关于《两个平面垂直的判定定理》说课高一数学教案模板.docx
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关于《两个平面垂直的判定定理》说课_高一数学教案_模板
关于《两个平面垂直的判定定理》说课 1教材结构与内容简析：
1.1本节内容在全书及章节的地位；
两平面垂直的判定定理出现在高中立几第一章最后一节，这之前学生已学习了空间两直线位置关系，空间直线和平面位置关系,特别是已学习了直线和平面垂直判定定理,二面角的平面角,这是学习本节内容的基础，而本节内容是第二章多面体、旋转体的学习基础，因此，本节的学习有着极其重要的地位。
1.2数学思想方法分析：
1.2.1从定理的证明过程，面面垂直可转化为线面垂直，就可以看到数学的化归，”降维”思想。
1.2.2在教材所提供的材料中，从建构手段角度分析，可以看到归纳思想，而这一思想中包含着重组的意识和能力。
2教学目标：
根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标：
2.1基础知识目标：
掌握平面与平面垂直的判定定理及其变
式，能利用它们解决相关的问题。
2.2能力训练目标：
逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知和元认知能力。
2.3创新素质目标：
引导学生从日常生活中发现判定定理，培养学生的发现意识和能力；判定定理及变式的教学培养学生的重组意识和能力；判定定理在现实生活中的应用培养学生的应用的意识和能力。
2.4个性品质目标：
培养学生勇于探索，善于发现，独立的意识，不断超越自我的创新品质。
3教学重点、难点、关键：
重点：
判定定理的证明及变式探索
难点：
判定定理的变式。
关键：
本节课通过判定定理的证明及变式探索，着重培养和发展学生的认知和元认知能力。
4教材处理
建构主义学习理论认为，建构即认知结构的组建，其过程一般是先把知识点按照逻辑线索和内在联系，串成知识线，再由若干条知识线联构成知识面，最后由知识面按照其内容、性质、作用、因果等关系组成综合的知识体。
本课时为何提出变式呢，应该说，这一处理方法正是基于此理论的体现。
其次，本节课处理过程力求达到解决如下问题：
知识是如何产生的？
如何发展？
又如何从实际问题抽象成数学问题，并赋予抽象的数学符号和表达式，如何反映生活中客观事物之间简单的和谐关系。
5教学模式
遵循教学过程是教师活动和学生活动的十分复杂的动态性总体，是教师和每一个学生积极参与下进行集体认识的过程，教为主导，学为主体，又互为客体，启动学生主动学习，启发引导学生实践思维过程，自得知识，自觅规律，自悟原理，主动发展思维和能力。
6学法
6.1让学生在认知过程中，着重掌握元认知过程：
6.2使学生把独立思考与多向交流相结合。
7教学程序及设想环节教学程序及设计设计意图7.1设置问题，创设情景1.提出问题：
教室两相邻墙面与地面位置关系如何？
在日常生活中，你是如何验证两平面垂直的实际问题。
2.（在学生讨论基础上，教师引导）建筑工人在砌墙过程中，为了验证墙面与地面是否垂直，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平面垂直1.把教材内容转化为具有潜在意义的问题，让学生产生强烈的问题意识，使学生的整个学习过程成为”猜想”，惊讶，困感，感到棘手；紧张地沉思，期待寻找理由和证明的过程。
2.我们知道，学习总与一定知识背景即情景相联系，在实际情境下进行学习，可以使学生利用已有知识与经验同化和索引出当前学习的新知识，这样获取的知识，不但便于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中。
7.2提供实际背景材料，形成假说1.在实际生活中，建筑工人用一端系有铅锤的线来检查墙面与地面是否垂直，即若紧贴墙面的铅锤的线，如垂直地面，则确定墙面与地面垂直，否则不垂直。
2.紧贴墙面的线？
这句话的实质意义是什么？
（学生讨论，期望回答：
即此线在墙所在平面）3.由此实际问题如何抽象为数学问题呢？
（学生交流讨论，期望回答：
若平面过另一平面的垂线，则平面垂直）1.教师站在稍稍超前于学生智力发展的边界上（即思维的最邻近发展）通过问题引领，来促成学生形成面面垂直的判定定理。
2.通过学生交流讨论，把实际问题抽象成数学问题，并赋予抽象的数学符号和表达方式。
7.3引导探索，寻找解决方案1.如何证明上述假说呢？
从已学过知识可知，只能从定义出发。
2.定义的实质是什么呢？
即证明两平面垂直的根据是什么？
期望回答：
即证二面角的平面是直角。
3.二面角的平面角如何做出呢？
在本假说中，如何做出二面角的平面角？
关键在哪里？
（学生交流）期望回答：
假说中已知平面的垂线故此垂线必垂直于两平面的交线，所以关键在于在已知平面做与公共棱垂直的直线。
