初中平面几何一题多变可编辑修改word版.docx
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初中平面几何一题多变可编辑修改word版
平面几何一题多变
在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。
如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。
“一题多变”的常用方法有：
1、变换命题的条件与结论；
2、保留条件，深化结论；
3、减弱条件，加强结论；
4、探讨命题的推广；
5、考查命题的特例；
6、生根伸枝，图形变换；
7、接力赛，一变再变；
8、解法的多变等。
19、（增加题1的条件）AE平分∠BAC交BC于E，求证：
CE：
EB=CD：
CB
20、（增加题1的条件）CE平分∠BCD，AF平分∠BAC交BC于F
求证：
（1）BF·CE=BE·DF
（2）AE⊥CF
（3）设AE与CD交于Q，则FQ‖BC
21、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，以CD为直径的圆交AC、BC
于E、F，
求证：
CE：
BC=CF：
AC（注意本题和16题有无联系）
22、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，以AD为直径的圆交AC于E，以BD为直径的圆交BC于F，
求证：
EF是⊙O1和⊙O2的一条外公切线
23、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，和以CD为弦的圆O2，
求证：
点A到圆O2的切线长和AC相等（AT=AC）
24、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为ACD的中点，连ED并延长交CB的延长线于F，
求证：
DF：
CF=BC：
AC
25、如图，⊙O1与⊙O2外切与点D，内公切线DO交外公切线EF于点O，求证：
OD是两圆半径的比例中项。
题14解答：
因为CD^2=AD·DBAC^2=AD·ABBC^2=BD·AB
所以1/AC^2+1/BC^2
=1/（AD·AB）+1/（BD·AB）
=（AD+DB）/（AD·BD·AB）
=AB/AD·BD·AB
=1/AD·BD
=1/CD^2
15题解答：
因为M为AB的中点，所以AM=MB，AD-DB=AM+DM-（MB-DM）=2DMAC^2-BC^2=AD*AB-DB*AB
=（AD-DB）AB
=2DM*AB
26、（在19题基础上增加一条平行线）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD
于F，FG‖AB交BC于点G，求证：
CE=BG
27、（在19题基础上增加一条平行线）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD
于F，FG‖BC交AB于点G，连结EG，求证：
四边形CEGF是菱形
28、（对19题增加一个结论）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD
于F，
求证：
CE=CF
29、（在23题中去掉一个圆）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作以AC
为直径的圆O1，
求证：
过点D的圆O1的切线平分BC
30、（在19题中增加一个圆）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E，交CD
于F，
求证：
⊙CED平分线段AF
31、（在题1中增加一个条件）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，∠A=30度，求证：
BD=AB/4
（沪科版八年级数学第117页第3题）32、（在18题基础上增加一条直线）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作∠BCE=∠BCDP为AC上任意一点，直线PQ交CD于Q，交CB于M，交CE于N
求证：
PQ/PN=QM/MN
32题证明：
作NS‖CD交直线AC与点S，则PQ/PN=CQ/SN
又∠BCE=∠BCD
∴QM/MN=CQ/CN（三角形内角平分线性质定理）
∠BCE+∠NCS=∠BCD+∠ACD
NS‖CD，∴∠NSC=∠ACD
∴∠NSC=∠NCS
∴SN=CN
∴PQ/PN=QM/MN
题33
在“题一中”，延长CB到E，使EB=CB，连结AE、DE，求证：
DE·AB=AE·BE
题33证明CB^2=BD·AB因EB=CB
∴EB^2=BD·AB
∴EB：
BD=AB：
BE又∠EBD=∠ABE
∴△EBD∽△ABE
∴EB：
AB=DE：
AE
∴DE·AB=AE·BE
题34
（在19题基础上增加一条垂线）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，
AE平分CD于F，EG⊥AB交AB于点G，求证：
EG^2=BE·EC
证明：
延长AC、GE，设交点为H，
∴△EBG∽△EHC
∴EB：
EH=EG：
EC
∴EH·EG=BE·EC
又HG‖CD，CF=FD
∴EH=EG
∴EG^2=BE·EC
题35（在题19中增加点F）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，
AE平分∠BCA交BC于点E，交CD于F，求证：
