小学数学中遇到的典型的工程和行程应用题Word格式.docx
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（顺水速度－逆水速度）÷
2
流水速度＋流水速度÷
流水速度－流水速度÷
2
关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。
列车过桥问题：
关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
我们由浅入深看一些题目：
一、相遇问题
1、一列客车从甲地开往乙地，同时一列货车从甲地开往乙地，当货车行了180千米时，客车行了全程的七分之四；
当客车到达乙地时，货车行了全程的八分之七。
甲乙两地相距多少千米？
解：
把全部路程看作单位1，
那么客车到达终点行了全程，也就是单位1
当客车到达乙地时，货车行了全程的八分之七，
相同的时间，路程比就是速度比
由此我们可以知道客车货车的速度比=1：
7/8=8：
7，
所以客车行的路程是货车的8/7倍
所以当客车行了全程的4/7时，
货车行了全程的（4/7）/（8/7）=1/2
那么甲乙两地相距180/（1/2）=360千米，
1/2就是180千米的对应分率
分析：
此题中运用了单位1，用到了比例问题，我们要熟练掌握比例，对于路程、速度和时间之间的关系，一定要清楚，在速度或时间一定时，路程都和另外一个量成正比例，当路程一定时，速度和时间成反比例，这个是基本常识。
2、甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，2小时相遇。
相遇后两车继续前行，当甲车到达B地时，乙车离A地还有60千米，一直两车速度比是3:
2。
求甲乙两车的速度。
将全部路程看作单位1，速度比=路程比=3：
2，也就是说乙行的路程是甲的2/3
那么甲到达B地时，行了全部路程，乙行了1×
2/3=2/3，此时距离终点A还有1-2/3=1/3
那么全程=60/（1/3）=180千米，速度和=180/2=90千米/小时，甲的速度=90×
3/（3+2）=54千米/小时
乙的速度=90-54=36千米/小时
3、甲、乙两车分别同时从A、B两成相对开出,甲车从A城开往B城,每小时行全程的10%,乙车从B城开往A城，每小时行8千米，当甲车距A城260千米时，乙车距B地320千米。
A、B两成之间的路程有多少千米？
这个问题可以看作相遇问题，因为是相向而行
乙车还要行驶320/8=4小时，4个小时甲车行驶全程的10%×
4=40%=2/5
那么甲车还要行驶全程的2/5，也就是剩下的260千米，AB距离=260/（2/5）=650千米
4、一客车和一货车同时从甲乙两地相对开出,经过3小时相遇,相遇后仍以原速继续行驶，客车行驶2小时到达乙地，此时货车距离甲地150千米，求甲乙两地距离？
解此题的关键是把甲乙看成一个整体，问题就迎刃而解了。
甲乙每小时行驶全程的1/3，那么2小时行驶2x1/3=2/3，甲乙相距=150/（1-2/3）=450千米
5、甲乙两车同时分别从两地相对开出，5小时正好行了全程的2/3，甲乙两车的速度比是5：
3。
余下的路程由乙车单独走完，还要多少小时？
将全部路程看作单位1，那么每小时甲乙行驶全程的（2/3）/5=2/15
乙车的速度=（2/15）×
（3/8）=1/20，乙5小时行驶1/20×
5=1/4，还剩下1-1/4=3/4没有行驶
那么乙还要（3/4）/（1/20）=15个小时到达终点
此题和上一例题有异曲同工之处，都是把甲乙每小时行的路程看作一个整体，然后根据比例分别求出甲乙的速度（用份数表示），从而解决问题，关键之处就是把甲乙看作一个整体，这和工作问题，甲乙的工作效率和是一个道理。
6、甲，乙两辆汽车同时从东站开往西站，甲车每小时比乙车多行12千米。
甲车行驶4.5小时到达西站后没有停留，立即从原路返回，在距西站31.5千米和乙车相遇。
甲车每小时行多少千米？
设甲车速度为a小时/千米。
则乙的速度为a-12千米/小时
甲车比乙车多行31.5x2=63千米，用的时间=63/12=5.25小时
所以（a-12）×
5.25+31.5=4.5a，0.75a=31.5，a=42千米/小时
或者a（5.25-4.5）=31.5，a=42千米/小时
算术法：
相遇时甲比乙多行31.5×
2=63（千米）相遇时走63/12=5.25小时，走31.5千米的路程用5.25-4.5=0.75小时
甲每小时行31.5/0.75=42千米
7、从甲地去乙地，如车速比原来提高1/9，就可比预定的时间提前20分钟赶到，如先按原速行驶72千米，再将车速比原来提高1/3，就比预定时间提前30分钟赶到。
甲，乙两地相距多少千米？
20分钟=1/3小时。
