概率论和数理统计第二章课后习题答案解析Word下载.docx

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F（X）=<

0.00&

0.104,

0.48&

3x>

P（X>

2）=P（X=2）+P（X=3）=0.896

（1）设随机变量X的分布律为

P（X=.}=Z.

苴中kR,r2.…，人＞0为常数，试确企常数G

（2）设随机变量X的分布律为p{X=k）=a/N,k=l.2,…，N,

试确企常数G

（1）由分布律的性质知

00W1

l=EP（X=k）=吃■

{2）由分布律的性质知

电PZ氓舒

即rt=L

5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为“今^$投3次，求：

（1）两人投中次数相等的概率；

（2）甲比乙投中次数多的概率.

【解】分别令X、y表示甲、乙投中次数，则XF（3,），旷b（3,⑴

P（X=3#=3）

=（0・4）3（0・3）3+C；

O・6（O・4）2C；

O・7（O・3）2+

（O・6）2O・4C；

（O・7）2O・3+（O・6）3（O・7）3

=032076

6•设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于（毎条跑逍只能允许一架飞机降落）

【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b（200,,设机场需配备W条跑逍，则有

N）<

0・01

）0

工C爲（0.02）气0.98）2叫<

0.01

利用泊松近似

A=np=200X0.02=4.

*pl4*

N）=Z——<

jt-.v+ik!

査表得WM9.故机场至少应配备9条跑道.

7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的

某时段出事故的概率为在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问岀

事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松泄理）

【解】设X表示出事故的次数，则X~b（1000>

001）

8•已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1）=P{X=2）.求概率P{X=4}・

【解】设在每次试验中成功的概率为p，则

所以

P（x=4）=e（i/-=22_.

‘33243

9.设事件A在每一次试验中发生的概率为，当人发生不少于3次时，指示灯发出信号,

（1）进行了5次独立试验，试求指示灯发出涪号的概率：

（2）进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.

（1）设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X-6（53

3）=工C；

（0・3）气0・7）1=0.16308

4-5

（2）令y表示7次独立试验中人发生的次数，则Y-b（7r）

P（r>

3）=^C；

（0.3/（0・7）M=0.35293

k~3

W•某公安局在长度为f的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（坨）f的泊松分布，而与时间间隔超点无关（时间以小时计）.

（1）求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率：

{2）P（X>

1）=1-P（X=0）=1-门

（2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.

（1）P（X=0）=e"

P{Y=m}=

”（1一P）j,砖012,3,4

分别为随机变量X,y的概率分布，如果已知试求P{Y^1}.

【解】因为P（X>

1）=彳，故P（X<

1）=2.

P（X<

l）=P（X=0）=（l-p）2

故得

从而

P（r>

l）=l-P（r=0）=l-（I-/7/=—^0.80247

12•某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.

【解】令X为2000册书中错误的册数，则XF（2000,・利用泊松近似计算，

A=np=2000X0,001=2

P（X=5）.—=0.0018

13•进行某种试验，成功的概率为2,失败的概率为丄•以X表示试验首次成功所需试验的次

数.试写出X的分布律，井计算X取偶数的概率.

【解】x=12…人…

P（X=2）+P（X=4）+…+P（X=2k）+…

=丄・3+（丄）3色+…+（丄）心3+…

444444

341

14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险•在一年中每个人死亡

的概率为，毎个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险

公司领取2000元赔偿金•求：

（1）保险公司亏本的概率；

（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.

（1）在1月1日，保险公司总收入为2500X12=30000元・设1年中死亡人数为X,则X~b（250a，则所求概率为

P（2000X>

30000）=P（X>

15）=1-P（X<

14）

由于G很大，p很小•A=np=S,故用泊松近似，有

Me"

^5*

15）3-工0.000069

*■0k!

