8字模型与飞镖模型.docx
《8字模型与飞镖模型.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《8字模型与飞镖模型.docx（17页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
8字模型与飞镖模型
8字模型与飞镖模型
模型1：
角的8字模型
如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC．结论：
∠A＋∠D＝∠B＋∠C．
模型分析
证法一：
∵∠AOB是△AOD的外角，∴∠A＋∠D＝∠AOB．∵∠AOB是△BOC的外角，
∴∠B＋∠C＝∠AOB．∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C．
证法二：
∵∠A＋∠D＋∠AOD＝180°，∴∠A＋∠D＝180°－∠AOD．∵∠B＋∠C＋∠BOC＝180°，
∴∠B＋∠C＝180°－∠BOC．又∵∠AOD＝∠BOC，∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C．
（1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型．
（2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到．
模型实例
观察下列图形，计算角度：
（1）如图①，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝________；
解法一：
利用角的8字模型．如图③，连接CD．∵∠BOC是△BOE的外角，
∴∠B＋∠E＝∠BOC．∵∠BOC是△COD的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC．
∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E
＝∠A＋∠ACE＋∠ADB＋∠1＋∠2＝∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°．
解法二：
如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE的外角，∴∠1＝∠C＋∠E．
∵∠2是△GBD的外角，∴∠2＝∠B＋∠D．
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠A＋∠1＋∠2＝180°．
（2）如图②，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________．
（2）解法一：
如图⑤，利用角的8字模型．∵∠AOP是△AOB的外角，∴∠A＋∠B＝∠AOP．
∵∠AOP是△OPQ的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP．∴∠A＋∠B＝∠1＋∠3．①（角的8字模型），同理可证：
∠C＋∠D＝∠1＋∠2．②，∠E＋∠F＝∠2＋∠3．③
由①＋②＋③得：
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°．
解法二：
利用角的8字模型．如图⑥，连接DE．∵∠AOE是△AOB的外角，
∴∠A＋∠B＝∠AOE．∵∠AOE是△OED的外角，∴∠1＋∠2＝∠AOE．
∴∠A＋∠B＝∠1＋∠2．（角的8字模型）
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＋∠FEB＋∠F＝∠1＋∠2＋∠C＋∠ADC＋∠FEB＋∠F
＝360°．（四边形内角和为360°）
练习：
1．
（1）如图①，求：
∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝；
解：
如图，∵∠1=∠B+∠D，∠2=∠C+∠CAD，
∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°．故答案为：
180°
解法二：
（2）如图②，求：
∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝．
解：
由三角形的外角性质，知∠BAC=∠E+∠ACE，∠EAD=∠B+∠D，
又∵∠BAC+∠CAD+∠EAD=180°，∴∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝180°
解法二：
2．如图，求：
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝．
解：
∵∠G+∠D=∠3，∠F+∠C=∠4，∠E+∠H=∠2，∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2，
∵∠B+∠2+∠1=180°，∠3+∠5+∠A=180°，∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°
解法二：
模型2：
角的飞镖模型
如图所示，有结论：
∠D＝∠A＋∠B＋∠C．
模型分析
解法一：
如图①，作射线AD．
∵∠3是△ABD的外角，∴∠3＝∠B＋∠1，∵∠4是△ACD的外角，∴∠4＝∠C＋∠2
∴∠BDC＝∠3＋∠4，∴∠BDC＝∠B＋∠1＋∠2＋∠C，∴∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C
解法二：
如图②，连接BC．
∵∠2＋∠4＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－（∠2＋∠4）
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A＝180°，∴∠A＋∠1＋∠3＝180°－（∠2＋∠4）
∴∠D＝∠A＋∠1＋∠3.
（1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型．
（2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用．
模型实例
如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与CM交于M，探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系．
解答：
利用角的飞镖模型
如图所示，连接DM并延长．∵∠3是△AMD的外角，∴∠3＝∠1＋∠ADM，
∵∠4是△CMD的外角，∴∠4＝∠2＋∠CDM，∵∠AMC＝∠3＋∠4
∴∠AMC＝∠1＋∠ADM＋∠CDM＋∠2，∴∠AMC＝∠1＋∠2＋∠ADC．（角的飞镖模型）
∵AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，∴
，
，
∴
，∴
（四边形内角和360°），∴
，∴2∠AMC＋∠B－∠ADC＝360°.
练习：
1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=.
【答案】230°
提示：
∠C+∠E+∠D=∠EOC=115º.（飞镖模型），∠A+∠B+∠F=∠BOF=115º.
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115º+115º=230º
2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D=.