30分钟=1/2小时
因为路程一定，时间和速度成反比，那么原来的车速和提高1/9后的车速之比为1：
（1+1/9）=9：
10
那么时间比为10：
9，将原来的时间看作单位1，那么提速1/9后的时间为1x9/10=9/10
所以原来需要的时间为（1/3）/（1-9/10）=10/3小时
第二次行驶完72千米后，原来的速度和提高后的速度比为1：
（1+1/3）=3：
4，那么时间比为4：
3
将行驶完72千米后的时间看作单位1，那么这一段用的时间为（1/2）/（1-3/4）=2小时
那么原来行驶72千米用的时间=10/3-2=4/3小时，原来的速度=72/（4/3）=54千米/小时
甲乙两地相距=54×
10/3=180千米
8、清晨4时，甲车从A地，乙车从B地同时相对开出，原计划在上午10时相遇，但在6时30分，乙车因故停在中途C地，甲车继续前行350千米在C地与乙车相遇，相遇后，乙车立即以原来每小时60
9、千米的速度向A地开去。
问：
乙车几点才能到达A地？
原来的相遇时间=10-4=6小时，乙的速度=60千米/小时
BC距离=60×
2.5=150千米（从凌晨4时到6时30分是2.5小时）
原来相遇时乙应该走的距离=60×
6=360千米
甲比原来夺走360-150-210千米，那么甲行驶6-2.5=3.5小时应该行驶的距离=350-210=140千米
所以甲的速度=140/3.5=40千米/小时，那么AB距离=（40+60）×
6=600千米，AC距离=600-150=450千米
实际相遇的时间=450/40=11.25小时=11小时15分钟，那么相遇时的时间是15小时15分
乙到达A地需要的时间=450/60=7.5小时=7小时30分
所以乙到达A地时间为15小时15分+7小时30分=22时45分
9、AB两地相距60千米，甲车比乙车先行1小时从A地出发开往B地，结果乙车还比甲车早30分到达B地，甲乙两车的速度比是2:
5，求乙车的速度。
如果甲不比乙车先行1小时，那么乙车要比甲车早1+30/60=1.5小时到达B地
甲乙的速度比=2：
5，那么他们用的时间比为5：
将甲用的时间看作单位1，那么乙用的时间是甲的2/5
甲比乙多用1-2/5=3/5
所以甲行完全程用的时间为1.5/（3/5）=2.5小时，乙行完全程用的时间=2.5-1.5=1小时
那么乙车的速度=60/1=60千米/小时
10、小刚很小明同时从家里出发相向而行。
小刚每分钟走52米，小明每分钟走70米，两人在途中A处相遇。
若小刚提前4分钟出发，且速度不变，小明每分钟走90米，则两人仍在A处相遇。
小刚和小明两人的家相距多少米？
两次相遇小明走的路程一样，那么两次相遇小明的速度比=70：
90=7：
9
时间比就是速度比的反比，所以两次相遇的时间比为9：
7
将第一次相遇的时间看做单位1那么第二次相遇小明用的时间为7/9
第一次比第二次多用的时间为1-7/9=2/9那么第一次用的时间为4/（2/9）=18分钟
所以小刚和小明的家相距（52+70）×
18=2196米
方程：
设第一次相遇时间为t分
90×
[（52t-52x4）/52]=70at=18分钟（过程从略）
11、客货两车分别从甲乙两地同时相对开出，5小时后相遇，相遇后两车仍按原速度前进，当他们相距196千米时客车行了全程的三分之二，货车行了全程的80%，问货车行完全程用多少小时？
将全部路程看作单位1，那么相距196千米时，
客车行驶了全程的1×
2/3=2/3，距离目的地还有1-2/3=1/3，货车行驶了全程的1×
80%=4/5
那么全程=196/（4/5-1/3）=196/（7/15）=420千米，客车和货车的速度比=2/3：
4/5=5：
6
客车和货车的速度和=420/5=84千米/小时，货车的速度=84×
6/11=504/11千米/小时
那么货车行完全程需要420/（504/11）=55/6小时=9小时10分钟
客货两车分别从甲乙两地相对开出，相遇后两车继续到达对方终点后，两车立即返回，又在途中相遇，两次相遇的地点相距3000米。
已知货车的速度是客车速度三分之二，求甲乙两地距离是多少米？
（要算式和解题过程）
将全部的路程看作单位1，
货车和客车的速度比=2：
第一次相遇货车行了全程的2/5，客车行了全程的3/5
因为是2次相遇，所以两车走的路程一共是3倍甲乙两地距离，也就是1x3=3，货车行了整个过程的3x2/5=6/5
因此第二次相遇是在距离甲地6/5-1=1/5处
第一次相遇是在距离甲地3/5处，那么两处相距3/5-1/5=2/5，甲乙两地距离3000/（2/5）=7500米
12、甲、乙两辆车同时分别从两个城市相对开出，经过3小时，两车距离中点18千米处相遇，这时甲车与乙车所行的路程之比是2：
3.求甲乙两车的速度各是多少？
