单元刚度矩阵组装及整体分析Word格式.docx
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賊总休編，郴®
的把单元刚度矩阵中的子矩阵的下标也换
成总体编号•对下图3-27所示单元③的刚度矩阵转换成总体编号后为
J⑶饥2）疋53^-52?
（5）
总忌J⑶
（3）将转换后的也元刚度矩阵的备子矩阵，投放到总体刚度矩阵的对应位宜上•敢元③的各子矩阵投放后情况如下：
角的上标&
表示第S氓元所累加上的子矩阵.
（5）从式（3-9）可看出.
总体刚度矩阵中的子矩阵AB是笊元刚度矩阵的子矩阵转换成总体编号后
具有相同的卜•标匚/的那些子矩阵的累加•总体刚度矩阵第三行的出零子矩阵是由与结点£
相联系的那些氓元的子矩阵向这行投放所构成的.
7.4.2结点平衡方程
我们首先用结构力学方法建立结点平衡方程•连续介质用有限元法离散以后•取出其中任总一个结点i，从环绕三点各单元移豊而来的结点载荷为
｛目｝吃刖
二屮°
表示对环绕结点'
的所有臥元求和.环绕结点=的各讯元施加于结点孑的结点力为
£
⑻
&
•伙I此，结点=的平衡方程可表示为
乞｛肘卡｝
（3-10）
孵i代入平衡方程,得到以结点怎：
点£
的平衡方程,对于每个*点・都可列出平衡方程,
于是得到整个结构的平衡方程组如下：
［瓷］⑷=｛鬥
式中•［K］为整体刚度矩阵，为全部结点位移组成的向量,｛鬥"
：
、起创成的向fit
片然，如果各点的载荷向虽也是在収元局部坐标下建立的.在合成以前，也应把它们转换到统一的结构（总体）坐标系下.即
制y刃伍｝。
式中，｛已$是总体坐标系下的结点栽倚向昴:
.［刃为坐标转换阵.
7.4.3位移边界条件
在有限元法对结构进行整体分析时.建立了整体刚度矩阵［K］.也得到了结构的刚度平衡方程.HU［疋］（6=｛鬥•结构刚度方程的求解相卅于总刚［K］求逆的过程•但是，从数学上看.未经处理的总刚是对称.半正定的奇界矩阵.它的行列式值为零，不能立即求逆•从物理总义看，在进行整体分析时，结构是处于自由状态，4阿的作用卞・汁向对以产生任意的刚体位移•所以.在已知结点钺仿
〔戸的条件厂仍不亂唯一地解出结点位移｛毋•为r使问题可解.必须对笫构加以足够
的位移约束，也就是应用位移边界条件•首先要通过施加适为的约*.消除结构的钢体位移.再根据问题要求设定其他已知位移•所以•处理位移边界条件在有限元分析步骤中十分重要.
约柬的种类包括使某些自由度上位移为零，q=°
或给定其位移值，6=0'
还有给定支承刚度等.木书涉及前两种•处理约束的方法，常用的有删行删列法、分块法、置大数法和宜“：
r法等，下面分别予以介绍.
1、删行删列法
若结构的某些结点位移值为零时（即与刚性支座连接点的位移），则可将总体刚度矩阵中相应的行列、删行删列划掉，然后将矩阵圧缩即可求解•这种方法的优点是道理简单•如果删去的行列很筝，则总体刚度矩阵的阶数可大大缩小•通常用人工计算时常采用该方法•若用讣算机算题.在程序编制上必带來麻烦，因为刚度矩阵用缩以后•刚度矩阵中各元素的下标必全改变•因而一般讣算机算题不太采用.
2.分块法
为了理解这个方法，我们把方用［幻〔6珂鬥分块如下:
其中，①假的结点位移：
$是无约束的（自由）结点位移•因而竝是已知的结点力:
爲是未知的结点力•方程（3-11）可以写为
即
（3-12）
［心罔二召-［経］石
和
（3-13）
儿中，Kill不是奇异的■因而可以解方程（3-12）得岀
…日•知道了就可以山方稅（3-13）求得未知结点力丘•在全部给定的结点门由度都等于零的為
殊情况下，我们可以删除对应于占2的各行和各列（即删行删列丛：
，故可把方程简耳为
（3-15）
3・g“1”法
由于全部给定的结点位移通常都不能在位移向量占的开始或终r.故分块法的编号方法是很麻烦的•閃此.为r引入给定的边界条件①，可以采用下述等价的方法.
可以把方程（3-12）和（3-13）合在一起写为
（3-16）
[心][OlpilM-[^12X1
⑹“脳厂I&
J
在实际讣算中•方程（3-16）所示的过程可以在不重新排列所述方程的悄况下川下述分块的方法为进行.
步骤（1〉如果把•给定为，则栽荷向虽p可以修r
«
为结点自由度总数.
