计算方法刘师少版课后习题答案.docx
《计算方法刘师少版课后习题答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计算方法刘师少版课后习题答案.docx（40页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
计算方法刘师少版课后习题答案
1.1设3.14,3.1415,3.1416分别作为π的近似值时所具有的有效数字位数
解近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的绝对误差是－0.0015926⋯，有
xx0.00159260.51013.
即n=3，故x=3.14有3位有效数字.x=3.14准确到小数点后第2位.又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074⋯，有
xx..
即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字.而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926⋯，有
xx..
即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字.
这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字
1.2指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：
2.0004－0.0020090009000.00
解
（1）∵2.0004＝0.20004×101,m=1
绝对误差限：
xxx0.200040.0000490.5104
m-n=-4,m=1则n=5,故x=2.0004有5位有效数字11
x1=2，相对误差限r10（n1）10150.000025
1r2x122
（2）∵－0.00200=-0.2×10-2,m=-2
xxx（0.00200）0.00000490.5105m-n=-5,m=-2则n=3,故x=-0.00200有3位有效数字
113x1=2，相对误差限r1013=0.0025
1r22
（3）∵9000=0.9000×104,m=4，
xxx90000.490.5100
m-n=0,m=4则n=4,故x=9000有4位有效数字
114r10＝0.000056r29
（4）∵9000.00=0.900000×104,m=4，
xxx9000.000.00490.5102m-n=-2,m=4则n=6,故x=9000.00有6位有效数字
1
相对误差限为r1016＝0.00000056
r29
由（3）与（4）可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.
1.3ln2=0.69314718⋯，精确到103的近似值是多少？
解精确到103＝0.001，即绝对误差限是＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以.ln20.693
313
2.1用二分法求方程x3x10在1,2的近似根，要求误差不超过103至少要二分多少？
2
解：
给定误差限＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为
x*xk1k1（ba）只要取k满足k11（ba）即可，亦即
lg（ba）lglg0.53lg10k119.96678
lg2lg2
只要取n＝10.
2.3证明方程1-x–sinx＝0在区间[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不超过
0.5×10-4的根要二分多少次？
证明令f（x）＝1－x－sinx，
∵f（0）=1>0，f
（1）=－sin1<0
∴f（x）=1－x－sinx=0在[0，1]有根.又
f（x）=-1－cosx<0（x[0.1]）,故f（x）在[0，1]单调减少，所以f（x）在区间
[0，1]内有唯一实根.
给定误差限＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为
x*xk1k1（ba）只要取k满足k11（ba）即可，亦即
lg（ba）lglg0.54lg10
k1113.2877
lg2lg2
只要取n＝14.
32
2.4方程x3x210在x=1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式：
（1）x112，迭代公式xk1112
（2）x31x2，迭代公式xk131xk2
x2k1xk2
（3）x21，迭代公式xk11（4）xx31，迭代公式xk1xk31
x1k1xk1
试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。
12
解：
（1）令f（x）12，则f（x）23，由于
x2x3
21
