全国数模A题出版社的资源配置Word下载.docx
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全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
A题：
出版社的资源配置
摘要
本文根据题目的要求建立了合理的有限资源分配优化模型，我们借助多种数学软件的优势挖掘出大量数据潜在的信息，并将其合理运用，在此基础上，以利润最大为目标，长远发展为原则，制定出信息不足条件下的量化综合评价体系，并为出版社在2006年如何合理有效地分配有限的书号资源提供了最佳的分配方案。
在本文所建立的模型中，我们采取了层次分析法（AHP、数据统计拟合以及整数线性规划相结合的手段，这样既借鉴了层次分析法综合评价的优势，又克服了该法中主观因素的不确定性，使模型更具有科学性，作出了出版社2006年的分配方案，如下
表
最优分配方案表
分社（i）
书号分配量Mi
分社（i）
书号分配量Mi
1计算机类
55
6机械能源类
38
2经管类
33
7化工化学类
20
3数学类
120
8地理地质类
4外语类
102
9环境类
40
5两课类
72
经过对模型的检验，单从生产计划准确度一项来看，模型所得出的结果就比以往的高，这样就首先保证了出版社获得年度稳定利润的前提，其他几个评价指标也都可以得出相似的结论。
以2006年与2005年生产计划的准确度为例，作比较：
2005年的各分社平均生产计划的准确度为0.70
2006年的各分社平均生产计划的准确度为0.85
平均准确度提高约21%
从数据的对比中，我们很容易看出本模型具有较高的有效性和合理性。
本文还借助了统计分析法详细分析了几种拟合历年相关统计数据的函数的优劣性，最后选取了较好的拟合函数，从而使得2006年的相关指标预测更加可信。
在模型的改进和推广部分，我们又提出了一个计算量较小的优化模型，在实际操作中可以先利用该模型从总体上对书号进行大致分配，然后进行局部调整，以期取得最优的方案，获取最大的经济效益。
最后，我们根据本文模型的所得出的结论向出版社提供了书号资源分配的合理化建议。
关键字：
书号分配层次分析整数规划数据统计拟合综合实力评价
一、问题重述
本题目主要讨论如何对A出版社（以教材类出版物为主的出版社）进行书号的合理分配，从而使出版社的教材产生最好的经济效益。
已知出版社的主要资源如人力资源、生产资源、资金以及管理资源等都捆绑在书号上，它们经过运作过程形成成本和利润。
出版社在分配总量有限的书号数的时候，为了获得最佳的经济效益，总社领导每年都要根据各分社提交的生产计划申请书、人力资源情况以及市场信息分析等几个方面作出合理的分配方案。
由于在事实上，每个分社所提交的需求书号总量远大于总社的书号总量，因此分配书号一般按照增加强势产品的支持力度的原则进行。
资源配置完成以后，各分社（分社以学科划分）根据分配到的书号数量，再重新对学科各课程作出版规划，付诸实施。
在实际情况当中，市场信息（主要是需求与竞争力）通常是不完全的，试根据该出版社所掌握的一些数据资料，在信息不足条件下，利用数学建模的方法，提出以量化分析为基础的书号配置方法，给出明确的分配方案，以此向出版社提供有益的建议。
二、模型假设
（1）每年的问卷调查结果都是有效的，即调查对象都是如实作答，这就保证了所搜集信息的可靠性，事实上，这一点使很容易满足的，对于这类关系切身利益的调查（因为读者都希望获得更好的教材），同学们一般都会积极相应的；
（2）当各分社需求书号总量大于总社书号总量时，总社会按照增加强势产品支持力度的原则来进行书号资源的配置，这是很符合常理的，因为强势产品拥有更大的市场份额、更高的读者满意度以及更多的收益等，所以分配书号应优先考虑强势产品；
（3）不考虑各分社的人力资源的调整，而仅以平均人力资源数作为评价分社生产能力的尺度，这样可以适当地简化模型的复杂度；
（4）与题目相一致，我们假定同一种课程的不同书目价格差别不大，同时销售量也相近，这样就可以获得每一中课程的均价。