设甲的速度为2a千米/小时，乙的速度为3a千米/小时，总路程=（2a+3a）×
3=15a千米
甲行的路程=15a×
2/5=6a
15a/2-6a=18
15a-12a=36
3a=36
a=12
甲的速度=12x2=24千米/小时，乙的速度=12x3=36千米/小时
或者
将全部路程看作单位1，那么相遇时甲行了2/5，乙行了1-2/5=3/5，全程=（1/2-2/5）=1/10
全程=18/（1/10）=180千米
甲乙的速度和=180/3=60千米/小时，甲的速度=60x2/5=24千米/小时，乙的速度=60-24=36千米/小时
13、甲乙两车同时从AB两地出发，相向而行，甲与乙的速度比是4：
5。
两车第一次相遇后，甲的速度提高了4分之一，乙的速度提高了3分之一，两车分别到达BA两地后立即返回。
这样，第二次相遇点距第一次相遇点48KM，AB两地相距多少千米？
将全部的路程看作单位1
因为时间一样，路程比就是速度比，所以相遇时，甲行了全程的1x4/（5+4）=4/9，乙行了1-4/9=5/9
此时甲乙提速，速度比由4：
5变为4（1+1/4）：
5（1+1/3）=5：
10/3=3:
4
甲乙再次相遇路程和是两倍的AB距离，也就是2
此时第二次相遇，乙行了全程的2x4/（3+4）=8/7，第二次相遇点的距离占全部路程的8/7-4/9=44/63
距离第一次相遇点44/63-4/9=16/63，AB距离=48/（16/63）=189千米
14、甲从A地往B地，乙丙从B地行往A地，三人同时出发。
甲首先遇乙，15分钟后又遇丙。
甲每份走70m，乙走60m丙走50m。
问AB两地距离、
乙丙的速度差=60-50=10米/分
那么甲乙相遇时，距离丙的距离=（70+50）×
15=1800米
那么甲乙相遇时用的时间=1800/10=180分钟
那么AB距离=（70+60）×
180=23400米
15、甲乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，甲乙两人下山的速度都是各自上山速度的二倍，甲到山顶时乙距离山顶还有500米，甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰，求从山脚到山顶的路程。
下山速度是上山的2倍，那就假设一下，把下山路也看做上山路，长度为上山路的1/2
速度都是上山的速度。
那么，原来上山的路程，占总路程的2/3，
下山路程占总路程的1/3，甲返回山脚，乙一共行了全程的2/3+1/3×
1/2=5/6，乙的速度是甲的5/6
甲到达山顶，即行了全程的2/3，乙应该行了全程的：
2/3×
5/6=5/9，实际上乙行了全程的2/3减去500米
所以全程为：
500÷
（2/3-5/9）=4500米
从山脚到山顶的距离为：
4500×
2/3=3000米
16、汽车从A地到B地，如果速度比预定的每小时慢5千米，到达时间将比预定的多1/8，如果速度比预定的增加1/3，到达时间将比预定的早1小时。
求A,B两地间的路程？
将原来的时间看到单位1，那么每小时慢5千米，用的时间是1×
（1+1/8）=9/8
那么实际用的时间和原来的时间之比为9/8：
1=9：
8，那么原来速度和实际速度之比为8：
那么实际速度是原来速度的8/9，那么原来的速度=5/（1-8/9）=45千米/小时
第二次速度增加1/3，实际速度与原来的速度之比为为（1+1/3）：
1=4：
实际用的时间和原来的时间之比为3：
4，那么实际用的时间是原来的3/4
原来所用的时间为1/（1-3/4）=4小时，AB距离=45×
4=180千米
简析：
此题反复利用路程一定，时间和速度成反比，这一点在学习中要注意。
17、两辆汽车同时从东、西两站相对开出，第一次在离东站45千米的地方相遇，之后两车继续以原来的速度前进，各自到站后都立即返回，又在距离中点东侧9千米处相遇，两站相距多少千米？
我们拿从东站出来的车考虑
在整个相遇过程中，两车一共走了3个全程
第一次相遇时，从东站出来的车走了45千米
那么整个过程走了45×
3=135千米
此时这辆车走了1.5倍的全程还多9千米
所以全程=（135-9）/（1+1/2）=84千米
将全部路程看作单位1，第二次相遇时这辆车走了1又1/2还多9千米
二、追及问题
1、已知甲乙两船的船速分别是24千米/时和20千米/时,两船先后从汉口港开出,乙比甲早出1小时，两船同时到达目的地A，问两地距离？
距离差=20×
1=20千米
速度差24-20=4千米/小时
甲追上乙需要20÷
4=5小时
两地距离=24×
5=120千米
2、某校组织学生排队去春游，步行速度为每秒1米，队尾的王老师以每秒2.5米的速度赶到排头,然后立即返回队尾,共用10秒,求队伍的长度是多少米?
