市级联考广东省揭阳市届高三一模数学理科试题e785c9a7f138489097f166fb44c51ea1.docx

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市级联考广东省揭阳市届高三一模数学理科试题e785c9a7f138489097f166fb44c51ea1

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【市级联考】广东省揭阳市2019届高三一模数学（理科）试题

试卷副标题

考试范围：

xxx；考试时间：

100分钟；命题人：

xxx

题号

一

二

三

总分

得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

评卷人

得分

一、单选题

1．已知集合，，则

A．B．C．D．

2．已知向量，若，则的值为

A．B．C．D．

3．已知是复数z的共轭复数，是纯虚数，则

A．2B．C．1D．

4．若，则的值为

A．B．C．D．

5．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：

min）绘制了茎叶图：

则下列结论中表述不正确的是

A．第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟

B．第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高

C．这40名工人完成任务所需时间的中位数为80

D．无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟.

6．函数在单调递减，且为偶函数．若，则满足的的取值范围是

A．B．C．D．

7．如图，网格纸上虚线小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为

A．B．52C．D．56

8．某班星期一上午安排5节课，若数学2节，语文、物理、化学各1节，且物理、化学不相邻，2节数学相邻，则星期一上午不同课程安排种数为

A．6B．12C．24D．48

9．过双曲线两焦点且与x轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为

A．B．C．D．2

10．右图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC为直角三角形，四边形DEFC为它的内接正方形，记正方形为区域Ⅰ，图中阴影部分为区域Ⅱ，在△ABC上任取一点，此点取自区域Ⅰ、Ⅱ的概率分别记为、，则

A．B．C．D．

11．已知△ABC中，AB=AC=3，，延长AB到D使得BD=AB，连结CD，则CD的长为

A．B．C．D．

12．已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是

A．B．C．D．

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

评卷人

得分

二、填空题

13．命题“对”的否定是_______；

14．在曲线，的所有切线中，斜率为1的切线方程为________.

15．已知圆锥的顶点为，底面圆周上的两点、满足为等边三角形，且面积为，又知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的表面积为_____________.

16．已知点P在直线上，点Q在直线上，M为PQ的中点，且，则的取值范围是___________.

评卷人

得分

三、解答题

17．已知数列的前项和为，且，（其中为常数），又.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

18．如图，在四边形ABED中，AB//DE，ABBE，点C在AB上，且ABCD，AC=BC=CD=2，现将△ACD沿CD折起，使点A到达点P的位置，且PE与平面PBC所成的角为45°.

（1）求证：

平面PBC平面DEBC；

（2）求二面角D-PE-B的余弦值.

19．某地种植常规稻A和杂交稻B，常规稻A的亩产稳定为500公斤，今年单价为3.50元／公斤，估计明年单价不变的可能性为10%，变为3.60元／公斤的可能性为60%，变为3.70元／公斤的可能性为30%．统计杂交稻B的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如下；统计近10年来杂交稻B的单价（单位：

元/公斤）与种植亩数（单位：

万亩）的关系，得到的10组数据记为，并得到散点图如下，参考数据见下．

（1）估计明年常规稻A的单价平均值；

（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻B的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻B的亩产超过765公斤的概率；

（3）判断杂交稻B的单价y（单位：

元/公斤）与种植亩数x（单位：

万亩）是否线性相关？

若相关，试根据以下的参考数据求出y关于x的线性回归方程；调查得知明年此地杂交稻B的种植亩数预计为2万亩．若在常规稻A和杂交稻B中选择，明年种植哪种水稻收入更高？

统计参考数据：

，，，，

附：

线性回归方程，．

20．已知点在椭圆:

上，椭圆的焦距为2.