f（x）330.591，因而迭代收敛。
x31.53
2
（2）令f（x）31x2，则f（x）2x（1x2）3，由于
3
f（x）321.5220.341
33（11.52）2
迭代收敛，且第二种迭代格式比第一种迭代格式收敛速度要快。
2.5
解：
2.7
解：
3）令f（x）x1
1，则f（x）
f（x）2（1.51）31迭代发散。
4）令f（x）x31，则f（x）
22
x21.52
1，由于
2（x1）3
x2（x3
1
1）2，由于
1
c
x2
xx2xcx
1
2
x
迭代格式为
注：
若令x
f（x）1
x311.531
迭代发散。
具体计算时选第二种迭代格式，
n=0,1,⋯
xk131xk2
计算结果如下：
1.5,x1
1.468817,3
1.4658768
2）
x0
x3
x6
x9
1.4656000
xx
令x12
x
1.481248,x2
x41.4670480,x71.465710,2
1.4727057
x51.466243x81.4656344
xx
xk11，取c1x
f（x）x1,f（x）1，则
c
cx，显然迭代格式不法不符合题意。
1
c，取f（x）c12,f（x）23，则xx
1
c2
x
2
3
x
3xcx3（3cx2）x
2222
迭代格式xk1（23c2xk2）xk
14x8104,
2对于迭代函数（x）xC（x22），试讨论：
（1）当C取何值时，xk1（xk）,（k0,1,2,）产生的序列xk
（2）C取何值时收敛速度最快？
1）（x）xC（x22），（x）12Cx，由已知条件知，当
（2）12C21，即
x9
x91.4656000
收敛于2；
32
f（x）（x3a）2。
写出解f（x）0的Newton迭代格式。
证明此迭代格式是线性收敛的。
解：
因f（x）（x3a）2，故f（x）6x2（x
f（xn）
n,n0,1,
f（xn）
2.10设
1）
2）
a），由Newton迭代公式：
xn1xn
1C0时，迭代收敛。
2
2）当（x）0时迭代至少是二阶收敛的，
（2）12C20，所以C
收敛最快。
即
1时收敛最快。
22
32
（xn3a）2
23
6xn2（x3na）
以下证明此格式是线性收敛的
xn1xn
5xna
66xn2
n0,1,
试用牛顿迭代法导出下列各式的迭代格式：
（2）不使用开方和除法运算.
c
（1）不使用除法运算；
c
1
1）令c，取f（x）
x
因迭代函数（x）5xa
66x2
5a（3a）35
636
故此迭代格式是线性收敛的。
而（x）
c,f（x）12，则
xx
6
1
0
2
a3*3
x3,又x*3a,则
3
第三章解线性方程组的直接方法习题及解答
（考试时二元）3.2用列主元素消去法解线性方程组
3x12x26x34
10x17x27
5x1x25x36
解：
第一步列选主元10，将第一和第二行交换，再消去
x1，得
10
7
0
x1
7
1
61
0
6
x2
10
10
5
x3
5
0
5
2
2
1
0
0.4
0
6
0.2
消元
0
1
1.2
0
0.2
0.4
0
0
0.2
1
0.2
0.6
1
0
0
2
1
1
消元
0
1
0
6
1
4
0
0
1
5
1
3
2
1
1
则
A1
6
1
4
5
1
3
3.4用矩阵的直接三角分解解方程组
2x1x2x31
4x1x23x37
6x19x2x33
解设系数矩阵A的杜利特尔分解为A=LU，即
x2，得
10
7
0
x1
7
5
5
0
5
x2
2
2
31
x3
31
0
0
5
5
5
第二步列选主元，将第二和第三行交换，再消去
2
211
1
u11u12u13
413
l211
u22u23
691
l31l321
u33
将右端两矩阵相乘后比较两端，可得
u112,u121,u131
回代求解得x31,x21,x10
3.3用高斯-约当法求逆矩阵
123
l214/u112,l31
12
1
34
310
0
解：
21
201
0
13
400
1
21
20
12
31
列选主
13
40
1
0.5
0
1.5
消元
0
2.5
1
0.5
列选主
0
2.5
0
1.5
A212
10
00
01
1
0
0.5
0
2
1
0.5
0
3
0
0.5
1
1
0
0.5
0
3
0
0.5
1
2
1
0.5
0
6/u113
u233l21u135
2
得u3312
1
211
21
U
35
321
12
L
再求解方程组
l32
1,
u221l21u123,l31u12l32u229,得l31u13l32u23
u33
y1
2y1y2
3y12y2
LY=b,UX=Y,
17,y33
即：
2x1x2x3y13x25x3y212x3y3
先由前一个方程组求得y11,y29,y318，代入后一个方程组，求得原方程的解为
113
x1,x2,x3
222
3.7证明对任意非奇异矩阵A、B有
证：
A1B1
AB
A1A
BB1
A1B1A1B1AB
A1（AB）B1
（IA1B）B1
B1A1
A1B1
等式成立
3.8证明对任意非奇异矩阵A有
A1
证：
因为
所以
1
A
A1A
A1AA
3.9
（1）