（5）读者认为教材评价的四个指标（教材内容，作者权威，印刷及排版质量，教材价格）同等重要，不同读者可能会对四个指标的侧重程度不一样，但是由于调查的数据量很大，整体平均起来，这种偏爱差异便会消除了，这样我们就可认为这四个指标是同等重要的，读者对某本书的整体评价就可以等于对不同指标评价的平均值，这从一定程度上简化了建模的难度和复杂度。
（6）在模型中，我们假设市场占有率信息的获得完全来自调查数据，这是与实际相符的，因为我们在考察某种商品的市场占有率时不可能调查整个市场的情况，所以只能从有限的市场调查数据中来获取，另外其他类学科的统计信息对整个市场的影响很微小，所以我们可以将其忽略，以减少分析的复杂度。
三、符号说明
M2006年A出版社所拥有的待分配书号的数量
i（i1,2,,9）分社编号，其中（数字1，2，3，4，5，6，7，8，9分别表示下列类别的分社：
计算机类，经管类，数学类，外语类，两课类，机械能源类，化学化工类，地理地质类，环境类）
Mi（i1,2,,9）i分社所获得的书号数量
Ai（i1,2,,9）i分社每年所提交计划的准确度
Bi（i1,2,,9）i分社每年所提交计划的可信度
Si（i1,2,,9）i分社在读者心中的满意程度，简称满意度，反映读者总体对i分社所出教材的满意程度。
Lj（k）（i1,2,,9）k2001,2002,第k年第i个分社年利润
L（k）k2001,2002,第k年A出版社的年收益指数
Ej（j1,2,,72）第j门课程年平均收益的均值
Dj（j1,2,,72）第j门课程年平均收益的方差
Ek（k1,2,,72）教材使用者对第k门课程教材满意度的均值
Dk（k1,2,,72）教材使用者对第k门课程教材满意度的方差
E1i（i1,2,,9）i分社每年实际总销售量与计划总销售量比值的均值
D1i（i1,2,,9）i分社每年实际总销售量与计划总销售量比值的方差
E2ij读者对第i分社第j门课程的满意度均值
D2ij读者对第i分社第j门课程满意度的方差
mi（i1,2,,9）第i个分社申请书号的数量
R（k）（i1,2,,9）k2001,2002,第k年i分社在其出版类别中的市场占有率
u教材的利润率（在本题中u为常量）
Ui（k）（i1,2,,9），k2001,2002,第k年i分社的年利润指数
U（k）k2001,2002,第k年A出版社的年利润指数
Vij（k）（i1,2,,9），其中1jKi，k2001,2002,第k年i分社的第j门课程的
实际销售量，K为i分社所拥有的课程数目
Pj（i1,2,,9）,1jK,i分社的第j门课程教材的平均售价，其中K为i分社
所拥有的课程数目
Wi（i1,2,,9）i分社的年最大工作量，即i分社一年中所能够处理的最大书号数
cikj（i,j1,2,,9;
k1,2,3,4）表示第三层（方案层）对于第二层（准则层）中的准则Bk
中i社Bk指标与j社Bk指标的的比值
四、问题分析根据题目可知，我们需要在信息不足的条件下，建立有效的模型，给出有限资源配置的合理方法，使出版社获得最好的经济效益。
由于题目中所给的数据量很大，条目繁多，这就需要我们通过建立合理的量化指标来进行深入分析。
问题关键为了实现获得最大收益的目的，同时兼顾出版社的长远发展，在分配书号的时候，我们应该从评价各分社综合实力的角度对问题进行研究。
这样既可以满足从整体上对各种因素的综合考虑，又能够体现增强强势产品的支持力度原则。
定性描述解决问题的原则
我们建立模型的总体思路是，首先可以通过层次分析法
（TheAnalyticHierarchyProcess,简称AHP）确定各分社在2006年的综合实力排序，然后根据排序结果，结合题目的各项约束条件，如有限书号资源及人力资源等，利用整数规划方法求出分配给各分社的具体书号数。
最后，在模型的检验部分，利用历年的相关数据来检验模型的合理性，并且将其推广到其他类似的应用领域。
具体建模步骤及量化的手段首先，我们要解决的是如何建立评定综合实力的量化指标。
分析题目，我们可以知道影响各分社综合实力的因素主要有以下五个因素：
（1）生产计划的准确度。
