角含半角模型Word下载.docx
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,点D在BC上,点E在BC延长线上,
且zDAE=45°
则:
BD2+CE2=DE2
(3)如图,将等腰直角三角形变成任意等腰三角形,亦可以逬行两种方法的操作。
任意等腰三角形
旋转法
翻折法
类型二:
正方形中角含半角模型
(1)如图,在正方形ABCD中,点E.F分别在边BCXCD上,zEAF=45°
,连接EF,
过点A作AG丄EF于点G,则:
EF=BE+DF.AG=AD
作法:
将AABE绕点A逆时针旋转90°
(2)如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在边CB、DC的延长线上rzEAF=45°
则:
EF=DF—BE
将ZXABE绕点A逆时针旋转90°
(2)如图将正方形变成一组邻边相等对角互补的四边形在四方形ABCD中AB=ADf
zBAD+zC=180°
,点E、F分别在边BCXCD上,zEAF=-zBAD,连接EF•则:
2
EF=BE+DF。
图示(3)
将AABE绕点A逆时针旋转zBAD的大小
例题1:
如图,正方形ABCD的边长为4,点E、F分别在AB、AD±
,若CE=5,且z
ECF=45°
r则CF的长为、
变式1:
如图四边形ABCD中,ADllBC,zBCD=90°
AB二BC+ADzzDAC=45°
E为
CD上一点,且zBAE=45°
若CD=4,则AABE的面积为()
A12n244850
A、—B、—C、—Ds—
7777
例题2:
在正方形ABCD中,连接BD,
(1)如图1,AE丄BD于点E,直接写出zBAE的的度数;
(2)如图1,在
(1)的条件下,将ZXAEB以A为旋转中心,沿逆时针方向旋转30。
后
得到△AREr43与BD交于M,AE'
的延长线与BD交于No
1依题意补全图1;
2用等式表示线段BM、DN和MN之间的数星关系,并证明。
(3)如图2,E、F分别是边BC、CD上的点,ACEF的周长是正方形ABCD周长的一半,
AE、AF分别与BD交于M、N,写出判断线段BM、DN、MN之间数星关系的思
路。
(不必写出完整推理过程L
变式2:
(1)探究发现
如图1,在正方形ABCD中,点M、N分别是边BC、CD上的点,zMAN=45°
若将△DAN绕点A顺时针旋转90°
到ABAG位置,可得Z\MAN泌MAG,SAMCN的周长为6,则正方形ADCD的边长为o
(2)类比延伸
如图2,四边形ABCD中,AB=AD,zBAD=120°
zB+zD=180°
,点M、N分别在边
BC、CD上,zMAN=60°
请判断线段BM、DN、MN之间的数呈关系,并说明理由。
(3)拓展应用
如图3,四边形ABCD中,AB=AD=10,zADC=120°
,点M、N分别在边BC、CD上,连接AM、MN,AABM是等边三角形,AM丄AD,DN=5(能—1),请直接写出MN的长。
图1
图2
图3
例题3:
如图,在四边形ABCD中fAB=BC#zA=zC=90°
zzB=135°
K、N分别是AB、
BC上的点,若ABKN的周长为AB的2倍,求zKDN的度数。
变式3:
如图,正方形被两条与边平行的线段EF、GH分割称四个小矩形,P是EF与GH的交点,若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍,试确走zHAF的大小并证明你的结论。
B
F
例题4:
如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=BDzzABC=zADC=90°
zMAN=l
--2zBADo
(1)如图「将zMAN绕点A旋转,它的两边分别交BC、CD于M、N,试判断这一程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系?
直接写岀结论,不用证明;
(2)如图2,将zMAN绕点A旋转,它的两边分别交BC、CD延长线于M、N,试判断这一过程中线段BM.DN和MN之间有怎样的数呈关系?
并证明你的结论;
(3)如图3,将zMAN绕点A旋转,它的两边分别交BC、CD的反向延长线于M、Nf
试判断这一过程中线段BMXDN和MN之间有怎样的数
呈关系?
直接写出结论『不用证明。
D
A
M
练习
练习1:
请阅读下列材料:
问题,正方形ABCD中,M、N分别是直线CB、DC上的动点,zMAN=45°
当zMAN
交边CB、DC于点M、N(如图①)时,线段BM、DN和MN之间有怎样的数星关系?
小聪同学的思路是:
延长CB至E使BE=DN,并连接AE,构造全等三角形经过推理使问题得到解决,请你参考小葱同学的思路,探究并解决下列问题:
(1)直接写出上面问题中,线段BM、DN和MN之间的数臺关系;
(2)当zMAN分别交边CB、DC的延长线于点M、N(如图②),线段BM、DN和MN之间又有怎样的数呈关系?
请你写出你的猜想,并加以证明;
(3)在图①中,若正方形的边长为16cm,DN=4cm,请利用
(1)中的结论,试求MN的长。
图①
图②
练习2:
(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=ADzzB=zD=90°
zE.F分别是边BC、
CD上的点,且zEAF二丄zBAD。
试探究图中线段BE、EF、FD之间的数呈关系。
2
小王同学探究此问题的方法是:
延长EB到点G,使BG=DF,连接AG,先证明
ADF,再证明AAEG^AAEF,可得岀结论,他的结论是。
(2)如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,zB+zD=180°
E、F分别是边BC、CD上的点,且zEAF二丄zBADr上述结论是否仍然成立,并说明理由。
(3)如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,zB+zD=180°
E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且zEAF=|zBAD,
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请证明,若不成立,请写出它们之间的数呈关系,并证明。
练习3:
小晏和她的同学组成了〃爰琢磨"
学习小组,有一次,她们碰到这样一道题:
〃已知正方形ABCDEF、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的点若EG丄FH,则EG=FGO"
为了解决这个问题,经过思考,大家给了以下两个方案;
方案一:
过点A作AMllHF交BC于点M,过点B作BNIIEG交CD于点N;
方案二:
过点A作AMllHF交BC于点M,过点A作ANIIEG交CD于点N;
…
(1)对小晏遇到的问题,请在甲、乙两个方案中任取一个加以证明(如图1)・
(2)如果把条件中的"
正方形"
改为"
长方形"
并设AB=2,BC=3,(如图2),试探究
EG、FH之间有怎样的数呈关系,并加以证明。
(3)如果把条件中的"
EG丄FH"
EG与FH的夹角为45"
并假设正方形ABCD的边长为1,FH的长为迎(如图3),试求EG的长度。
练习4:
已知,如图,正方形ABCD的边长为a,BMXDN分别平分正方形的两个外角,
且满足zMAN=45°
f连接MC、NC、MNO
(1)填空:
与AABM相似的三角形是,BM*DN=;
(用
含a的式子表示)
(2)求zMCN的度数;
(3)猜想线段BM、DN和MN之间的数呈关系并证明你的结论;