（2）
（3）
证：
（1）
1
A
B∈Rnn为非奇异矩阵，证明
A1
设A、
Cond（A）≥1，Cond（A）=Cond（A-1）；
Cond（A）=Cond（A），R,0；
Cond（AB）≤Cond（A）Cond（B）。
A
Cond（A）A1
Cond（A）A
A1AI1A（A1）1A1Cond（A1）
1
（2）Cond（A）（A）1（A）1A1AA1ACond（A）
（3）
Cond（AB）（AB）1ABA1B1ABA1AB1B
Cond（A）Cond（B）
3.10设线性方程组为
7x110x21
5x17x20.7
（1）试求系数矩阵A的条件数cond（A）；
（2）若右端向量有扰动b（0.01,0.01）T，试估计解的相对误差。
解：
（1）A710,A1710
5757
Amax17,1217
A1max17,1217
Cond（A）A1A1717289
2）本题是讨论方程组的右端项有扰动δb时对解的相对误差的估计，由解向量的精度的估计式：
XXCond（A）
X
b0.012892.89b1
第四章解线性方程组的迭代法习题及解答
4.1用Jacobi迭代格式解方程组10x12x2x33
2x110x2x315
x12x25x310要求x（k1）x（k）0.005
解Jacobi迭代格式为
x1（k1）0.2x2（k）0.1x3（k）0.3
x2（k1）0.2x1（k）0.1x3（k）1.5
取初始迭代向量
x（0）
（0,0,0）T
，迭代结果为：
x
（1）
（0.3000,
1.5000,
2.000）T
x
（2）
（0.8000,
1.7600,
2.6600）T
x（6）
（0.9963,
1.9961,
2.9938）T
x（7）
（0.9986,
1.9986,
2.9977）T
由于
x（7）
x（6）0.5
102
x3（k1）0.2x1（k）0.4x（2k）2
所以满足要求的解为
Tx（0.9986,1.9986,2.9977）T
4.2用高斯—塞德尔迭代法求解线性方程组
3x1x22
x12x21
要求x（k1）x（k）0.005
解：
建立高斯—塞德尔迭代格式：
得10,2,3
，故（B）2，由（B）1，得
2，即
2时，（B）1，
1（k）2
x2
323
1（k1）1x1
212
x（0）
（0,0）T，
迭代结果为：
x
（1）
（0.6667,
0.1667）T
x
（2）
（0.6111,
0.2222）T
x（3）
（0.5925,
0.2037）T
x（4）
（0.5988,
0.2006）T
x（5）
（0.6000,
0.2000）T
x1（k1）
x2（k1）
取初始迭代向量
x（5）x（4）0.005
雅可比迭代法收敛。
4.6设线性方程组
x1x24
2x1x33
试求能使高斯－赛德尔迭代收敛的的取值范围。
高斯－赛德尔迭代矩阵
11
Gs（DL）1U
2
0210
00
1210
1100
10
它的特征多项式为
det（IGs）
故方程组的近似解为x（0.600,0.200）T
4.4线性方程组Axb的系数矩阵为
13
A＝12
32
试求能使雅可比迭代法收敛的的取值范围。
其特征值为10,
时，
解当0时，雅可比迭代矩阵
2
0
2
0
1
3
1
2
3
2
1
3
IB
363
92
）0
当221,
（Gs）1
高斯－赛德尔迭代收敛
第五章插值与曲线拟合习题与解答
5.1已知函数y=f（x）的观测数据为
xk
－2
0
4
5
yk
5
1
－3
1
试构造不超过三次的拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式，并验证插值多项式的惟一性，再计算f（－1）的近似值.。
1）建立拉格朗日插值多项式：
构造基函数
x（x4）（x5）
l0（x）
（20）（24）（25）
l（x）（x）（x）（x）
x（x4）（x5）
84
（x）（x）（x）
（（））（）（）l（x）（）（）（）
x（x）（x）
l3（x）（5（x2）（25）x（0x）（54）4）
所求三次多项式为
（x2）x（x4）
35
n
P3（x）=yklk（x）
k0
＝x（x）（x）＋（x）（x）（x）+（）x（x）（x）＋（x）x（x）
＝xxx
x
f（x）
一阶差商
二阶差商
三阶差商
-2
5
0
1
-2
4
-3
-1
1/6
5
1
4
1
5/42
2）建立牛顿插值多项式：
建立差商表为
牛顿插值多项式为
N3（x）f（x0）fx0,x1（xx0）fx0,x1,x2（xx0）（xx1）
fx0,x1,x2,x3（xx0）（xx1）（xx2）
N3（x）52（x2）1x（x2）5x（x2）（x4）
642
53
x
42
12
x
14
55
21
x1
（3）惟一性验证：
将拉格朗日插值多项式与牛顿插值多项式比较它们是完全一样的，这一结论和插值多项式的惟一性一致。
（4）计算f（－1）
4
5.6设f（x）x4，试利用拉格朗日余项定理给出多项式P（x）。
解根据拉格朗日余项定理
f（x）以-1，0，1，2为节点的三次插值
f（4）（）
f（x）P（x）（xx0）（xx1）（xx2）（xx3）4!