、
速度差=2.5-1=1.5米/秒
速度和=1+2.5=3.5米/秒
设队伍长度为a米
a/1.5+a/3.5=10
5a=3.5x1.5x10
a=10.5米
或者这样做
第一次追及问题，第二次相遇问题
速度比=1.5：
3.5=3：
我们知道，路程一样，速度比=时间的反比
因此整个过程，追及用的时间=10x7/10=7秒
那么队伍长度=1.5x7=10.5米
3、在一个圆形跑道上,甲从A点,乙从B点同时出发反向而行,6分钟后两人相遇,再过4分钟甲到B点,又过8分钟两人再次相遇,甲、乙环形一周各需多少分钟？
将全部路程看作单位1
第一次相遇后，再一次相遇，行驶的路程是1
那么相遇时间=4+8=12分钟
甲乙的速度和=1/12
也就是每分钟甲乙行驶全程的1/12
6分钟行驶全程的1/12×
6=1/2
也就是说AB的距离是1/2
那么6+4=10分钟甲到达B，所以甲的速度（1/2）/10=1/20
甲环形一周需要1/（1/20）=20分钟
乙的速度=1/12-1/20=1/30
乙行驶全程需要1/（1/30）=30分钟
4、甲乙两人环湖同向竞走,环湖一周是400米,乙每分钟走80米,甲的速度是乙的一又四分之一倍，问甲什么时候追上乙？
设甲用a分钟追上乙
（80×
5/4-80）×
a=400
（100-80）×
a=400/20
a=20分
算术法
速度差=80×
（5/4-1）=20米/分
追及时间=400/20=20分
甲用20分钟追上乙
5、猎犬发现距它8米远的地方优质本报的野兔子，立刻追。
猎犬包6步的路程野兔要跑11步，但是兔子跑的4步的时间猎犬只能奔跑3步。
猎犬至少要跑多少米才能追上野兔？
将猎犬跑一步的距离看作单位1（或者设一步的距离为a米）
那么野兔跑一步的距离为6/11
根据题意
兔子跑4步的距离=4×
6/11=24/11
猎犬跑3步的距离=1×
3=3
那么猎犬和野兔的速度差=3-24/11=9/11
所以猎犬追上野兔的时间=8/（9/11）×
1=88/9米（必须乘以单位1，否则算式没有意义）
6、一只野兔跑出85步猎犬才开始追它，兔子跑8步的路程猎犬只需跑3步，猎犬跑4步的时间野兔能跑9步。
问猎犬至少要跑多少步才能追上兔子？
将猎犬一步的距离看作单位1（或者设猎犬一步距离为a）
那么兔子一步的距离=3/8（3/8a）
二者的速度差=1×
4-3/8×
9=32/8-27/8=5/8
那么猎犬需要跑85/（5/8）×
1=136步
三、特殊的追及问题
我们在日常做题的过程中，经常会遇到求几点几分时针和分针所称的角度，还有时针和分针所成多少度角时，是几点几分。
解此类题，似乎与追及问题格格不入，但是我们恰恰可以看作是追及问题的一个变形。
首先我们对钟面熟悉以后，知道钟面被分作60个小格，每个小格所对的圆心角的度数=360/60=6度，分针每分钟走1格，时针每分钟走5/60=1/12格，由此我们在解题之前就知道了这些隐含条件，就可以把钟面看作是环形跑道，时针速度慢，分针速度快，在解题之前，大致画一个图形，就知道大概角度，然后判断路程差为多少，因为速度差我们已经知道了，是1-1/12=11/12格，将来我们学会了相对运动，就可以把时针看作参照物，分针的速度变为11/12格/分，问题变得更加简单。
看下面的例题：
1、7点与8点之间,时针与分针成30度角的时刻?