尽可能地揭示出认知思想方法的全貌，使学生从整体上把握问题的解决方法。
7.4总结结论，强化认识经过引导，学生得出结论，教师强调此定理的含义促进学生数学思想方法的形成，引导学生确实掌握”降维”的思想方法7.5变式延伸，进行重构1.教师引导：
在此判定定理中已经知道，欲证两平面垂直，可以转化为证明直线与平面垂直进行解决。
下面继续研究，已知平面α.β，直线L考察面α，β的位置关系，引导学生利用模型演示进行观察。
命题1：
如果一个平面平行另一个平面的垂线则这两个平面垂直。
事实上此命题实质是判定定理中若平面不经过已知平面垂线时，我们给予加上此平面与垂线平行这一条件。
命题2：
如果一个平面与另一个平面的平行线垂直，则这两个平面垂直。
3.教师引导：
若问题中，只出现平面与平面位置关系时你是否能找出这样一个命题证明两平面垂直吗？
学生的演示模型命题3：
如果一个平面垂直于两个平行面中的一个平面则必垂直于另一个平面。
1.学生在教师引导下，在积累了已有探索经验的基础上进行讨论交流，相互评价，共同完成了面面垂直判定定理变式定义上的建构。
2.这一问题设计试图让学生不唯书敢于和善于质疑批判和超越书本和教师，这是创新素质的突出表现，让学生不满足于现状，执着的追求。
3.让学生对教学思想方法，及其应情境达到较为纯熟的认识，并将这种认识思维地贮存在大脑中，随时提取和应用。
7.6总结回授调整1.知识性内容：
证明两平面垂直的方法，常有判定定理，命题1，命题2，命题3。
2.对运用数学思想方法创新素质培养的小结：
a.要善于在实际生活中，发现问题，从而提练出相应的数学问题。
发现作为一种意识，可以解释为”探察问题的意识”；发现作为一种能力，可以解释为”找到新东西”的能力，这是培养创造力的基本途径。
b.问题的解决，采用了化归降维等数学思想，体现了数学思想方法是解决问题的根本途径：
c.问题的变式探究的过程，是一个创新思维活动过程中一种多维整合过程。
重组知识的过程，是一种多维整合的过程，是一个高层次的知识综合过程，是对教材知识在更高水平上的概括和总结，有利于形成一个自我再生力强的开放的动态的知识系统，从而使得思维具有整体的功能，创新的能力。
1、知识性内容的总结，可以把课堂教学传授的知识尽快转化为学生的素质。
2、运用数学方法，创新素质的小结能让学生更系统，更深刻地理解数学理想方法在解题中的地位和作用，并且逐渐培养学生的良好个性品质。
这是每堂课必不可少的一个重要环节。
7.7布置作业反馈命师1、命题2、命题3的探究过程，并整理证明过程
4．6两角和与差的正弦、余弦、正切（第二课时）
（一）教学具准备
投影仪
（二）教学目标
1．掌握利用得到的两角和与差的正弦公式．
2．运用公式进行三角式的求值、化简及证明．
（三）教学过程
1．已知两角，我们可以利用的三角函数去计算复合角的余弦，那么，我们能否用的三角函数去表达复合角的正弦呢？
本节课将研究这一问题．
2．探索研究
（1）请一位同学在黑板上写出，的展开式．
．
由于公式中的是任意实数，故我们对实施特值代换后并不影响等号成立，为此我们曾令，得到，
两个熟悉的诱导公式，请同学们尝试一下，能否在中对选取特殊实数代换，使诱变成呢？
或者说能否把改成用余弦函数来表示呢？
请同学回答．
生：
可以，因为
该同学的思路非常科学，这样就把新问题问题化归为老问题：
．
事实上：
（视“”为）
这样，我们便得到公式．
简化为．
由于公式中的仍然是一切实数，请同学们再想一下，如何获得的展开式呢？
请同学回答．
生：
只要在公式中用代替，就可得到：
即
师：
由此得到两个公式：
对于公式还可以这样来推导：
说明：
（1）上述四个公式，虽然形式、结构不同，但它们本质是相同的，因为它们同出一脉：
这样我们只要牢固掌握“中心”公式的由来及表达方式，就掌握了其他三个公式了．这要作为一种数学思想、一个数学方法来仔细加以体会．
（2）、是用的单角函数表达复合角的正、余弦．反之，我们不得不注意，作为公式的逆用，我们也可以用复合角的三角函数来表达单角三角函数．诸如：
，，及四种表达式，实质上是方程思想的体现：
由得：
①
由得
②
由，得：
③
由得：
④
等式①、②、③、④在求值、证明恒等式中无疑作用是十分重大的．
（2）例题分析
【例1】 不查表，求，的值．
解：
说明：
我们也可以用系统来做：
【例2】已知，，，，求，．
分析：
观察公式和本题的条件，必须先算出，
解：
由，得
又由，得
∴
【例3】不查表求值：
（1）；
（2）．
解：
（1）
（2）
练习（投影）
（1），，则．
（2）在△中，若，则△是___________．
参考答案：
（1）∴
∴
（2）由，
∴
∴，为钝角，即△是钝角三角形．
【例4】求证：
．
分析：
我们从角入手来分析，易见左边有复角（即两角和与差）右边全是单角，所以思路明确，就是要把复角变单角．
证明：
左边