（1）求椭圆的方程；

（2）斜率为定值k的直线与椭圆交于A、B两点，且满足的值为常数，（其中O为坐标原点）

（i）求k的值以及这个常数；

（ii）写出一般性结论（不用证明）：

斜率为定值k的直线与椭圆交于A、B两点，且满足的值为常数，则k的值以及这个常数是多少？

21．设函数，

（1）讨论的单调性；

（2）若函数有两个零点、，求证：

．

22．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为（,a为常数）），过点、倾斜角为的直线的参数方程满足，（为参数）．

（1）求曲线C的普通方程和直线的参数方程；

（2）若直线与曲线C相交于A、B两点（点P在A、B之间），且，求和的值．

23．已知函数，

（1）求函数的值域；

（2）若时，，求实数a的取值范围．

参考答案

1．B

【解析】

【分析】

先解一元二次不等式得集合A，再根据补集定义求结果.

【详解】

因为，所以，选B.

【点睛】

求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．

2．A

【解析】

【分析】

先求，再根据向量数量积得方程，解得的值.

【详解】

因为，所以由得，选A.

【点睛】

求平面向量数量积有三种方法：

一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.

3．C

【解析】

【分析】

先根据纯虚数概念求得z，再根据复数的模的定义求结果.

【详解】

设，则

因此

因为是纯虚数，所以，

选C.

【点睛】

熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为.

4．D

【解析】

【分析】

先根据诱导公式化简，再根据平方差公式以及二倍角余弦公式得结果.

【详解】

因为，所以,因此,选D.

【点睛】

本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式，考查基本分析求解能力.属基本题.

5．D

【解析】

【分析】

根据茎叶图统计数据、求平均数、求中位数，再根据结果作选择.

【详解】

第一种生产方式的工人中，完成生产任务所需要的时间至少80分钟有15人,占75%，

第一种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为，

第二种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为

，所以第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高，

这40名工人完成任务所需时间从小到大排列得中间两数为，中位数为

所以D错误.选D.

【点睛】

本题考查茎叶图，考查基本分析求解能力.属基本题.

6．A

【解析】

【分析】

先根据函数奇偶性以及单调性转化不等式，再解含绝对值不等式得结果.

【详解】

因为函数为偶函数，所以等价于,

因为函数在单调递减，所以,,,选A.

【点睛】

解抽象函数不等式：

首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式（组），此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.

7．D

【解析】

【分析】

先还原几何体，再根据柱体体积公式求体积.

【详解】

几何体上部分为一个三棱柱（底面为高为1，底为4的等腰三角形，柱体高为4），下部分为一个长方体（长宽高分别为4，3，4），因此几何体的体积为，选D.

【点睛】

若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解体积.

8．B

【解析】

【分析】

先安排数学与语文，再插空安排物理化学，最后根据乘法原理求结果.

【详解】

先安排数学与语文有两种排法，产生三个空位，从中选两个安排物理化学，有种排法,所以星期一上午不同课程安排种数为，选B.

【点睛】

求解排列、组合问题常用的解题方法：

分布计数原理与分类计数原理，具体问题可使用对应方法：

如

（1）元素相邻的排列问题——“捆邦法”；

（2）元素相间的排列问题——“插空法”；（3）元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；（4）带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.

9．B

【解析】

【分析】

先求交点坐标，再根据题意列方程解得离心率.

【详解】

令得,由题意得,（负值舍去），选B.

【点睛】

解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

10．C

【解析】

【分析】

先用直角△ABC两直角边长表示正方形边长，再根据几何概型概率求、，最后利用作差法比较、大小，即得结果.

【详解】

设，则，

所以，

因此，选C.

【点睛】

当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．

11．C

【解析】

【分析】

先根据正弦定理化角为边，解得BC，再根据余弦定理列方程解得CD.

【详解】

因为，所以即，

因为BD=AB，所以

选C.

【点睛】

解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

12．B

【解析】

【分析】

先求，在上值域，再根据两值域关系确定实数的取值范围.

【详解】

当时,,

当时,,,

令,则，当时，

当时，当时，即当时

由题意得两函数值域交集非空，即解得，选B.

