新课标全国卷2高考理科数学试题和答案解析Word格式文档下载.docx
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i8.某保险的基本保费为a（单位：
元）费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险
次数0
求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
i9.如图，菱形ABCD勺对角线AC与BD交于点QAB=5AC=6点E,F分别在AD,CD上，AE=CF=,EF交于BD于点M将△DEF沿EF折到△D'
EF的位置，OD二”.
（I）证明：
D'
H丄平面ABCD
（n）求二面角B-D'
A-C的正弦值.
20.已知椭圆E:
'
+=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k>
0）的直线交E于A,
M两点，点N在E上，MALNA
（I）当t=4,|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；
（H）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围.
21.（I）讨论函数f（x）=e的单调性，并证明当x>
0时，（x-2）ex+x+2>
0;
fFJ!
H
（H）证明：
当a€[0,1）时，函数g（x）=（x>
0）有最小值.设g（x）的最小值
」丁
为h（a）,求函数h（a）的值域.
22.如图，在正方形ABCD中,E,G分别在边DADC上（不与端点重合），且
DE=DG过D点作DF丄CE垂足为F.
B,C,GF四点共圆；
二
（H）若AB=1,E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.
23.在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25.
（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（JT--—
（H）直线I的参数方程是（t为参数），I与C交与A,B两点，|AB|=，求I的
斜率.
24.已知函数f（x）=|x-J+|x+一|,M为不等式f（x）v2的解集
（I）求M
（n）证明：
当a,b€M时，|a+b|<
|1+ab|.
2016年全国统一高考数学试卷（新课标U）（理科）
答案和解析
【答案】
1.A
2.C
3.D4.A
5.B
6.C
7.B
8.C
9.D
10.C
11.A
12.B
21
13.1
14.②③④
15.1和3
16.1-In2
17.解：
（I）Sn为等差数列｛an｝的前n项和，且a1=1,Sz=28,7a4=28.
可得a4=4,则公差d=1.
an=n,
bn=[lgn]，则b1=[lg1]=0,
bn=[lg11]=1,
b101=[lg101]=2
（n）由（I）可知:
b1=b2=b3=・・.=b9=0,b10=b11=b12=・・・=b99=1.
b100=b101=b102=b103=•••=b999=2,b10,00=3.
数列｛bn｝的前1000项和为：
9X0+90X1+900X2+3=1893.
18.解：
（I）：
某保险的基本保费为a（单位：
元），
上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保费，
•••由该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表得：
一续保人本年度的保费高于基本保费的概率：
P1=1-0.30-0・15=0.55
（n）设事件A表示“一续保人本年度的保费高于基本保费”，事件B表示“一续保人本年度的保
费比基本保费高出60%，
由题意P（A）=0.55，P（AB）=0.10+0.05=0.15，
由题意得若一续保人本年度的保费高于基本保费，
则其保费比基本保费高出60%勺概率：
耳g（MBM
p2=P（B|A）='
=.
（川）由题意，续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为：
0.85axI）.3（1kox0丄厘+125axO.3+1.5ax0.20+1.25ox0.01+2ax0.05
1.23.
=1.23，
•续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为
19.（I）证明：
TABCD是菱形，
•••AD=DC又AE=CF=,
DEDF
•.，贝UEF//AC
•B（5,0,0）,C（1,3,0）,D'
（0,0,3）,A（1,-3,0）,总=舛詁“心={—
设平面ABD的一个法向量为石=（J丛J,
，得
I）
—工十3[/—3s=<
1
取x=3,得y=-4,
同理可求得平面AD'
C的一个法向量，
设二面角二面角B-D'
A-C的平面角为0,
|石•璇|_|3"
15X1|_m/S
则|cos01=一'
.
h丽
•二面角B-D'
A-C的正弦值为sin0二-.
20.解：
（I）t=4时，椭圆E的方程为+=1,A（-2,0）,
直线AM的方程为y=k（x+2）,代入椭圆方程，整理可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0,
-Ci呂卩一{i12
解得x=-2或x=-上：
八…,则|AM|=>
■；
：
"
；
?
|2-■-|=•?
十加•-
I1212
由ANLAM可得|AN|='
?
'
=?
由|AM|=|AN|,k>
0,
12lJ_可得V'
-'
i-I?
呂一曲=/.'
、一邓?
■拧"
耳
整理可得（k-1）（4k2-k+4）=0,由4k2-k+4=0无实根，可得k=1,
1I_12_144
即有AAMN的面积为_|AM|2=_（小「：
？
■）2=•；
（H）直线AM的方程为y=k（x+），代入椭圆方程,
可得（3+tk2）x2+2tk2x+t2k2-3t=0，
解得x=-"
9或x=-
GW
即有|AM|=•-I•?
|、；
「补-|=：
•/-一存？
十畑；
6\/7
6v^
由2|AM|=|AN|，可得2I?
-=-?