生产计划的准确度决定各分社实现计划销售量的能力，也是总社考虑分配书号的因素之一，所以说，如何量化生产计划的准确度是建立量化指标的重要组成部分。
（2）人力资源的约束。
由于各分社的人力资源数量不一样，所以在进行书号分配时，我们还要考虑各分社人力资源的限制，即总社分配给某分社的书号数不应超过该社所能完成的最大的书号数量。
（3）读者对各分社的满意度。
满意度直接影响着出版社的长远发展，所以也要作为一个衡量各分社综合实力的标准。
对于满意度的量化，由于调查问卷时是按照数值五分制（1表示不好，2表示勉强可以，3表示一般，4表示较好，5表示非常好）来对满意度评价，所以我们可以直接将读者对教材各项打分的平均值作为他对该教材的满意度，这一点由假设（5）可知。
（4）市场占有率。
依据附录2中的数据，我们知道在整个教材市场中，A出版社
的发行量占有额只是市场的一部分，也就是说每个分社所出的教材都有一定的市场占有率，当分析某个分社的综合实力时，市场占有率也需要考虑，因为在其他条件相同的情况下，市场占有率的高低理所应当该是出版社考虑的首要问题。
（5）利润多少。
根据题意可知，利润是A出版社最为关心的问题，我们建立模型的一大制约因素也就是如何提高出版社收益的问题，一切问题都应该围绕这个中心，可以说利润应该是评价分社综合实力的首要指标。
通过对影响各分社综合实力的因素的分析，我们知道了组成评价综合实力的几个指标。
这样，如何合理量化以上这五个评价指标就成了我们需要解决的问题。
由于各分社每一年的各项数据都有不同的变化，所以应该考虑利用均值和方差来量化各分社的每项指标。
对于各分社生产计划的准确度，因为这一指标较其他指标更加具有随机性，所以不仅要考虑均值的大小，还要考虑每年准确度的分布状况，即方差的大小，因而需要建立一个能够较好反映计划准确度的量化指标。
相比之下，其他指标（满意度、市场占有率以及利润多少）通常每年都是会有较大变化的，而且应该呈现某种发展趋势，也就是说它们每年的变化应该有规律性，比如表现出满意度提高或降低，市场占有率增加或减少等等状态，这样就可以考虑对这几项指标的历年数据进行有效拟合，作出指标走势图像并观察它们的变化，进而利用合适的拟合函数求出2006年的各项指标预测值，并以此为基础，利用层次分析法分析出2006年各分社的预测综合实力排名（这种预测排名对2006年的书号分配起着至关重要的指导作用，也就是说这样做是合理的）。
在实际模型建立的过程中，我们只把因素
（1）、（3）、（4）以及（5）作为对各分社综合实力的评价指标，而将因素
（2）作为第二步（求整数规划）的约束条件，这是因为各社的人力资源都是固定的，对层次分析时建立的偏爱程度并无直接影响，而且它们每年的生产能力的限制也都是确定的，另外这样也可以减轻建模的复杂度。
另外，模型的建立还要考虑各种约束条件，根据建模的总体思路，我们可将它们作为整数线性规划的约束条件，从而使用方便的软件工具Lingo求出结果。
分析题目，可知约束条件主要有以下两个：
（1）各分社书号的最少分配数。
根据题意，总社还要考虑各分社工作上的连续性以及对各分社生产计划一定程度的认可，由此分配书号不应该少于各社申请书号的一半，即应该有不等式
1
Mi2m,（i1,2,,9）
（1）
成立。
（2）各分社获得书号的总数应该与出版社拥有的书号总量相等，即
9
MiM
（2）
i1
实际建模中，将影响综合指标的因素
（2）人力资源作为约束条件（3）加入线性规划模型，即
MiWi（i1,2,,9）（3）
通过以上的详细分析，我们确定出了层次分析法的各项准则，以及各项准则的量化思想，从而根据各分社综合实力的排序结果建立合理的目标函数，通过结合前面的几个约束条件确定出整数规划模型的框架。
这样通过两种数学模型的结合，就可以确定出合理的书号优化配置方案，较好地满足题目地要求。
最后，还要对该模型进行检验，分析出模型的可靠性以及探讨对其进一步改进的方法。
五、模型建立
根据上面对问题的分析，我们分三步建立优化分配书号的模型。
（1）量化评价综合实力的各项指标
1）生产计划准确度
