专题训练 蚂蚁爬行的最短路径含答案Word文档下载推荐.docx

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∵BC的中点为M,

所以MC=

BC=1,

在直角三角形中AM=

=

7．如图,点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心,一只蚂蚁在盒子概况由A处向B处爬行,所走最短路程是cm.

将盒子展开,如图所示：

AB=CD=DF+FC=

EF+

GF=

×

20+

20=20cm．

故选C．

8.正方体盒子的棱长为2,BC的中点为M,一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为.

将正方体展开,连接M、D1,

根据两点之间线段最短,

MD=MC+CD=1+2=3,

MD1=

．

9．如图所示一棱长为3cm的正方体,把所有的面均分成3×

3个小正方形．其边长都为1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下底面点A沿概况爬行至正面的B点,最少要用秒钟．

因为爬行路径不惟一,故分情况分别计算,进行年夜、小比力,再从各个路线中确定最短的路线．

（1）展开前面右面由勾股定理得AB=

cm；

（2）展开底面右面由勾股定理得AB=

=5cm；

所以最短路径长为5cm,用时最少：

5÷

2=2.5秒．

10．（2009•恩施州）如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的概况从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是.

将长方体展开,连接A、B,

根据两点之间线段最短,AB=

=25．

11.如图,一只蚂蚁从实心长方体的极点A动身,沿长方体的概况爬到对角极点C1处（三条棱长如图所示）,问怎样走路线最短？

最短路线长为.

正面和上面沿A1B1展开如图,连接AC1,△ABC1是直角三角形,

∴AC1=

12．如图所示：

有一个长、宽都是2米,高为3米的长方体纸盒,一只小蚂蚁从A点爬到B点,那么这只蚂蚁爬行的最短路径为米.

由题意得,

路径一：

；

路径二：

=5；

路径三：

∵

＞5,

∴5米为最短路径．

13．如图,直四棱柱侧棱长为4cm,底面是长为5cm宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从极点A动身沿棱柱的概况爬到极点B．求：

（1）蚂蚁经过的最短路程；

（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．

（1）AB的长就为最短路线．

然后根据　若蚂蚁沿正面爬行,则经过的路程为

（cm）；

若蚂蚁沿正面和底面爬行,则经过的路程为

（cm）,

或

（cm）

所以蚂蚁经过的最短路程是

cm．

（2）　5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm,

最长路程是30cm．

14．如图,在一个长为50cm,宽为40cm,高为30cm的长方体盒子的极点A处有一只蚂蚁,它要爬到极点B处去觅食,最短的路程是几多？

图1中,

图2中,

图3中,

∴采纳图3的爬法路程最短,为

cm

15．如图,长方体的长、宽、高分别为6cm,8cm,4cm．一只蚂蚁沿着长方体的概况从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是.

第一种情况：

把我们所看到的前面和上面组成一个平面,

则这个长方形的长和宽分别是12cm和6cm,

则所走的最短线段是

=6

第二种情况：

把我们看到的左面与上面组成一个长方形,

则这个长方形的长和宽分别是10cm和8cm,

所以走的最短线段是

第三种情况：

把我们所看到的前面和右面组成一个长方形,

则这个长方形的长和宽分别是14cm和4cm,

=2

三种情况比力而言,第二种情况最短．

16．如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm．A和B是这个台阶上两个相对的端点,点A处有一只蚂蚁,想到点B处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为cm

三级台阶平面展开图为长方形,长为20cm,宽为（2+3）×

3cm,

则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．

可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xcm,

由勾股定理得：

x2=202+[（2+3）×

3]2=252,

解得x=25．

故谜底为25．

17．如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别即是5cm,3cm和1cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点动身,沿着台阶面爬到B点,最短线路是cm.