2CF·FD=AF·EF
题36、（在题16中，减弱条件，删除∠ACB=90度这个条件）
已知，△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，求证：
CE/BC=CF/AC
题37
（在题17中，删除∠ACB=90度和CD⊥AB，D为垂足这两个条件，增加D是AB上一点，满足∠ACD=∠ABC）
已知，△ABC中，D是AB上一点，满足∠ACD=∠ABC，又CE平分∠BCD
求证：
AE^2=AD·AB
题38
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，PC为⊙ABC的切线求证：
PA/AD=PB/BD
题39
（在题19中点E“该为E为BC上任意一点”）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，
E为BC上任意一点，连结AE，CF⊥AE，F为垂足，连结DF，求证：
△ADF∽△AEB
题40：
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足求证：
S⊙ADC：
S⊙BDC=AD：
DB
题41
已知，如图，△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD/CD=CD/BD，求∠ACB的度数。
题42
已知，CD是△ABC的AB边上的高，D为垂足，且AD/CD=CD/BD，则∠ACB一定是90度吗？
为什么？
题43：
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，△ADC的内切圆⊙O1，
△BDC的内切圆⊙O2，
求证：
S⊙O1：
S⊙O2=AD：
DB
题44：
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，△ADC的内切圆⊙O1的半径R1，△BDC
的内切圆⊙O2的半径R2，△ABC的内切圆⊙O的半径R，求证：
R1+R2+R=CD
题45、
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，和以BD
为直径的圆O2，设O1和O2在△ABC内交于P
求证：
△PAD的面积和△PBC的面积相等
题45解：
∠CAP=∠CDP=∠DBP（圆周角、弦切角）
∴Rt△APC∽Rt△BPD
∴AP·PD=BP·PC
又∠APD和∠CPB互补（∠APC+∠BPD=180度）
S△PAD=1/2·AP·PD·sin∠APDS△PBD=1/2·BP·PC·sin∠CPB
∴S△PAD=S△PBD
题46（在题38的基础上变一下）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，PC为⊙ABC的切线，又CE平分∠ACB
交⊙ABC与E，交AB与D，若PA=5，PC=10，求CD·CE的值
题47
在题46中，求sin∠PCA
题48（由题19而变）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，
AE平分∠ACB交BC于E，EG⊥AB交AB于点G，求证：
（1）AC=AG
（2）、AG^2=AD·AB
（3）、G在∠DCB的平分线上
（4）、FG‖BC
（5）、四边形CEFG是菱形
题49
题49解答：
题目50（题33再变）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，延长CB到E，使EB=CB，连结AE
交CD的延长线于F，如果此时AC=EC，求证：
AF=2FE
题50解：
过点E作EM⊥CF，M为垂足，则AD：
DB=AC^2：
CB^2=4：
1
又DB：
EM=1：
2
所以，AD：
EM=2：
1
△ADF∽△EMF
∴AF：
EF=AD：
EM=2：
1
∴AF=2EF
题目51（题50中连一线）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，延长CB到E，使EB=CB，连结AE
交CD的延长线于F，连结FB，如果此时AC=EC，求证：
∠ABC=∠EBF
（题51的几种解法）解法1、
作∠ACB的平分线交AB于点G，易证△ACG≌△CEF
∴CG=EF
∴证△CBG≌△EBF
∴∠ABC=∠EBF
题51解法2
作∠ACB的平分线交AB于点G，交AE于点P，则点G为△ACE的垂心，∴GF‖CE
又∠AEC=∠GCE，
∴四边形CGFE为等腰梯形
∴CG=EF
∴再证△CBG≌△EBF
∴∠ABC=∠EBF
题51解法3
作∠ACB的平分线交AB于点G，交AE于点P，则点G为△ACE的垂心，
易证△APG≌△CPF（AAS）
∴PG=PF
又∠GPB=∠FPB，
PB=PB
∴△PBG≌△FBP（SAS）
∴∠PBG=∠FBP
∴∠ABC=∠EBF
题51解法4（原题图）由题50得，AF=2EF
∴AF：
EF=AC：
BE=2又∠CAF=∠BEF=45度
∴△ACF∽△EBF
∴∠ACF=∠EBF又∠ACF=∠CBA
∴∠ABC=∠EBF
题51解法5
作ME⊥CE交CD的延长线于M，证△ABC≌△CME（ASA）
∴∠ABC=∠M
再证△MEF≌△BEF（SAS）
∴∠EBM=∠M
∴∠ABC=∠EBF
题51解法6
作点B关于点C的对称点N，连结AN，则NB=2BE，又由题50，AF=2EF，
∴BF‖AN
∴∠EBM=∠N
又∠ABC=∠N（对称点）
∴∠ABC=∠EBF
题51解法7
过点C作CH‖BF交AB于M，