帶一池
整理得t=…-,
呼二M（A：
2+1）（^-2）
由椭圆的焦点在x轴上，则t>
3，即有•->
3，即有•-v0,
可得岀<
kv2,即k的取值范围是（；
氏,2）.
『
21.解：
（1）证明：
f（x）=
x—24
f（x）=ex（--）=+
•••当x€（-a,-2）U（-2,+s）时，f（x）>
0/•f（x）在（-a,-2）和（-2,+a）上单调递增
•••x>
0时，’>
f（0）=-1
即（x-2）e+x+2>
0
（护一小以一刘一z-俎）±
0严-0十伯:
+伽）｛工+2）（备21）
（2）g'
（x）==a€[0,1]
1--2fl-2
t€[0,
Z*T由
（1）知，当x>
0时，f（x）=花十後的值域为（-1,+a）,只有一解使得2]
当x€（0,t）时，g'
（x）v0,g（x）单调减;
当x€（t,+a）,g'
（x）>
0,g（x）单调增；
』二社住+1）总+0+1）冷'
■扌护
h（a）==='
旦十1]
记k（t）=7，在t€（0,2]时，k'
（t）=>
故k（t）单调递增，
It?
所以h（a）=k（t）€（二，■].
DG
C
L
22.（I）证明：
TDF丄CE
•••Rt△DF3Rt△EDC
DFCF
•:
:
=■■,
•/DE=DGCD=BC
•；
=，,
又•••/GDFMDEF2BCF
•••△GDF^ABCF
•••/CFB2DFG
•••/GFBMGFC#CFB2GFC#DFGMDFC=90,
•••/GFBfGCB=180,
•B,C,G,F四点共圆.
I
（H）TE为AD中点，AB=1,「.DG=CG=DE=,
•••在Rt△DFC中，GF=CD=GC连接GBRt△BC®
Rt△BFG
I1I
•S四边形bcg=2&
bc（=2X-X1X-=一.
..22
23.解：
圆C的方程为（x+6）+y=25,
•••X+y+12x+11=0,
222.
Tp=x+y,x=pCOSa,y=pSina,
•C的极坐标方程为p2+12pCOSa+1仁0.
rj：
=Xwi
\ft（jijiui
（n）T直线l的参数方程是（t为参数），
•直线l的一般方程y=tana?
x,
T1与C交与A,B两点，|AB|=…，圆C的圆心C（-6,0）,半径r=5,
|10
•圆心C（-6,0）到直线距离d==,
解得tan2a=,•tana=±
=±
1.
「•1的斜率k=±
24.解：
（I）当xv一时，不等式f（x）v2可化为：
二-x-x--<
2,解得：
x>
-1,
•••-1<
x<
-,
_1III
当—wxw二时，不等式f（x）<
2可化为：
二-x+x+-=1<
2,
此时不等式恒成立，
11
•-wxw」
当x>
二时，不等式f（x）<
2可化为：
丄+X+X+-<
2,解得：
x<
1,
•-<
x<
1,
综上可得：
M=（-1,1）;
证明：
（H）当a,b€M时，
（a-1）（b-1）>
即a2b2+1>
a2+b2,
即a2b2+1+2ab>
a2+b2+2ab,
即（ab+1）2>
（a+b）2,
即|a+b|<
【解析】
1.解：
z=（m+3+（m-1）i在复平面内对应的点在第四象限，
fmi3>
可得：
，解得-3<
m<
1.
故选：
A.
利用复数对应点所在象限，列出不等式组求解即可.本题考查复数的几何意义，考查计算能力.
2.解：
•••集合A={1,2,3},
B={x|（x+1）（x-2）<
0,x€Z}={0,1},
•AUB={0,1,2,3}.
C.
先求出集合A,B,由此利用并集的定义能求出AUB的值.
本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用.
3•解：
•••向量-=（1,m）,=（3,-2）,
•一+=（4,m-2）,
•••12-2（m-2）=0,
解得：
m=8
D.
求出向量农+的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案.
本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题.
4.解：
圆x+y-2x-8y+13=0的圆心坐标为：
（1,4）,
M+4-1
故圆心到直线ax+y-仁0的距离d=1=1,
4
a=,
求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案.
本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档.
5.解：
从E到F,每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，
从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，
2
每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C4=6种走法.同理从F到G,最短的走法，有C3=3种走法.
•••小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6X3=18种走法.
B.
从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最
短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，由组合数可得最短的走法，同理从F到G最短的走法，有C3=3种走法，利用乘法原理可得结论.
本题考查排列组合的简单应用，得出组成矩形的条件和最短走法是解决问题的关键，属基础题
6.解：
由三视图知，空间几何体是一个组合体，
上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2,
•在轴截面中圆锥的母线长是帀7=4,
•••圆锥的侧面积是nX2X4=8n,
下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4,
•圆柱表现出来的表面积是nX22+2nX2X4=20n
•••空间组合体的表面积是28n,
空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4,圆锥的高是2，在轴截面中
圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的
高是4,做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面.