【点睛】

对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即的值域包含于的值域；的值域与的值域交集非空。

13．

【解析】

【分析】

根据全称命题的否定求解.

【详解】

命题“对”的否定是.

【点睛】

本题考查全称命题的否定，考查基本分析求解能力.属基本题.

14．

【解析】

【分析】

先求导数，再根据斜率为1解得切点，最后根据点斜式得切线方程.

【详解】

，所以切点为，切线方程为

【点睛】

本题考查导数几何意义以及直线点斜式方程，考查基本分析求解能力.属基本题.

15．

【解析】

【分析】

先根据等边面积为，求母线长，再根据轴截面的面积为8，求得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式以及底面积求圆锥的表面积.

【详解】

因为等边面积为，所以，

因为轴截面的面积为8，所以，

从而圆锥的表面积为

【点睛】

本题考查圆锥侧面积公式以及轴截面，考查基本分析求解能力.属基本题.

16．

【解析】

【分析】

先确定M所在直线方程，再根据条件作可行域，最后根据表示可行域上的点到原点连线的斜率，结合图象确定取值范围.

【详解】

因为M为PQ的中点，所以M在直线上，即，作可行域如图，即图中射线AB，其中，则的取值范围是.

【点睛】

线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：

首先准确无误地作出可行域；其次确定目标函数的几何意义，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.

17．

（1）；

（2）.

【解析】

【分析】

（1）先根据待定系数法求得，再根据和项与通项关系求数列的通项公式；

（2）先化简，再根据错位相减法求前项和．

【详解】

（1）由得，，

解得，即，----①

当时，----②

①-②得，即，

∵不满足上式，∴

（2）依题意得

当时，，

当时，

两式相减得：

.

显然当时，符合上式

∴

【点睛】

用错位相减法求和应注意的问题

（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；

（2）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

18．

（1）见解析；

（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据折叠前后关系得PC⊥CD，根据平几知识得BE//CD，即得PC⊥BE，再利用线面垂直判定定理得EB⊥平面PBC，最后根据面面垂直判定定理得结论，

（2）先根据线面角得△PBE为等腰直角三角形，再取BC的中点O，证得PO⊥平面EBCD，建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得各面法向量，根据向量数量积得向量夹角，最后根据向量夹角与二面角关系得结果.

【详解】

（1）证明：

∵ABCD，ABBE，∴CD//EB，

∵AC⊥CD，∴PC⊥CD，∴EB⊥PC，且PC∩BC=C，

∴EB⊥平面PBC，

又∵EB平面DEBC，∴平面PBC平面DEBC；

（2）由

（1）知EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB，

由PE与平面PBC所成的角为45°得∠EPB=45°，

∴△PBE为等腰直角三角形，∴PB=EB，

∵AB//DE，结合CD//EB得BE=CD=2，

∴PB=2，故△PBC为等边三角形，

取BC的中点O，连结PO，

∵PO⊥BC，∴PO⊥平面EBCD，

以O为坐标原点，过点O与BE平行的直线为x轴，CB所在

的直线为y轴，OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系如图，

则，，

从而,,，

设平面PDE的一个法向量为，平面PEB的一个法向量为，

则由得，令得，

由得，令得，

设二面角D-PE-B的大小为，则，

即二面角D-PE-B的余弦值为.

【点睛】

利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：

第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.

19．

（1）3.62（元／公斤）；

（2）；（3）明年选择种植杂交稻B收入更高.

【解析】

【分析】

（1）先求分布列，再根据数学期望公式得结果，

（2）根据频率分布直方图中所有小长方形面积和为1求，根据组中值与对应概率乘积的和求平均值，根据独立重复试验概率公式求概率，（3）根据散点图判断是否线性相关，代入公式求，根据求，根据线性回归方程估计明年杂交稻B的单价，再乘以亩产平均值得收入，根据每年常规稻A的单价比当年杂交稻B的单价高50%得明年常规稻A的单价，再乘以500得收入，最后比较收入大小得结论.