（2）P（保险公司获利不少于10000）

=7（30000-2000X>

10000）=P（X<

10）

10e」屮

aa0.986305

厶&

丨

*•0K•

即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上

P（保险公司获利不少于20000）=P（30000-2000X>

20000）=P{X<

5）

即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%

15•已知随机变量X的密度函数为

f（X）=AQ8*+8.

求：

（1）人值：

（2）P{O<

1};

（3）F（x）.

【解】⑴由匸/Wdx=l得

Ae-cLv=2j；

Ae-cLv=2A

p（0<

1）=g£

「cU=i（1一ej）当x<

0时，F（x）=J£

e*dv当心0时，F（x）=『

—e\x<

16•设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为啤，x>

100,

（1）

（2）

（3）

M=\

-¥

在开始150小时内没有电子管损坏的概率;

在这段时间内有一只电子管损坏的概率；

F（X）•

21001

P（XMI50）=鳥丁E亍

p,=ip（x>

i5o）r=（-）^=—

（2）=63—（—）"

=—

2^339

⑶当xclOO时F（X）=0

当x>

100时F（x）=J^/（Z）d/

flUO“

=L/㈣+L/（n

ft100100

=^"

dr=l

JkX）尸

F（x）=・

100

1,x>

I00

0,%<

17•在区间［0,o］上任意投掷一个质点•以X表示这质点的坐标，设这质点落在［0.g］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数.

【解】由题意知X~U［oa，密度函数为

/W='

—,0<

0,其他

故当x<

0时f（X）=0

当QWxWa时F（x）=匸/（Z）dZ=『『厶/=-

a时，F（X）=1

即分布函数

F（x）=<

18•设随机变量X在［2.

值大于3的概率.

【解】XP［2,5）■即

5］上服从均匀分布•现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测

P（X>

3）=J；

lch-=|

故所求概率为

2,1,2,20

厂C咛亍％1方

19•设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟讣）服从指数分布£

（-）.某顾客在窗口

等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出y的分布律，并求

【解】依题意知X即英密度函数为

-e

该顾客未等到服务而离开的概率为

y即英分布律为

P（r=Zc）=C^（e"

/（I-e-'

）'

-\A:

=0,12,3,4,5

l）=l-P（y=0）=l-（l-e--）5=0.5l67

20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从W（40.102）；

第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从W（50.42）.

（1）若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些

（2）又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些【解】

（1）若迫第一条路，X-N（40.10》则

60）=P

（X-4060—40）

I10

（2）=0.97727

若走第二条路，X-N（50.42）,则

（X-5060-50

故走第二条路乘上火车的把握大些.

（2）若X~N（40,lOJ,则

P{X<

45）=45：

4O）=①⑴习=】5

若X~N（50,42〉，则

P（X<

45）=P

（X-5045-50）K“

25）

=1-0（1.25）=0.1056

故走第一条路乘上火车的把握大些.

21•设X~N（3,22）,

Cl）求P{2<

5}»

P{4<

10}.P{|X|>

2},P{X>

3};

（2）确崔c便P{X>

c}=P{X^c}.

（1）P（2<

5）=P

2-3X-35-3）

・2）

（1）-0——=0

（1）-1+0-

V2丿V2

=0.8413-1+0.6915=0.5328

P（-4<

10）=P

（1\.

一—（p

I2丿

P（lXlA2）=p（x>

2）+p（x<

-2）

=1一⑦

1、

，5、

（2丿1

导写卜P

X-3-2-3}

22）

=0.6915+1-0.9938=0.6977

X-33-3

3）=P（>

——）=1一0（0）=0・5

⑵c=3

22•由某机器生产的螺栓长度（cm）X-NC儿规定长度在±

内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.