本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端.
ITIT7T
7.解：
将函数y=2sin2x的图象向左平移丨-个单位长度，得到y=2sin2（x+丨-）=2sin（2x+「），
7T71TT
由2x+i「=kn+二（k€Z）得：
x=一+n（k€Z）,
Air7T
即平移后的图象的对称轴方程为x=一+「（k€Z）,
利用函数yAsin（Wx+0）（A>
0,0）的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案.
本题考查函数yy=Asin（wx+0）（A>
0,w>
0）的图象的变换规律的应用及正弦函数的对称性质，属于中档题.
8.解：
•••输入的x=2,n=2,
当输入的a为2时，S=2,k=1，不满足退出循环的条件；
当再次输入的a为2时，S=6,k=2，不满足退出循环的条件；
当输入的a为5时，S=17,k=3，满足退出循环的条件；
故输出的S值为17,
根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行
过程，可得答案.
本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答.
三3
9.解：
TCOS（-a）='
7T71可7
•••Sin2a=COS（--2a）=cos2（-a）=2cos2（-a）-1=2X--仁-一,故选：
利用诱导公式化sin2a=cos（--2a）,再利用二倍角的余弦可得答案.
本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，熟练掌握诱导公式化与二倍角的余弦是关键，属于中档
题.
Itt7T-丨-」伽
10.解：
由题意，-，「・n=.
以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率n的近似值.
古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到.
11.
解：
设|MR|=x，贝U|MF2|=2a+x,•/MF与x轴垂直，
/、222
••（2a+x）=x+4c,
••x=
•/sin/MF2F1=,
•3x=2a+x,
•x=a,
=a,
•a=b,
•••c=」-'
a,
c
e=.
&
IQ
设|MFi|=x，则|MF2|=2a+x，利用勾股定理，求出x='
，利用sin/MF2Fi=：
，求得x=a，可得'
求出a=b,即可得出结论.
本题考查双曲线的定义与方程，考查双曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础.
12.解：
函数f（x）（x€R）满足f（-x）=2-f（x）,
即为f（x）+f（-x）=2,
可得f（x）关于点（0,1）对称，
j11
函数y=•，即y=1+-的图象关于点（0,1）对称，即有（X1,y1）为交点，即有（-X1,2-y1）也为交点，
（X2,y2）为交点，即有（-X2,2-y2）也为交点，
土I丨I
由条件可得f（x）+f（-x）=2,即有f（x）关于点（0,1）对称，又函数y=•，即y=1+・的图象关于点（0,1）对称，即有（X1,y1）为交点，即有（-X1,2-y1）也为交点，计算即可得到所求和.
本题考查抽象函数的运用：
求和，考查函数的对称性的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题.
13.解：
由cosA=,cosC=I1，可得
sinA=
.10R
=-=
sinC=
./1
=■=
sinB=sin（A+C）
由正弦定理可得
a_5_412
=sinAcosC+cosAsinC=x1+'
x=,
b=.'
•:
m
1址蛍C
Jz21
3—
=I■故答案为：
I•
运用同角的平方关系可得sinA,sinC,再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦
定理可得b=、；
•」•：
，代入计算即可得到所求值.
本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题.
14.解：
①如果mLn,nnLa,n〃B,那么a//B，故错误；
2如果n//a,则存在直线I?
a,使n//I，由mLa,可得mLl，那么mLn.故正确；
3如果a//B,m?
a,那么m与3无公共点，贝Um//B.故正确
4如果m//n,a//3，那么m,n与a所成的角和m,n与3所成的角均相等.故正确；
故答案为：
②③④
根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案.
本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，难度中档.
15.解：
根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2,或1和3;
（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3;
•••根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3;
（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3;
又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；
•甲的卡片上写的数字不是1和2,这与已知矛盾；
•甲的卡片上的数字是1和3.
故答案为：
1和3.
可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2,或1和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说
法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少.
考查进行简单的合情推理的能力，以及分类讨论得到解题思想，做这类题注意找出解题的突破口.
16.解：
设y=kx+b与y=lnx+2和y=ln（x+1）的切点分别为（X1,kX1+b）、（X2,kx2+b）;
1]
由导数的几何意义可得k==，得X1=X2+1再由切点也在各自的曲线上，可得
上工曹十b=十1
联立上述式子解得*~;
从而kx1+b=lnx计2得出b=1-ln2.
先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，中档题
17.
（I）利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求解b1,bn,b101;
（H）找出数列的规律，然后求数列{bn}的前1000项和.
本题考查数列的性质，数列求和，考查分析问题解决问题的能力，以及计算能力.
18.
（I）上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保费，由此利用该险种一续保
人一年内出险次数与相应概率统计表根据对立事件概率计算公式能求出一续保人本年度的保费高于基本保费的概率.
（H）设事件A表示“一续保人本年度的保费高于基本
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