各分社每年所作的工作计划都有一个准确度，为了量化每一个分社生产计划的准确度，我们可以通过分析各分社每年实际总销售量与计划总销售量比值来衡量该年的计划准确度，由于各社每年的该比值不尽相同，且都各自围绕某个值上下波动，呈随机形式的分布，这样我们就可以结合各分社历年比值的方差（其中方差可以确定计划的可信程度），来建立合理的准确度量化指标：
1第i个分社的计划可信程度
其中D1i是i分社每年实际总销售量与计划总销售量比值的方差。
2第i个分社的计划准确度
其中E1i是i分社每年实际总销售量与计划总销售量比值的均值。
依次将每个分社生产计划的准确度求解出来，以便在应用层次分析法时形成两两比较判断矩阵。
2）读者满意度
在引入读者满意度的量化指标时，可以有多种方法，在本模型中，我们主要利用了两种不同难度和复杂度的方法，它们具有各自的优越性：
1整体满意度分析
这是一种较为粗略的量化方法，它不考虑各分社内部不同课程之间受欢迎程度的差别，只是从读者评价各分社所有课程的满意度出发，计算出读者对某分社的整体满意度。
具体方法如下：
首先根据读者对不同教材bij（i1,2,,9;
1jKQ的打分，其中心为i分社所拥有的
课程数，将四个评价方面的分值求平均值，不妨设为bj，然后按对该分社进行调查的所有问卷的bj项求均值，设为Ebj，并按照历年的统计数据计算出该分社的年平均的满意度（求均值），用它来概括表示读者对该分社的满意程度。
2细化满意度分析
由于方法①的结果稍显粗略，所以在评价读者对i分社的满意度时，我们可以将其细化到对该分社第j门课程的满意度aj，然后与对该课程评价的读者的百分比及对该课程的满意度均值加权作和，从而得到读者对该分社的整体满意度。
其中，对课程满意度的量化可以仿照生产计划准确度的定义，形式如下：
①第i个分社的第j门课程评价可信度
其中D2j是读者对第i分社第j门课程满意度的方差。
②第i个分社的第j门课程的满意度
其中E2j是读者对第i分社第j门课程的满意度均值。
这样对于第i分社的满意度评价就可以表述为下面的量化指标：
其中，Ki为第i分社所拥有的课程数目，Pj为对第i分社j类课程评价的读者占评价i分社所有课程的读者的百分比。
依次对个分社五年的满意度指标进行相同的分析，利用合理的函数拟合预测2006年各分社的读者满意度。
3）市场占有率
市场占有率指的是该出版社下设的各类分社在各自领域的市场中销售量所占的份额。
根据现实生活经验，我们知道市场占有率可以按下面的公式计算：
记第i个分社的市场份额为qi，则qi是时间（年）的函数，即有可以通过分析历年数据计算出各分社每年的市场占有率，并对各分社的该指标以时间（年）为自变量分别进行数据拟合可得f（k）的表达式，进而得到
2006年各分社的预测市场占有率。
4）年利润指数
根据题意，可以知道第i个分社年利润
其中年利润指数（等价于销售额）：
K
Ui（k）Vj（k）pj（K为i分社拥有的课程数目）
ji
通过分析历年数据计算出各分社每年的年利润指数，并对各分社的该指标以时间（年）为自变量分别进行数据拟合得函数g（x），以之预测2006年各分社的年利润指数。
（2）利用层次分析法（AHP）确定各分社实力排序
分析题目，我们将优化书号资源配置作为目标层、生产计划可信度、读
者满意度、市场占有率以及利润作为准则层，各分社的综合实力作为方案
层，由此建立层次分析模型。
如图：
图1层次分析图
根据工作中的一般的经验，我们可以构造出准则层B1，B2，B3及B4关于目标层A的
两两判断矩阵（利用9标度法），可得
此时，通过软件matlab计算可得Aab的最大特征值为max4.2253，
一致性指标
由n4在随机一致性指标RI的数值表中查得RI0.9。
进而可得一致性比率
所以我们构造的判断矩阵通过了一致性检验。
这样，可以计算出最大特征值max的特征向量，将其归一化可得第二层对第一层的权重向量为
继续分别计算第三层（各分社综合实力）对第二层（各准则）的两两比较矩阵：
1）第三层对于准则B1（生产计划准确度）的比较矩阵