∵B为CE的中点，
∴F为HE的中点
又由题50，AF=2EF，
∴H为AF的中点又CH‖BF
∴M为AB的中点
∴∠MCB=∠MBC又∠EBM=∠MCB
∴∠ABC=∠EBF
题目52（题50、51结论的引伸）
已知，△ABE中，AC=EC，∠ACE=90度，
CD⊥AB交斜边AB于F，D为垂足，B为CE的中点，连结FB，
求证：
（1）、AF=2EF
（2）、∠ABC=∠EBF
（3）、∠EBF=∠E+∠BAE
（4）、∠ABF=2∠DAC
（5）、AB：
BF=AE：
EF
（6）、CD：
DF=AE：
AF
（7）、AD：
DB=2AF：
EF
（8）、CD/DF·FA/AE·EB/BC=1题目53（题52的一部分）
已知如图，
①、AC=CE
②、AC⊥CE
③、CB=BE
④、CF⊥AB求证：
⑤、AF=2EF
⑥、∠ABC=∠EBF
（题53的14个逆命题中，是真命题的请给出证明）题目54（题53的逆命题1）
已知如图，
⑤、AF=2EF
②、AC⊥CE
③、CB=BE
④、CF⊥AB求证：
①、AC=CE
⑥、∠ABC=∠EBF平面几何一题多变
题目55（题53的逆命题2）已知如图，
①、AC=CE
⑤、AF=2EF
③、CB=BE
④、CF⊥AB求证：
②、AC⊥CE
⑥、∠ABC=∠EBF
题目56（题53的逆命题3）已知如图，
①、AC=CE
②、AC⊥CE
⑤、AF=2EF
④、CF⊥AB求证：
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF
题目57（题53的逆命题4）已知如图，
①、AC=CE
②、AC⊥CE
⑤、AF=2EF
③、CB=BE
求证：
④、CF⊥AB
⑥、∠ABC=∠EBF
题目58（题53的逆命题5）已知如图，
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF
②、AC⊥CE
④、CF⊥AB求证：
⑤、AF=2EF
①、AC=CE
题目59（题53的逆命题6）已知如图，
①、AC=CE
④、CF⊥AB
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF
求证：
⑤、AF=2EF
②、AC⊥CE
题目60（题53的逆命题7）已知如图，
①、AC=CE
②、AC⊥CE
⑥、∠ABC=∠EBF
④、CF⊥AB求证：
⑤、AF=2EF
③、CB=BE
题目61（题53的逆命题8）已知如图，
①、AC=CE
②、AC⊥CE
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF
求证：
⑤、AF=2EF
④、CF⊥AB
题目62（题53的逆命题9）已知如图，
⑤、AF=2EF
④、CF⊥AB
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF
求证：
①、AC=CE
②、AC⊥CE
题目63（题53的逆命题10）已知如图，
②、AC⊥CE
⑤、AF=2EF
④、CF⊥AB
⑥、∠ABC=∠EBF
求证：
①、AC=CE
③、CB=BE
题目64（题53的逆命题11）已知如图，
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF
②、AC⊥CE
⑤、AF=2EF
求证：
①、AC=CE
④、CF⊥AB
题目65（题53的逆命题12）已知如图，
①、AC=CE
⑤、AF=2EF
④、CF⊥AB
⑥、∠ABC=∠EBF
求证：
②、AC⊥CE
③、CB=BE
题目66（题53的逆命题13）已知如图，
①、AC=CE
⑤、AF=2EF
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF
求证：
②、AC⊥CE
④、CF⊥AB
题目67（题53的逆命题14）已知如图，
①、AC=CE
②、AC⊥CE
⑤、AF=2EF
⑥、∠ABC=∠EBF
求证：
③、CB=BE
④、CF⊥AB题目68
已知如图，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，
CM平分∠ACB，如果S△ACM=30，S△DCM=6，求S△BCD=？
（题68解答）解：
设S△BCD=x,则S△ACM/S△CMB=30/（6+x）=AM/MBS△ACD/S△CDB=36/x=AD/DB
又AC^2=AD·ABBC^2=BD·AB
∴AC^2/BC^2=AD/BD
∵CM平分∠ACB
∴（AM/BM）^2=AD/BD
∴[30/（6+x）]^2=36/x解方程得x=4或x=9
∴S△BCD=4或S△BCD=9
题目69
已知如图，△ABC中，∠ACB=90度，D为斜边AB上一点，满足AC^2=AD·AB
求证：
CD⊥AB
题目70
已知如图，△ABC中，AC>BC,∠ACB=90度，
CM平分∠ACB，且CM+CB=AC，求证：
1/AC-1/BC=√2
题70证明：
过点M作MD⊥BC，D为垂足，作MD⊥AC，E为垂足，设ME=x,AC=b,BC=a,则CM=√2x，AE=b-x,
由AE/AC=ME/BC，得（b-x）/b=x/a,
∴x=ab/（a+b）又CM+CB=AC
∴√2x+a=b,
∴ab/（a+b）=（b-a）/√2
整理得：
b^2-a^2=√2ab两边都除以ab,
∴1/AC-1/BC=√2
题目71（依题68变）
已知如图，△ABC中（AC>BC），∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，