【解】P（IX-10・05l>

0」2）=P

=1-0

（2）+0（-2）=2（1-0

（2）]

=0.0456

23•—工厂生产的电子管寿命X（小时〉服从正态分布N（160,若要求P{120VXW200}

允许。

最大不超过多少

（120-160

-160

200-160）

—

b丿

（40）

f-40

[40]

=20

-1>

0・8

1b丿

丿

T丿

【解】P（120<

200）=P

—=31.25

1.29

24•设随机变量X分布函数为

（2）P（X<

2）=尸

（2）=1-/人

p（X>

3）=l-F（3）=l-（l-e亠）=严

⑶/W=FV）=

兄严x>

0.%<

25•设随机变量X的概率密度为

/（X）=<

儿

2—

其他

求X的分布函数F（X）,并画出f（X）

【解】当*<

当0幺1时尸（兀）=匸/（忖=匸/⑴df+J：

/⑴df

当1Wx<

2时F（x）=『/（f）击

=£

/（0dz=£

/（r）dr+J"

/（0dr

=J：

/d/+『（2-f）df

1rX-3

H2-V

222

当时F（x）=J^/（Od/=l

26•设随机变量X的密度函数为

（1）/（x）=ae凶,X>

试确定常数6b.并求貝分布函数F（X）.

-e^\x>

即密度函数为

S”x<

当xWO时F（x）=匸/（A）dx=j:

令叫Lv=扌"

0时F（x）=J/（x）cU=J*h"

h+J迁eFlr

故其分布函数

）=n

…X

b-1

2+丄

⑵由1=J/（A）dx=[bxdx+[A得

即X的密度函数为

当xWO时F（X）=0

当0<

l时F（x）=L/（x）Av=£

^/（.v）dLv+[/（x）dx当l<

2时F（x）=Jf（x）dv=JOdlv+J.vdv+Jj丄dr

=3_丄

当xM2时F（X）=1故尖分布函数为

F（x）=

~2'

3_丄

2一X

27•求标准正态分布的［•.a分位点,

（1）a=t求5；

（1）P（X>

G）=0・01

1一％）=0・01

@（Zq）=0・09

Za=2・33

（2）由P（X>

zJ=0・003得

1_处丿=0.003

Za=2・75

歿）=0.997

査表得

由P（X>

Z^,；

）=0.0015得

1一e（S）=°

・0015

0（z“）=O・9985

S=2.96

査表得28•设随机变量X的分布律为

1013

応1/5]/151X30

求Y=X^的分布律・

【解】y可取的值为61,4.9

P（y=O）=P（X=O）=Wp（y=i）=p（x=-i）+P（x=1）=-+—=—

61530

P（y=4）=P（X=-2）=W

P（y=9）=P（X=3）=—

故y的分布律为

29•设P{X=k}=（-）\/f=l,2/-,令

■1,当X取偶数时

-1,出X取奇数时.

求随机变量X的函数y的分布律.

【解】p（r=l）=P（X=2）+P（x=4）+…+P（X=2A:

）+…

=（r+…尹+…

P（y=-l）=i-p（r=i）=|

30•设斤N（0,1）•

（1）求丫的概率密度；

（2）求Z=2X"

+1的槪率密度:

（3）求/=IXI的概率密度•

（1）当yWO时，f；

（y）=P（Y<

y）=Q

当y>

0时，Fy（y）=P（y<

y）=P（J<

y）=P（X<

lny）

=J：

fx（g

{2）P（y=2X-+I>

1）=1

l时Fy（y）=P（Y<

y）=P（2X^+1<

y）

I2丿

故“沪詁（刃冷

（3）p（r>

o）=i

当yWO时/^（y）=P（Y<

）=0

0时（y）=P（lXl<

y）=P{-y<

=J:

办（X）"

故川y）*（y）“（y）+m）

31•设随机变量冶U（0.1）.试求：

（1）“的分布函数及密度函数:

（2）Z=

P（l<

r=e^<

e）=l

当ySl时Fy（y}=P（y<

y）=O

当l<

e时Fy（y）=P（eX<

ny）

^InV

=JocLv=Iny

b,y<

In1<

tyne

故y的密度函数为

厶（y）n

p（Z>

0）=1

当zWO时，E⑵=P（Z<

Z）=O当z>

0时，Fz⑵=P（Z<

^）=P（-2InX<

^）

=P（lnX<

-*）=P（X>

eS）

z/2

0,z<

故Z的密度函数为

32•设随机变量X的密度函数为

JT,

JI'

其他.