3-
.（2〉除对角线元素以外,使［K］中对应于J的行和列为零，而对角线元素为1，即
=0,i=1,
疋.・=1
5.
步骤（3）在載荷向址中引入规定的J值，即
—
c5.
診部规定的结点位移丁均应反复运用I:
述过程（步骤（"
到（3））•应出描出，由干这个过程保持了方程的对称性，因此•［K］可以按带状存储，而且几乎不会増加编制程序的工作虽：
.
4・宜大数法
宜大数法的思路是：
在总体刚度矩阵中，把指定位移所对应的行和列的对角元素瓷"
乘上一个很大
iri1510巴匕.0「
的数.如iu•此行几他元素保持不变•同时把该行对应的戦荷项也相应地川222来代替.这
里或为抬定位移.于是原平衡方程组变为
「心%…Kx；
/•、
^21疋22•…恳2”
•••
•■■
爲
■
心爲10%心
<
A
>
=<
1015^X
S紜2…G_
L花丿
A.
Is行外，其他各行仍保持原来的平衡特性,而第孑个方程式展开为
心简+心疋2+•••+10"
心&
+…+丄S£
二10巴気/
1屮陆
山干上式中的叫'
比其他儿.；
，求和后可略去其小址.则上式变为
10□疋諮二10口爲/
胪皿
这样就用近似方程组代替原方程组，得到近似满足边界条件的解・X指定位移为寥时，只要将对角元素乘上一个大数，而相应的载荷项经证明可以不宜零•删行删列法适用于抬定零位移点，而宜大数法适用于给定位移（包括零位移）.
5.斜支座的处理
对干简収的约束情况（如限定某些结点位移为零或取得给定数值），可以用前述迓大数法处理•有的结构在直角坐标系内建立J'
位移方程组•但在某个斜边上受有法向约束•如图3-28所示正方形固支板，受均布横向载荷.对此，可利用对称性而只计算其1/8,如图中ABC部分.其中AC为固支边,按对称性,
=0
AB边上有尸•但在BC边上应限定绕BC的转用等于零•为处理此类斜边I••的约束.须对斜边上的结点做坐标变换.
八"
切的总体坐标系为&
冰歹为斜支座的怖部玄标系（见图3-29）・
对于边界结山匚须限方向位=0.为此，将边界结点卯川馬及栽倚都变换到局部朋标乳対轴系役兀轴J斜支座的十紬夹角为色&
逆时计为正，
图7-28
则依据第二做中坐标转换关系有
其中.
COS0
-sinOf
sina
cosa
•或写成
也｝二WF｛殆
（3-17）
与位移关系相同有
（3-18）
将上两式带入结构刚度方程有
E©
2…峪0F…s'
%
冷©
-•瓦0…艮
q
»
二*
［心;
如心2…心对…J
A.
图7-29
（3-19〉
这样把位移到列阵中凡是斜支座的结点位移矢量都用局部坐标表示「
将式（3-19）中第「行左右两边前乘以［丸］
由上式可见：
凡是边界点的斜支座，在刚度方程中对应于斜支座的位移和载荷向址均可直接斜支座的局部坐标值，总刚度距阵中的相应行列需作相应的变换.
上式的系数U;
然是对称的.而且此方程中£
结点位沿兀尖轴农示.这样，限上刃方向的位移
就很方便匚
实际汁算中，并不需要建立结构总的位移方程组后再进坐标变换•而可以在形成申•元刚度矩阵和结点戦荷之后.就对斜支座点进行坐标变换，把变换后的讯元刚度矩阵和结点戦荷叠加入总刚度矩阵和总载荷的相应位配最后叠加形成的也就是方程组（3-20），即需要处理的结点，应该在取元汁算中完成坐标变换后再叠加，为结构有不同的斜边约束时.都可以这样处理，只不过对不同边上的结点.应按不同的方向余弦矩阵变换就是r.
7.4.4总刚度平衡方程的求解
应用有限元法，报终都是归结为解总体刚度平衡方程，它实际上是以总体刚度矩阵为系数矩阵的大型线性代数方程组•通过对结构施加位移边界条件.消除了结构的刚体位移，从而消除总体刚度矩阵的奇井性，解这个线性代数方冈勿町求出结位移｛可.
我们已知，总体刚度矩阵具有大型.对称、稀疏.带状分布、正定.主元占优势的特点，稀疏表示刚度矩阵含有大虽的零元素，带状表示非零元索集中在主对角线两侧•求解方程组应抓住上述特点，才能提岛效率.
首先，要为总刚度矩阵选择适十的存储方式，常用的有：
（1）整体存储总刚•总刚的全部元素以二维数组形式放在汁算机内存中，存储效率最低，适用于小型问题的分析.