右 ∴原式成立
如果我们本着逆用公式来看待本题，那么还可这样想：
由
令，则
①
至于
我们可这样分析：
∵
令得
同理
∴①可进一步改写为：
∴……②
又∵
……③
由②、③得
本题还可以从函数名称来分析，左边是正、余弦函数，右边是正切函数，故可考虑从右边入手用化弦法，请同学们自己把上面过程反过来，从右边推出左边．
【例5】求证：
师：
本题我们可以从角的形式来分析，左边是单角，右边是复角，如果从右边证左边则要把复角变单角（即利用和角公式）；如果从左边证右边则须配一个角，所以本题起码有两种证法．
证法1：
右边
左边
∴原式成立
师：
另一种证法根据刚才的分析要配出角，怎样配？
大家仔细观察证法一就不难发现了．
证法2：
（学生板书）
左边
右边 ∴原式成立
3．演练反馈（投影）
（1）化简
（2）已知，则的值（ ）
A．不确定，可在［0、1］内取值 B．不确定，可在［－1、1］中取值
C．确定，等于1 D．确定，等于1或－1
参考答案：
（1）原式
（2）C
4．总结提炼
（1）利用“拆角”“凑角”变换是进行三角函数式求值、证明、化简的常用技巧，如：
，，．在三角形中，，等变换技巧，同学们应十分熟悉．
（2）本节课的例5，代表着一类重要题型，同学们要学习它的凑角方法，一般地，其中．
（3）在恒等式中，实施特值代换，是一类重要的数学方法——母函数法，这种方法在数学的其他学科中，均有用武之地。
它反映的是特殊与一般的辨证统一关系．
（四）板书设计
课题：
两角和与差的正弦
1．公式推导
①
＝……
得到公式………
把公式中换成得公式………
2．公式的结构特点
用单角函数表示复角函数
右边中两个积的函数名称不同
……运算符号同左边括号
中的运算符号一致（区别于、）
3．折、凑角技巧
例1
例2
例3
例4
例5
演练反馈
总结提炼
2..2.1函数的概念
教材分析：
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．
教学目的：
（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
（2）了解构成函数的要素；
（3）会求一些简单函数的定义域和值域；
教学重点：
理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；
教学难点：
符号“y=f（x）”的含义，函数定义域和值域的区间表示；
教学过程（）：
一、引入课题
1. 复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；
2. 阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：
（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；
（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；
（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题
备用实例：
我国2003年4月份非典疫情统计：
日 期
22
23
24
25
26
27
28
29
30
新增确诊病例数
106
105
89
103
113
126
98
152
101
3. 引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；
4. 根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．
二、新课教学
（一）函数的有关概念
1．函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：
A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．
记作：
y=f（x），x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域（range）．
注意：
1“y=f（x）”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g（x）”；
2函数符号“y=f（x）”中的f（x）表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．
2． 构成函数的三要素：
定义域、对应关系和值域
3．区间的概念
（1）区间的分类：
开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示．
4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论
（由学生完成，师生共同分析讲评）