x4P（x）x（x1）（x1）（x2）
P（x）2x3x22x
5.10若f（x）3x21，求f1,2,3和f1,2,3,4。
f（）
解f1,2,3f（）3，f1,2,3,4=0
2!
5.13求满足以下条件的Hermite插值多项式
xi
0
1
f（xi）
0
1
f（xi）
1
2
解令所求插值多项式为
P3（x）a3x3a2x2a1xa0
P3（x）3a3x22a2xa1依所给插值条件有
0P3（0）a0
1P3（0）a1
1P3
（1）a0a1a2a3
2P3
（1）a12a23a3由此解出
a00,a11,a21,
故有
P3（x）x3x2x第六章数值积分与微分习题与解答
6.1用梯形公式、
a3
辛卜生公式和柯特斯公式计算积分
解记a=0,b=1,
f（x）ex,f（x）
f（x）ex,则
ex,f（x）
I则梯形公式exdxbaf（a）f（b）
0exdx
10e0
2
其误差为
R（f）
3
（b12a）f（）
1
e
12
辛卜生公式
（f
其误差为
1
exdx，并估计各种方法的误差（保留5位小数）0
（4）
（x）ex,f（5）（x）ex,f
e10.6839
1120.0833330,1
160e04e0.5e10.6323
（6）（x）e
R（f）
（ba）baf（4）（）
1802f（）
5
（ba）5
e
2880
1
281800.000350,1
b
af（x）dx
ba
baf（a）4f
a2bf
柯特斯公式
具有3次代数精度。
1exdxb090
3
41
17
7e032e412e232e47e1
24.921637.2783615.115722.57516
解：
设f（x）=1,公式左边
b
1dxba，公式右边
a
56.88727
90
0.6321
f（x）=x,公式左边
b
xd
a
2a2
，公式右边
R（f）
8baf（6）（）
9454
90其误差为
2
94546e
f（x）=x2,左边
x2dx
6.2
6.3
b3a
右边
260.0000005167
94546
0,1
3
f（x）=x3,左边
f（x）=x4,左边
）f（）的代数精度.
b3
x3dxa
3
b4a4
右边
ba
（141）ba
6
baabb
（a4b）
2
a2
ba
6
ba
试确定求积公式f（x）dxf（
k
［依定义，对xk（k=0,1,2,3,⋯），找公式精确成立的k数值］当f（x）取1,x,x2,⋯计算求积公式何时精确成立
（1）取f（x）=1,有
左边＝f（x）dxdx,右边＝
（2）取f（x）=x,有
左边＝f（x）dxdx,右边＝
（3）取f（x）=x2,有
左边=f（x）dx
（4）取f（x）=x3,有
左边=f（x）dx
（5）取f（x）=x4,有
左边=f（x）dx
6.4
f（）f（）
f（）f（）
dx,右边=f（）f（）
xdx,右边=f（
xdx
当k3求积公式精确成立，而
解：
）（）
右边=f（）f（）（）（）
x4公式不成立，可见该求积公式具有3次代数精度
用代数精度定义直接验证辛卜生公式
b
升级会员 