将台阶展开,如下图,

因为AC=3×

3+1×

3=12,BC=5,

所以AB2=AC2+BC2=169,

所以AB=13（cm）,

所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm．

答：

蚂蚁爬行的最短线路为13cm．

18．（2011•荆州）如图,长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个正面爬行一圈达到Q点,则蚂奴爬行的最短路径长为13cm．

∵PA=2×

（4+2）=12,QA=5

∴PQ=13．

故谜底为：

13．

19．如图,一块长方体砖宽AN=5cm,长ND=10cm,CD上的点B距空中的高BD=8cm,空中上A处的一只蚂蚁到B处吃食,需要爬行的最短路径是几多？

如图1,在砖的正面展开图2上,连接AB,

则AB的长即为A处到B处的最短路程．

在Rt△ABD中,

因为AD=AN+ND=5+10=15,BD=8,

所以AB2=AD2+BD2=152+82=289=172．

所以AB=17cm．

故蚂蚁爬行的最短路径为17cm．

20．（2009•佛山）如图,一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和空中均没有缝隙）,有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜概况爬到柜角C1处．

（1）请你画出蚂蚁能够最快达到目的地的可能路径；

（2）当AB=4,BC=4,CC1=5时,求蚂蚁爬过的最短路径的长；

（3）求点B1到最短路径的距离．

（1）如图,

木柜的概况展开图是两个矩形ABC'

1D1和ACC1A1．

故蚂蚁能够最快达到目的地的可能路径有如图的A1C'

1和AC1．（2分）

（2）蚂蚁沿着木柜概况经线段A1B1到C1,

爬过的路径的长是

．（3分）

蚂蚁沿着木柜概况经线段BB1到C1,爬过的路径的长是

．（4分）

l1＞l2,故最短路径的长是

．（5分）

（3）作B1E⊥AC1于E,

则

•

为所求．（8分）

21．有一圆柱体如图,高4cm,底面半径5cm,A处有一蚂蚁,若蚂蚁欲爬行到C处,求蚂蚁爬行的最短距离.

AC的长就是蚂蚁爬行的最短距离．C,D分别是BE,AF的中点．

AF=2π•5=10π．AD=5π．

AC=

≈16cm．

16cm．

22．有一圆形油罐底面圆的周长为24m,高为6m,一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物,它爬行的最短路线长为.

AB=

m

23．如图,一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A达到A1,若圆柱底面半径为

高为5,则蚂蚁爬行的最短距离为

13

因为圆柱底面圆的周长为2π×

=12,高为5,

所以将正面展开为一长为12,宽为5的矩形,

根据勾股定理,对角线长为

=13．

故蚂蚁爬行的最短距离为13．

24．如图,一圆柱体的底面周长为24cm,高AB为9cm,BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A动身,沿着圆柱的正面爬行到点C,则蚂蚁爬行的最短路程是

如图所示：

由于圆柱体的底面周长为24cm,

则AD=24×

=12cm．

又因为CD=AB=9cm,

所以AC=

=15cm．

故蚂蚁从点A动身沿着圆柱体的概况爬行到点C的最短路程是15cm．

15．

25．（2006•荆州）有一圆柱体高为10cm,底面圆的半径为4cm,AA1,BB1为相对的两条母线．在AA1上有一个蜘蛛Q,QA=3cm；

在BB1上有一只苍蝇P,PB1=2cm,蜘蛛沿圆柱体正面爬到P点吃苍蝇,最短的路径是

cm．（结果用带π和根号的式子暗示）

QA=3,PB1=2,

即可把PQ放到一个直角边是4π和5的直角三角形中,

根据勾股定理得：

QP=

26．同学的茶杯是圆柱形,如图是茶杯的立体图,左边下方有一只蚂蚁,从A处爬行到对面的中点B处,如果蚂蚁爬行路线最短,请画出这条最短路线图．

问题：

某正方体盒子,如图左边下方A处有一只蚂蚁,从A处爬行到侧棱GF上的中点M点处,如果蚂蚁爬行路线最短,请画出这条最短路线图．

如图,将圆柱的正面展开成一个长方形,如图示,则A、B分别位于如图所示的位置,连接AB,即是这条最短路线图．

如图,将正方体中面ABCD和面CBFG展开成一个长方形,如图示,则A、M分别位于如图所示的位置,连接AM,即是这条最短路线图．

27．如图,圆锥的主视图是等边三角形,圆锥的底面半径为2cm,假若点B有一蚂蚁只能沿圆锥的概况爬行,它要想吃到母线AC的中点P处的食物,那么它爬行的最短路程是.