【详解】

（1）设明年常规稻A的单价为，则的分布列为

3.50

3.60

3.70

P

0.1

0.6

0.3

，

估计明年常规稻A的单价平均值为3.62（元／公斤）；

（2）杂交稻B的亩产平均值为：

．

依题意知杂交稻B的亩产超过765公斤的概率为：

，

则将来三年中至少有二年，杂交稻B的亩产超过765公斤的概率为：

．

（3）因为散点图中各点大致分布在一条直线附近，所以可以判断杂交稻B的单价y与种植亩数x线性相关，

由题中提供的数据得：

，由，

所以线性回归方程为，

估计明年杂交稻B的单价元／公斤；

估计明年杂交稻B的每亩平均收入为元／亩，

估计明年常规稻A的每亩平均收入为元／亩，

因1905>1875，所以明年选择种植杂交稻B收入更高．

【点睛】

函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.

20．

（1）；

（2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）先根据条件列方程组，解得，

（2）（i）先代入坐标化简，联立直线方程与椭圆方程，再利用韦达定理代入化简得关于的关系式，最后根据的值为常数解得k的值以及这个常数；（ii）根据（i）的推理过程，可得一般性结论.

【详解】

（1）由点P在椭圆上得，

，，又，

，

，解得，得，

∴椭圆的方程为；

（2）（i）设直线的方程为，联立，

得，

∴

又，，

要使为常数，只需，得，

∴，

∴，这个常数为5；

（ii），这个常数为．

【点睛】

定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.

21．

（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；

（2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）先求导数，再根据讨论导函数符号，根据符号确定函数单调性，

（2）先根据零点解得，再构造差函数，设，转化为一元函数，最后利用导数研究函数单调性，确定最值，根据最值进行论证.

【详解】

（1），

设，

①当时，，；

②当时，由得或，

记

则，∵

∴当时，，，

当时，，，

∴当时，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增．

（2）不妨设，由已知得，，

即，，

两式相减得，

∴，

要证，

即要证，

只需证，

只需证，即要证，

设，则，只需证，

设，只需证，

，

在上单调递增，

，得证．

【点睛】

利用导数证明不等式常见类型及解题策略

（1）构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.

（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.

22．

（1）为参数）；

（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据，，化曲线C的极坐标方程为直角坐标方程，根据点斜式得直线的普通方程，代入解得，即得参数方程.

（2）将直线参数方程代入曲线C方程，根据参数几何意义得，解得，再根据，利用韦达定理解得结果.

【详解】

（1）由得，

又，，得，∴C的普通方程为，

∵过点、倾斜角为的直线的普通方程为，

由得

∴直线的参数方程为（t为参数）；

（2）将代入，得，

依题意知

则上方程的根、就是交点A、B对应的参数，∵，

由参数t的几何意义知，得，

∵点P在A、B之间，∴，

∴，即，解得（满足），∴，

∵，又，

∴．

【点睛】

本题考查直线的参数方程的标准形式的应用，考查基本分析应用求解能力，属基本题.

23．

（1）；

（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据绝对值定义将函数化为分段函数形式，再根据分段函数性质求值域，或根据绝对值三角不等式求最值得值域，

（2）先分离变量，转化为求对应函数最值问题，利用绝对值定义将函数化为分段函数形式，再根据分段函数性质得最值，即得结果.

【详解】

（1）法一：

，

∴，的值域为[-2,2]；

法二：

，得，

∴的值域为[-2,2]；

（2）由得，

由得，

∴，

设，

①当时，，，∴；

②当时，，，∴；

综上知，，

由恒成立，得，即a的取值范围是．

【点睛】

含绝对值不等式的解法

法一：

利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

法二：

利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：

通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.