钟面一共60格，一定要对钟面熟悉
每一格对应的度数360/60=5度
分针每分钟走1格，时针每分钟走5/60=1/12格
此时我们就把分针和时针的运动看作追及问题
分针的速度快，是1格/分，时针的速度慢是1/12格/分
速度差=1-1/12=11/12格/分
此时如果看作相对运动，时针静止，那么分针的速度就是11/12格/分
此题中，7点时，分针和时针相差35格，题目要求成30度角及相差30/6=5格时钟表的时间，那就是分针以11/12格/分的速度追赶时针，相差5格，也就是路程上追上了30格，求的就是分针以11/12格/分走30格的时间，第二次成30度就是分针超过时针5格即分针以11/12格/分的速度走的35+5=40格的时间
算术式如下：
第一次成30度时，时针和分针的路程差=60×
30/360=5格
7点时时针和分针的距离是35格
第一次（35-5）/（1-1/12）=30x12/11=360/11分≈32分44秒
第二次（35+5）/（1-1/12）=40x12/11=480/11分≈43分38秒
举一例
设a分钟分针和时针第一次成30度
分针a分走a格，
时针a分走a/12格
开始时的路程差=35格
那么
a/12+35=a+5
a=360/11分≈32分44秒
第二次成30度的时候
分针走a格
时针走a/12格，加上开始的路程差=35格
那么此时时针的位置是a/12+35格
分针此时超过时针5格
a-5=a/12+35
a=480/11分≈43分38秒
也就是在7点32分44秒和7点43分38秒的时候分针和时针成30度
2、张华出去办事两个多小时，出门时他看了看钟，到家时又看了看钟，发现时针和分针互相换了位置，他离家多长时间？
此问题关键在于求具体多少分钟，因为肯定是超过2个小时
我们把表盘看作一个环形路，那么每一格就是距离单位，一圈是60格
钟表按照顺时针转动，此题出门时时针在分针之后
时针和分针的路程差不变
整个过程分针走的路程是2x60+60-路程差，时针走的路程是路程差
所以时针和分针走过的路程和=3x60=180格
二者的速度和=1+1/12=13/12格/分
那么经过的时间=180/（13/12）=2160/13分=36/13小时≈2小时46分
离家时间为2小时46分
小学比较典型的工程问题
工程问题是我们在小学学习过程中必不可少的，这里通过实践总结出了一些工程实际问题和变形的工程问题，解此类问题的关键在于设好单位1，其次要把握住最基本的运算公式工程总量=工作效率×
工作时间，万变不离其宗。
1、王师傅加工一批零件，计划在六月份每天都能超额完成当天任务的15%，后来因机器维修，最后的5天每天只完成当天任务的八成，就这样，六月份共超额加工660个零件，王师傅原来的任务是每天加工多少个零件？
首先我们知道6月有30天
将额定每天完成的任务看作单位1
每天超额15%，一共工作30-5=25（天）
每天超额完成15%，25天共超额25×
15%＝375%
每天完成八成，5天少完成5×
（1-80%）=100%
这个月共超额完成375%-100%=275%
660÷
275%=240（个）
2、一堆饲料,3牛和5羊可以吃15天,5牛和6羊可以吃10天,那8牛和11羊可以吃几天
将这堆饲料的总量看作单位1那么
3牛和5羊可以吃15天，吃的是单位1的量，相当于每天吃1/15
5牛和6羊可以吃10天，吃的是单位1的量，相当于每天吃1/10
我们此时把3牛5羊看作一个整体，5牛6羊看作1个整体，每天吃饲料的
1/15+1/10=1/6
那么这堆饲料可以供8牛11羊吃1/（1/6）=6天
此题看作是和工程问题无关，可是当我们把3牛和5羊看作1个整体，5牛和6羊看作1个整体以后，就相当于把题目变为甲乙完成1项工程，甲单独做需要15天，乙单独做需要10天，甲乙合作需要多少天？
是不是这个意思。
如果我们把此题认为8牛和11羊吃25天吃的是2倍的饲料，然后除以2，得出12.5天，就不对了，这一点要在学习中注意。
3、甲、乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比独做时提高了十分之一，乙的工作效率比独做时提高了五分之一，甲、乙两人合作4小时，完成全部工作的五分之二。
第二天乙又独做了4小时，还剩下这件工作的三十分之十三没完成。
这项工作甲独做需要几个
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