【答案】220°
提示：
如图所示，连接BD.
∠AED=∠A+∠3+∠1，∠BFC=∠2+∠4+∠C，
∠A+∠ABF+∠C+∠CDE=∠A+∠3+∠1+∠2+∠4+∠C=∠AED+∠BFC=220º
模型3边的“8”字模型
如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC．结论AC+BD>AD+BC．
模型分析
∵OA+OD>AD①，OB+OC>BC②，由①+②得：
OA+OD+OB+OC>BC+AD
即：
AC+BD>AD+BC.
模型实例
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。
求证：
（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD；
（2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.
证明：
（1）∵AB+BC>AC①，CD+AD>AC②，AB+AD>BD③，BC+CD>BD④
由①+②+③+④得：
2（AB+BC+CD+AD）>2（AC+BD）.即AB+BC+CD+AD>AC+BD.
（2）∵ADAD+BC∴AD+BCAB+CD∴AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.
模型4边的飞镖模型
如图所示有结论：
AB+AC>BD+CD.
模型分析
如图，延长BD交AC于点E。
∵AB+AC=AB+AE+EC，AB+AE>BE，∴AB+AC>BE+EC.①，∵BE+EC=BD+DE+EC，
DE+EC>CD，∴BE+EC>BD+CD.②，由①②可得：
AB+AC>BD+CD.
模型实例
如图，点O为三角形内部一点．
求证：
（1）2（AO+BO+CO）>AB+BC+AC；
（2）AB+BC+AC>AO+BO+CO.
证明：
（1）∵OA+OB>AB①，OB+OC>BC②，OC+OA>AC③
由①+②+③得：
2（AO+BO+CO）>AB+BC+AC
（2）如图，延长BO交AC于点E，
∵AB+AC=AB+AE+EC，AB+AE>BE，∴AB+AC>BE+EC.①
∵BE+EC=BO+OE+EC，OE+EC>CO，∴BE+EC>BO+CO，②
由①②可得：
AB+AC>BO+CO.③（边的飞镖模型）
同理可得：
AB+BC>OA+OC.④，BC+AC>OA+OB.⑤
由③+④+⑤得：
2（AB+BC+AC）>2（AO+BO+CO）.即AB+BC+AC>AO+BO+CO.
1．如图，在△ABC中，D、E在BC边上，且BD=CE。
求证：
AB+AC>AD+AE.
【答案】
证法一：
如图①，将AC平移至BF，AD延长线与BF相交于点G，连接DF。
由平移可得AC=BF，∵AC∥BF，∴∠ACE=∠BFD，∵BD=CE
∴△AEC≌△FDB，∴DF=AE
如图，延长AD交BF于点G，∵AB+BF=AB+BG+GF.∵AB+BG>AG，
∴AB+BF>AG+GF①，∵AG+GF=AD+DG+GF，∵DG+GF>DF，
∴AG+GF>AD+DF②，由①②可得：
AB+BF>AD+DF.（飞镖模型）
∴AB+AC=AB+BF>AD+DF=AD+AE.∴AB+AC>AD+AE.
证法二：
如图②，将AC平移至DF，连接BF，则AC=DF，∵AC∥DF，∴∠ACE=∠FDB.
∵BD=CE，∴△AEC≌△FBD.∴BF=AE.∵OA+OD>AD①，OB+OF>BF②
由①+②得：
OA+OD+OB+OF>BF+AD.∴AB+DF>BF+AD.（8字模型）
∴AB+AC=AB+DF>BF+AD=AE+AD.∴AB+AC>AD+AE.
2．观察图形并探究下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．
（1）如图①，△ABC中，P为边BC一点，请比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由．
（2）如图②，将
（1）中的点P移至△ABC内，请比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
（3）图③将
（2）中的点P变为两个点
、
，请比较四边形
的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由.
【答案】
（1）如图①，BP+PC理由：
三角形两边之和大于第三边。
（或两点之间线段最短）
（2）△BPC的周长小于△ABC的周长。
证明：
如图②，延长BP交AC于M。
在△ABM中，BP+PM在△PMC中，PCBP+PC∴△BPC的周长小于△ABC的周长。
（3）四边形
的周长小于△ABC的周长。
证法一：
如图③，分别延长
、
交于M，由
（2）知，BM+CM又∵
<
，∴
+
+
∴四边形
的周长小于△ABC的周长.
证法二：
如图④，做直线
分别交AB、AC于M、N。
在△BM
中，
①
在△AMN中，
+
+
中，
<
+NC③
由①+②+③得：
∴
+
+
的周长小于△ABC的周长.
升级会员 