（2）等带宽二维存储总刚•总刚的下三角或上三角的带内元素収最大半带宽以二维数组形式存放在计算机内存中•其行数同整体总刚，列数等于最大半带宽.
（3）一维变带宽存储总刚•将总刚下三角实际半带宽内元素逐行存放在一个一维数组内.
其次，根据总刚度矩阵的存储方式，选择适十的求解刚度方程的方法：
线性代数方程组的解法分直接解法（如高斯消去法、三角分解法〉和迭代解法（如高斯-赛德尔迭代.超松弛迭代）.木书主要讨论几种常用的直解法.
（1）高斯消去法
适合整体存储总刚.由干需要集合完整总刚，内存利用和计算效率都比较低•但商斯消去法凍理和程序简单，作为初学便干理解.
2）对称消元法
利用刚度矩阵对称，有每次消元的子阵均对称的性质，对商斯消去法稍加改进形成•这样就是只需组装总刚的上三角或下三角部分
（3）带消元法
将对称消元法进一步改造，使之适合总刚的等带宽二维存储.
（4〉因子化法（三角分解〉
又称Cholesky分解，适合一维变带宽存储总刚•这上方法储效率臥汁算速度快，应用较为普遍.
此外.还有一种方法，叫做波前法•波前法实际上也是一种改进的商斯消去法•它建立一个称为“波前”的空间，备取元刚度系数依次进入波前•一日•与某自由度有关的所有贰元的刚度系数全部装入，便可将相应的变虽消去•经过消元的方程的系数随即退出波前.存放在计算机的外存中•这样就可腾出空间装入新的刚度系数•所以.波前法不需要生成完整的总刚.而是边组装边消元，“成熟”一个消去一个•消元完成后，全部系数都已存储在汁算机的外存或缓冲区中•回代时将各方程的系数按“先出后入”的顺序调入内存求解•由此可见，这种方法是利用汁算机充裕的外存资源，以篡耗取机时來缓解内存不足的矛盾，以便适应较大规模的问题•随着il•算机技术的发展.内存资源不断扩大，对具有稀蔬、带状性质的有限元刚度方程，这种以时间换取空间的办法得不偿失•另一方仏波前法的阐述和程序设il•比较复無且对多种氓元并存的结构使用不便•所以，木书不拟介绍波前法.
木书第九草将详细讨论适合整体存储总刚的岛斯消去法和适合一维变带宽存储的因子化法以及有关的程序设计问题，以下仅列出这两种方法的梗概.
1、高斯消去法
高斯循序消去法的一般公式:
对于n阶线性代数方程蓝］3}={鬥.需进行立一1兀•采用循庁消犬时.第m次消元以nrl
（购二12・・・，旳_1）（打j二秒+1,稿+2、龙）
等的上角码（m）•表示该元素是经过第m次消元后得到的结果•同样，可以
…：
消元后的心M别记为［幻佬1{F}"
）・式（3一21）小“工：
y［在经
m-l次消元的基础上进行的.
消元过程中，主元及被消元素的位宜可见图370（a）•图中阴影部分已完成消元过程的元素，主元行以下的矩阵为待消部分•在进行第m次时，If行元素的消元过程已经完成，其中的元素就是消元最后得到的上三角阵中的元素.m行发下的元素消元过程尚未结束.连同m行元素在内构成一个待消的方阵.消元共需进行n-1次.
消元完成后，即可回代求解.我们把消元最后结果记为［疋］d=［S］,={7}，［S］为上
三角阵，回代公式可写作
（"
7心…厶2」）
回代过程自后向前进行.当回代求解'
卜时，弘~氐1匕经解得.回代示意图见图3-30（b）,阴影
部分为已求得解答的部分.
图7-30岛斯消去法
2・三角分解法
总体刚度平衡方秤1均9}={鬥中.［K］是对称、正定矩阵•伙1而对做如下分解
其中
1
^11右21爲2
［刃二
[U]=[D][Lf=
是单位上三允:
.区]=[£
]心].代入整木结构平衡方巧
[L]\U]{d}=（P）
记凹92®
则囚⑺二㈢即由
右21云22
-
=•
■厶81厶《21
和3••・厶
aJ
2•.
向下回代.由其中第-个方说解得A】.再由第:
个方程2占+厶2卩2—占解得均.
依此类推可求得{Y}•又由
1牛a■■
•
fel
k
向上回代，可得氏=再,由氏-1十E-h戈二打-1得氏・1,'
依此类推可求得⑷.
由上述过程可见，三角分解法求解线性代数方程组的关键是对系数矩阵进行三角分解.
7.4.5求解内力
由平衡厂:
成］｛§
｝二｛鬥解出位移｛%,从中分离出各单元的结点位移｛疔,再通过方程
（3-3八（3-4）和（3-6）等计算各玳元的川空⑹1小/内"
和结点力等内力
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