∵圆锥的底面周长是4π,则4π=

∴n=180°

即圆锥正面展开图的圆心角是180°

∴在圆锥正面展开图中AP=2,AB=4,∠BAP=90°

∴在圆锥正面展开图中BP=

∴这只蚂蚁爬行的最短距离是

故谜底是：

28．如图,圆锥的底面半径R=3dm,母线l=5dm,AB为底面直径,C为底面圆周上一点,∠COB=150°

D为VB上一点,VD=

．现有一只蚂蚁,沿圆锥概况从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是（　　）

∴设弧BC所对的圆心角的度数为n,

∴

解得n=90,

∴∠CVD=90°

∴CD=

=4

29．已知圆锥的母线长为5cm,圆锥的正面展开图如图所示,且∠AOA1=120°

一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A动身,沿圆锥正面爬行一周回到点A．则蚂蚁爬行的最短路程长为.

连接AA′,作OC⊥AA′于C,

∵圆锥的母线长为5cm,∠AOA1=120°

∴AA′=2AC=5

30．如图,底面半径为1,母线长为4的圆锥,一只小蚂蚁若从A点动身,绕正面一周又回到A点,它爬行的最短路线长是.

由题意知,底面圆的直径为2,

故底面周长即是2π．

设圆锥的正面展开后的扇形圆心角为n°

根据底面周长即是展开后扇形的弧长得,

解得n=90°

所以展开图中圆心角为90°

根据勾股定理求获得点A的最短的路线长是：

31．（2006•南充）如图,底面半径为1,母线长为4的圆锥,一只小蚂蚁若从A点动身,绕正面一周又回到A点,它爬行的最短路线长是.

由题意知底面圆的直径=2,

根据底面周长即是展开后扇形的弧长得2π=

所以展开图中的圆心角为90°

根据勾股定理求得它爬行的最短路线长为

32．（2009•乐山）如图,一圆锥的底面半径为2,母线PB的长为6,D为PB的中点．一只蚂蚁从点A动身,沿着圆锥的正面爬行到点D,则蚂蚁爬行的最短路程为.

由题意知,底面圆的直径AB=4,

故底面周长即是4π．

根据底面周长即是展开后扇形的弧长得4π=

解得n=120°

所以展开图中∠APD=120°

÷

2=60°

根据勾股定理求得AD=

所以蚂蚁爬行的最短距离为

33．如图,圆锥底面半径为r,母线长为3r,底面圆周上有一蚂蚁位于A点,它从A点动身沿圆锥面爬行一周后又回到原动身点,请你给它指出一条爬行最短的路径,并求出最短路径．

把圆锥沿过点A的母线展成如图所示扇形,

则蚂蚁运动的最短路程为AA′（线段）．

由此知：

OA=OA′=3r,

的长为2πr．

∴2πr=

n=120°

即∠AOA′=120°

∠OAC=30°

∴OC=

OA=

∴AC=

∴AA′=2AC=

r,

即蚂蚁运动的最短路程是

r．

34．如图①,一只蚂蚁从圆锥底面的A点动身,沿正面绕行一周后达到母线SA的中点M．蚂蚁沿怎样的路径行走最合算？

为了解决这一问题,爱动脑筋的银银、慧慧与乐乐展开了研究．

（1）善于暗示的银银首先列出了一组数据：

圆锥底面半径r=10cm,母线SA长为40cm,就这组数据,请你求出蚂蚁所走的最短路程；

（2）一向稳重的慧慧只给出一个数据：

圆锥的锥角即是60°

（如图②）,请问：

蚂蚁如何行走最合算？

（3）通过

（1）、

（2）的计算与归纳,银银、慧慧自认为他们已找到问题的解决方法,可老谋深算的乐乐认为他们考虑欠周,

①请你分析,乐乐为什么认为他们考虑欠周？

②结合上面的研究,请你给出这一问题的一般性解法．

（1）2π•10=nπ•40÷

180°

n=90°

AM=

=20

（2）∵锥角为60°

∴底面半径的长和母线的长相等,

但缺少母线的长．（3）①因为银银的数据分歧理,因为慧慧缺少条件．

②

（1）展成平面图形．

（2）知道母线的长,知道扇形的圆心角度数,以及M是SA的中点,根据三角函数或者构

造直角三角形来求解