CM平分∠ACB,且BC、AC是方程x^2-14x+48=0的两个根，求AD、MD的长。
题目71解：
显然，方程x^2-14x+48=0的两根为6和8，又AC>BC
∴AC=8，BC=6
由勾股定理AB=10
△ACD∽△ABC，得AC^2=AD·AB
∴AD=6.4
∵CM平分∠ACB
∴AM/MB=AC/CB
解得，AM=40/7
∴MD=AD-AM=24/35
题目72
已知如图，△ABC中，∠ACB=90度，AB=2AC，现在将它折成如右图的形状，这时顶点A
正好落在BC上，而且△A'MN是正三角形，求△A'MN与△ABC的面积之比。
题72解：
∵∠ACB=90度，AB=2AC
∴∠B=30度
由题意，四边形AMA'N是菱形，
∴△A'BM∽△ABC
∴A'M/AC=BM/AB
设AM=x,AB=2AC=2a
∴x/a=（2a-x）/2a
∴x=2a/3
由三角形面积公式，得
S△A'MN：
S△ABC=2：
9
题目73
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足求证：
AB+CD>AC+BC
题73的证明：
由三角形面积公式，得AB·CD=AC·BC2AB·CD=2AC·BC
又勾股定理，得AB^2=AC^2+BC^2
∴AB^2+2AB·CD=AC^2+BC^2+2AC·BC（等式性质）
∴AB^2+2AB·CD=（AC+BC）^2
∴AB^2+2AB·CD+CD^2>（AC+BC）^2
∴（AB+CD）^2>（AC+BC）^2
又AB、CD、AC、BC均大于零
∴AB+CD>AC+BC
题目74
已知，△ABC中，∠ACB>90度，CD⊥AB，D为垂足求证：
AB+CD>AC+BC
题74证明：
如图，作CB’⊥AC交AB于B’,
于是有
AB’·CD=AC·B’C
2AB’·CD=2AC·B’C
又勾股定理，得AB’^2=AC^2+B’C^2
∴AB’^2+2AB’·CD=AC^2+B’C^2+2AC·B’C（等式性质）
∴AB’^2+2AB’·CD=（AC+B’C）^2
∴AB’^2+2AB’·CD+CD^2>（AC+B’C）^2
∴（AB’+CD）^2>（AC+B’C）^2
又AB’、CD、AC、B’C均大于零
∴AB’+CD>AC+B’C……①
在△ABB’中,BB’>CB-CB’……②
①+②得AB’BB’+CD>AC+B’CCB-CB’
∴AB+CD>AC+BC
题目75
已知如图，△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，
CT平分∠ACB，CM为AB边上的中线，且∠ACD=∠DCT=∠TCM=∠MCB
求证：
∠ACB=90度
题目75的证明：
延长CT交三角形ABC的外接圆于N，连结MN，则N为弧AB的中点，所以MN⊥AB，
又CD⊥AB，
∴MN‖CD
∴∠DCT=∠TNM又∠DCT=∠TCM
∴∠TCM=∠TNM
∴CM=NM
∴CN的垂直平分线必过点M，
又CM为AB边上的中线，MN⊥AB
∴AB的垂直平分线必过点M，
即M为两条弦的垂直平分线的交点，
∴M为三角形ABC的外接圆的圆心，因此AB为△ABC的外接圆的直径。
∴∠ACB=90度
题目76
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，
∠ACB的平分线CG交AB边上的中垂线于点G，求证：
MC=MG
题目77
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，CM为AB边上的中线，CD是∠ACB的平分线，AC=75cm,BD=80cm,
求CD、CM、CE的长
题目78
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为⊙ABC上一点，且弧AC=弧CE，又AE交CD于M，
求证：
AM=CM
题目79（题78再变）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为⊙ABC上一点，且弧AC=弧CE，又BC交AE于G，连结BE
求证：
BG^2=AB·BE-AG·GE
题目80
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为⊙ABC上一点，且直线DC于直线BE交于P，
求证：
CD^2=DM·DP
题目81
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为⊙ABC上一点，且直线DC于直线BE交于P，如果CD平分AE，
求证：
2DM·DP=BE·EP
题目82
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为⊙ABC上一点，且弧AC=弧CE，又直线AC与直线BE交于H，
求证：
AB=BH
题目83（由题44变）
求证：
直角三角形两条直角边的和等于斜边与内切圆直径的和。
题目84
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，MN切⊙ABC与C点求证：
BC平分∠DCN
题目85
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，MN切⊙ABC与C点，
AF⊥MN，F为垂足，AE⊥MN，E为垂足，求证：
CD=CE=CF
题目86
已知，△ABC中，∠ACB=90度，以BC为直径的圆交AB于点D，以AC为半径的圆交AB
于点E，
求证：
∠B
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