（二）典型例题
1．求函数定义域
课本P20例1
解：
（略）
说明：
1函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；
2如果只给出解析式y=f（x），而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；
3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
巩固练习：
课本P22第1题
2．判断两个函数是否为同一函数
课本P21例2
解：
（略）
说明：
1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）
2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
巩固练习：
1课本P22第2题
2判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？
（1）f（x）=（x－1）0；g（x）=1
（2）f（x）=x；g（x）=
（3）f（x）=x2；f（x）=（x+1）2
（4）f（x）=|x|；g（x）=
（三）课堂练习
求下列函数的定义域
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
三、归纳小结，强化思想
从具体实例引入了函数的的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念，介绍了求函数定义域和判断同一函数的典型题目，引入了区间的概念来表示集合。
四、作业布置
课本P28习题1．2（A组）第1—7题（B组）第1题
（第二课时）一．教学目标
1．了解平面向量基本定理的证明．掌握平面向量基本定理及其应用；
2．能够在解题中适当地选择基底，使其它向量能够用选取的基底表示．
二．教学重点：
平面向量基本定理
教学难点：
理解平面向量基本定理．
三．教学具准备
直尺、投影仪．
四．教学过程
1．设置情境
上节课我们学习了共线向量的基本定理，通过它们判定两个向量是否平行，而且共线向量可由该集合中的任一非零向量表示出来．这个非零向量叫基向量．那么平面上的任一向量是否也具有类似属性呢？
如果是这样的话，对平面上任一向量的研究就可以化归为对基向量的研究了．
2．探索研究
师：
向量与非零向量共线的充要条件是什么？
生：
有且仅有一个实数，使得
师：
如何作出向量？
生：
在平面上任取一点，作，，则
师：
对！
我们知道向量是向量与的合成，、也可以看做是由向量的分解，是不是每一个向量都可以分解两个不共线的向量呢？
平面向量基本定理：
如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使
我们把不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
说明：
①实数，的确定是由平面几何作图得到的，同时也应用了上节课的共线向量基本定理．
②对该定理重在使用．
下面看例题
【例1】已知向量、，求作．
【例2】如图所示，的两条对角线相交于点，且，，用、表示、、和？
解：
在中
∵
∴
说明：
①这些表示方法很常用，要熟记
②用向量法讨论几何问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是、，由它可以“生”成，，……．
【例3】如图所示，已知的两条对角线与交于，是任意一点，求证
证明：
∵是对角线和的交点
∴，．在△中，
同理：
相加可得：
注：
本题也可以取基本向量，，，，利用三角形中线公式（向量），得两种表示方式：
①
②
①＋②得证毕．
【例4】如图所示、不共线，（），用，表示．
解 ∵
∴
说明：
①本题是个重要题型：
设为平面上任一点．
则：
、、三点共线
或令，则、、三点共线（其中）
②当时，常称为△的中线公式（向量式）．
3．演练反馈
（1）命题：
向量与共线；命题：
有且只有一个实数，使；则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分不必要条件
（2）已知和不共线，若与共线，则实数的值等于____________．
（3）如图△中，点是的中点，点在边上，且，与相交于点，求的值．
参考答案：
（1）B
（2）
（3）解：
（如图）设，，则，
，∵、、和、、分别共线，∴存在、，使，．
故，而．
∴由基本定理得∴∴，即
4．总结提炼
（1）当平面内取定一组基底，后，任一向量都被、惟一确定，其含义是存在惟一这数对，使，则必有且．
（2）三点、、共线（其中且）
五．板书设计
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