢有加速度起动、减加速度停车及匀速正常工作;有移动构件和转动构件;有重量、有质量等,所以曳引机承受的力和转矩将受到动量和转动惯量的影响。
在分析计算曳引机驱动转矩时,要充分考虑这些因素,亦加以较全面的讨论,从中寻找出最危险情况,进行曳引机强度计算以达到安全可靠的目的。
2.5.4动量定理及曳引力
曳引力是非运动时的静力。
因为电梯在运动的全过程中,速度是变化的,呈近似梯形,起动时有加速度,正常运行是匀速,停层时是减加速,所以在起动和停层阶段受动量大小的影响。
由此在计算曳引力时涉及支动量及动量定理。
动量定义:
物体质量与速度的乘积称为动量。
K=mv式(2-13)
动量定理:
在一个机械系统中,各构件动量对时间求导之和等于所有外力之和,即
∑dmivi/dt=∑Fi[3]
对于一个构件单独分析同样成立。
a)上行加速起动阶段,所承受的曳引力
对于轿厢,它承受的重力为Q1+Q2,亦是受的外力,曳引轮对轿厢的作用力为Q,于是由式可得
(Q1+Q2)dv/gdt=Q-(Q1+Q2)式(2-14)
所以Q=(Q1+Q2)+(Q1+Q2)a/g
=(Q1+Q2)(1+a/g)
式中a——加速度(m/s2)
g——重力加速度(m/s2)
对重承受的重力为Q1+ψQ2也是承受的外力。
应注意v指向–x方向的负值于是
(Q1+ψQ2)/g(–dv/dt)=F–(Q1+ψQ2)式(2-15)
F=(Q1+ψQ2)–(Q1+ψQ2)a/g=(