求出矩阵ABic的最大特征值1max，以及归一化的最大特征值的特征向量，即得第三层对准则B1的排序权重向量u1（3）。
2）第三层对于准则B2（读者满意度）的比较矩阵
求出矩阵Ab2c的最大特征值max，以及归一化的最大特征值的特征向量，即得第三层对准则B2的排序权重向量u23）。
3）第三层对于准则B3（市场占有率）的比较矩阵
求出矩阵Ab3C的最大特征值max，以及归一化的最大特征值的特征向量，即得第三层对准则B3的排序权重向量u33）。
4）第三层对于准则B4（利润）的比较矩阵
求出矩阵Ab4c的最大特征值max，以及归一化的最大特征值的特征向量，即得第三层对准则B4的排序权重向量u43）。
求解完第三层对于第二层所有准则的最大特征值的归一化特征向量后，就可得到方案层各元素关于目标A的合成权重向量为
这样就可以对各分社的综合实力进行排序了，在整个模型中，由于第三层对于第二
层的一致性指标都是0，所以模型具有整体的一致性。
（3）建立整数规划模型详细分配书号数量
根据第
（2）步的结果，不妨假设各分社的综合实力排序（按合成权重的大小进行降序排列）是：
利用选优排序法整数化为（9，8，7，6，5，4，3，2，1），将这些整数分别记为ci，i1,2,,9。
将ci与每个分社的分配量加权作和，可得
目标函数maxL（k）ciMi
i1
其中L（k）k2001,2002,定义为第k年A出版社的年收益指数，它是年利润的等价反映，因为它的值越大，越能反映出分配的合理性，即L（k）高则会导致分社综合势力高的相应应该多分一些，而综合势力则应减少一些分配量，这是很合理的。
在问题分析中，我们知道由人力资源约束条件，存在约束
MiWi（3）
其中应有
另外，由于分社申请书号的总数量远大于可分配的总量，所以i分社在申请书号量与获得分配的书号量Mi，应有关系
Mimi（4）
将约束（4）加上前面问题分析中的约束
（1）、
（2）以及（3）形成约束条件
Mimi
Mimi
2
S.tMiWi
MiM
Mi0,i1,2,,9
利用数学软件lingo求解整数规划，可得详细分配量，设为MO,i1,2,,9。
这就是依据模型所得到的书号分配优化方案。
利用所求结果可大致预测出2006
年的年利润指数（即销售额）。
六、模型求解
根据所建立的模型求解优化分配方案如下：
（1）求解各分社综合实力的各项指数
1生产计划准确度
利用Excel软件的统计功能，我们可以很容易地求出各分社生产的准确度，结果详见表3,具体过程请见附录1。
2读者满意度
利用计算满意度的两种求解方法可以求出各分社每年的读者满意度，然后进行数据拟合。
在这里，由于时间仓促，我们没能按照细化满意度的方法来计算各年各分社的读者满意度，只是做了一年（2001年）的Excel统计分析，即便这样，通过整体满意度分析，结合模型检验部分的结果，我们也可以看出本模型的合理性和有效性，整体满意度结果详见表3，具体求解
过程请见附录2。
细化满意度表（2001年）
细化满意度指数
计算机类
经管类
数学类
外语类
两课类
机械、能源类
化学、化工类
地理、地质类
环境类
3市场占有率
在研究市场占有率的时候，我们可以通过各分社历年市场占有率的走势来确定拟合函数，如图2,以下各项均以计算机类分社为例说明，其他各类分社请见附录3。
图2计算机类分社历年市场占有率图像
通过图像，可以看出应用多项式拟合是比较好的，问题是选取几次拟合。
经过几种次数拟合的残差分析，我们最终选取了三次多项式拟合，以下类似指数的拟合均按此法，具体分析过程请见附录4。
这样我们得到各分社
的市场占有率拟合函数以及以此预测的2006年市场占有率，如表（（其中x
取值1,2,3，…来表示2001,2002,2003；
…年）。
表1各分社市场占有率拟合函数及预测结果
数据拟合
函数f（x）
市场占有率
（qi（2006））
0.1840
0.1805
0.5142
0.2145
0.4719
0.4585
0.5767
0.7291
0.7577
4分社年利润指数Uj（k）（即各分社年销售额）
类似市场占有率的求解方式，我们同样可以获得各分社的
升级会员 