华中师范大学2014-量子力学A卷-参考答案.doc
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华中师范大学2014–2015学年第一学期
期末考试试卷（A）
课程名称量子力学课程编号83810113任课教师
题型
填空题
判断题
证明题
简答题
计算题
总分
分值
20
10
16
20
34
100
得分
得分
评阅人
一、填空题：
（共10题，每题2分，共20分）
1.若某种光的波长为，则其光子的能量为，动量大小为。
2.戴维逊—革末实验主要表现出电子具有波动性。
3.若是归一化的波函数，则表示t时刻x附近dx体积元内发现粒子的概率。
4.设力学量算符与不对易，且其对易子为，则它们的不确定性关系为。
5.厄米算符在自身表象是对角矩阵。
6.从量子力学的观点看，氢原子中核外电子的运动不再是圆轨道上的运动，而是电子云的图像，电子云是电子电荷在核外的概率分布。
7.设氢原子处于态，求氢原子的角动量分量的平均值。
8.证明电子具有自旋的实验是钠黄线的精细结构/复杂塞曼效应/斯特恩-盖拉赫实验。
院（系）：
专业：
年级：
学生姓名：
学号：
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9.两个角动量，角量子数分别为，它们耦合的总角动量的角量子数3/2或1/2。
10.周期性微扰下，当时，跃迁概率为。
式中函数的物理意义是跃迁过程能量守恒。
得分
评阅人
二、判断题：
（共10题，每题1分，共10分）
1.光电效应证实了光的粒子性，康普顿效应进一步证实了光的粒子性。
（ √ ）
2.若是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加（其中为复常数）也是体系的一个可能状态。
（ √ ）
3.不同定态的线性叠加还是定态。
（ × ）
4.因为坐标与动量算符均是厄米算符，所以它们的乘积一定是厄米算符。
（ × ）
5.若两个力学量算符不对易，则它们一般没有共同本征态。
（ √ ）
6.粒子在中心力场中运动，若角动量Lz是守恒量，那么Lx就不是守恒量。
（ × ）
7.在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：
，则粒子的束缚态波函数一定具有确定的宇称。
（ √ ）
8.费米子体系的哈密顿算符必须是交换反对称的，玻色子体系的哈密顿算符必须是交换对称的。
（ × ）
9.全同粒子体系的波函数具有一定的对称性，是来自于全同粒子的不可区分性。
（√ ）
10.自由粒子所处的状态只能是平面波。
（ × ）
第1页（共4页）
得分
评阅人
三、证明题：
（共2题，每题8分，共16分）
1.用狄拉克符号证明：
（1）厄米算符的本征值是实数；
（2）厄米算符不同本征值的本征矢互相正交（非简并情形）。
（8分）
证明：
（1）设，其本征值方程为
①
用本征矢的共轭矢量左乘上式，得到
②
对上式取共轭，得
③
利用厄米算符的定义，得出②式与③式相等，即
（2）厄米算符的本征值方程记为，用左乘前式，用左乘后式，得
④
⑤
④式取共轭得
⑥
⑤式与⑥式相减，左边为零，得
而，则，证毕。
-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------
2.证明处于1s，2p和3d态的氢原子，分别在，和的球壳内发现电子的概率最大。
（提示：
氢原子波函数，其中，，。
（8分）
证明：
球壳内发现电子的概率（利用球函数的归一性，径向波函数是实函数）
得1s态，2p态和3d态的径向概率密度为
概率密度的极值由一阶偏导数为零得出，即
得；
得；
得。
证毕。
第2页（共4页）
得分
评阅人
四、简答题：
（共5题，每题4分，共20分）
1.简述玻尔的量子论，并对它进行简单的评价。
答：
为了解释原子稳定性的问题和光谱的线状谱，玻尔的工作：
（a）首先假设了不连续的定态，处于定态的电子不辐射。
定态由量子化条件决定。
（b）还引进了量子跃迁的概念。
这一模型解决了上述两个困难，其定态的概念依然保留在近代量子论中，为人们认识微观世界和建立量子理论打下了基础。
其缺点是，量子化条件是输入，而不是输出；保留了经典的概念，如轨道，没有成为一个完整的量子理论体系。
2.处于定态的体系具有哪些性质。
答：
（a）定态是能量有确定值的状态；（b）处于定态的系统，几率分布与时间无关，几率流密度与时间无关；（c）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化。
总之，定态是一种力学性质稳定的状态。
3.隧道效应。
答：
微观粒子能穿越比它的能量高的势垒的现象，称为隧道效应。
它是微观粒子波动性的体现。
4.跃迁的选择定则及其理论依据。
答：
光照射原子时，即使入射光中与玻尔频率对应的能量密度不为零，跃迁也不一定发生。
还要求两能级的量子数满足，这称为选择定则。
其理论依据是，在电偶极近似下跃迁概率。
当时，若，导致跃迁概率为零，跃迁是禁戒的。
允许的跃迁要满足，就得到选择定则。
5.分波法的基本思想。
答：
对于中心力场，角动量是守恒量。
应用角动量守恒，把受势场作用前后的定态按分波展开，各分波在散射过程中可以分开来一个一个处理，势场对各分波的效应在于改变分波的相位。
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得分
评阅人
五、计算题：
（共3题，共34分）
1.质量为的一维谐振子的基态波函数为，其中，求粒子出现在经典禁区的概率。
（10分）
（积分公式：
）
解：
谐振子的能量表达式，因经典粒子的动能必小于等于总能量，其转折点（动能为零的点）满足，得。
对于基态，，转折点，经典禁区为。
量子谐振子出现在经典禁区的概率为
在经典禁区，粒子出现的概率不为零，对于基态，在经典禁区出现的概率为15.4%。
第3页（共4页）
2.已知在和的共同表象中，算符和的矩阵表示分别为
，，求它们的本征值和归一化的本征函数，并将矩阵和对角化，写出使矩阵对角化的么正变换矩阵U。
（12分）
解：
的本征值方程为，久期方程的解为。
将分别带入本征值方程，得归一化本征矢，，。
同理，的本征值方程为，久期方程的解为，归一化的本征矢为，，。
为了将矩阵Lx和Ly对角化，需要做表象变换，变到它们自身的表象，就对角化了。
表象变换的矩阵分别为，
，。
-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------
3.已知某表象中哈密顿算符的矩阵形式。
（1）设，应用微扰论求哈密顿算符的本征值到二级近似；
（2）求精确解，并与上面的微扰论结果比较。
（12分）
解：
当，可把哈密顿分解为
是对角矩阵，是在自身表象的形式。
所以，零级近似的能量和态矢为
由无简并微扰公式，，得能量的一级修正为
能量的二级修正为
得二级近似下。
（3）设H的本征值为E，久期方程为，
得。
将精确解按c展开得。
微扰论二级近似解与精确解展开式不计c4及更高阶的结果相同。
第4页（共4页）
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