试求方sinX的密度函数.

当ywo时，f；

（y）=P（y<

=P（0<

arcsiny）+P（7c-arcsiny<

k）

xarcsinv2x,f只2x,

=~?

血+|—<

JOjp-Jzarvsinyjp"

=—Carcsinv）"

+1—（兀一arcsiny）"

JT'

71"

2•

=—arcsiny

l时，Fy（y）=\

33•设随机变量X的分布函数如下:

（3）.

试填上⑴,

（2）,（3）项.【解】由limF（x）=l知②填1。

由右连续性limF（x）=F（Xy）=1知=0r故①为0。

从而③亦为0。

即

F（x）=51+%'

34•同时掷两枚骰子•直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X的分布律.

【解】设A=｛第1枚骰子出现6点｝。

（i=U）,P（A）丄•且如与&

2相互独立。

再设C=｛每次抛

掷出现6点｝。

则

p（c）=p（aU4）=p（A）+p（4）-p（A）p（4）

I11111

X—=

666636

故抛掷次数X服从参数为的几何分布。

35•随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于

【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含n个数字，则

X~b（6

l）=l-P（X=0）=l-C；

（0・l）°

（（W>

0・9

（0.9）"

0.1

得n>

即随机数字序列至少要有22个数字。

36•已知

则F（X）是（

（A）连续型；

（C）非连续亦非离散型.

）随机变量的分布函数.

（8）离散型;

【解】因为F（X）在（8,+8）上单调不减右连续，且limF（x）=0

•Y—

limF（x）=1,所以F（X）是一个分布函数。

但是F（X）在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F（X）是非连续亦非离散型随机变S的分布函数。

选（C〉

37.设在区间［a,b］I；

随机变SX的密度函数为/（x）=sinx,而在［a,b］外，/（x）=0.则区间［a,b］等于（）

[A][0,n/2]；

（C）[讷0]；

（B）[0,H]；

（D）[0刖].

TTj»

s/2

【解】在［0上］l：

sinx>

0,且1sinxcLv=L故f（x）是密度函数。

2Ju

在［0.兀］十J；

sinjvdx=2H1.故几0不是密度函数。

在［_ZL,0］ksinx<

0,故f（x）不是密度函数•

在［0・一兀］上，当n<

故选（&

）。

38•设随机变量X-N（0,问：

当0取何值时，X落入区间（1,3）的概率最大

1V3【解】因为X-/V（0,<

XP（1<

3）=P（-<

—<

-）

7cr<

=e（厶-e（丄）令&

9）

bCT=

利用微枳分中求极值的方法，有

Q（b）=（弓）®

G）+右①4）

CT'

yl2^

严加［1-3严心］=0

In3

（bo）<

故巧＜为极大值点且惟一。

故当b=-^=时X落入区间（1,3）的概率最大Q

39•设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P（X）,每个顾客购买某种物品的概率为P，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种物品的人数y的分布律・

设购买某种物品的人数为y，在进入商店的人数冶m的条件下，广b（rnQ,即

P（Y=k\X=m}=C^j/（\-pr~\k=QA.^-jfj

由全概率公式有

fif-A

P（y=k）=YP（x=w）p（y=klX=山）

X—A2ttl

幺（in-ky.

=工吕曲（1-卩严

纟也-eW,k=（U2…

此题说明：

进入商店的人数服从参数为入的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊松分布，但参数改变为Ap.

40.设随机变量X服从参数为2的指数分布•证明：

Y=1e在区间（0,1）匕服从均匀分布.

【证】X的密度函数为

2e"

-\%>

■

由于P（X>

0）=lr故Ocle^<

即P

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