高效率嵌入式系统开平方根.docx
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高效率嵌入式系统开平方根
开平方根
1.开平方根
2.开平方根说明
错误！
未指定书签。
错误！
未指定书签。
1.开平方根
我们平时经常会有一些数据运算的操作，需要调用，，等函数，那么时候你有没有想过：
这
个些函数系统是如何实现的？
就拿最常用的函数来说吧，系统怎么来实现这个经常调用的函数呢？
虽然有可能你平时没有想过这个问题，不过正所谓是临阵磨枪，不快也光”你眉头一皱,
计上心来”这个不是太简单了嘛，用二分的方法，在一个区间中，每次拿中间数的平方来试验，如果大了，就再试左区间的中间数；如果小了，就再拿右区间的中间数来试。
比如求（16）的结果,
你先试（0+16）/2=8，8*8=64，64比16大，然后就向左移，试（0+8）/2=4，4*4=16
刚好，你得到了正确的结果（16）=4。
然后你三下五除二就把程序写岀来了：
1.开平方根
我们平时经常会有一些数据运算的操作，需要调用，，等函数，那么时候你有没有想过：
这个些函数系统是如何实现的？
就拿最常用的函数来说吧，系统怎么来实现这个经常调用的函数呢？
虽然有可能你平时没有想过这个问题，不过正所谓是“临阵磨枪，不快也光”，你“眉头一皱，计上心来”，这个不是太简单了嘛，用二分的方法，在一个区间中，每次拿中间数的平方来试验，如果大了，就再试左区间的中间数；如果小了，就再拿右区间的中间数来试。
比如求（16）的结果，你先试（0+16）/2=8，8*8=64，64比16大，然后就向左移，试（0+8）/2=4，4*4=16刚好，你得到了正确的结果（16）=4。
然后你三下五除二就把程序写出来了：
用二分法
（n）
{
小于0的按照你需要的处理
（n<0）
n;
）
）
0;
（）/2;
{
（*>n）
（）/2;
}
精度控制
1.开平方根
我们平时经常会有一些数据运算的操作，需要调用，，等函数，那么时候你有没有想过：
这个些函数系统是如何实现的？
就拿最常用的函数来说吧，系统怎么来实现这个经常调用的函数呢？
虽然有可能你平时没有想过这个问题，不过正所谓是“临阵磨枪，不快也光”，你“眉头一皱，计上心来”，这个不是太简单了嘛，用二分的方法，在一个区间中，每次拿中间数的平方来试验，如果大了，就再试左区间的中间数；如果小了，就再拿右区间的中间数来试。
比如求（16）的结果，你先试（0+16）/2=8，8*8=64，64比16大，然后就向左移，试（0+8）/2=4，4*4=16刚好，你得到了正确的结果（16）=4。
然后你三下五除二就把程序写出来了：
用二分法
（n）
{
小于0的按照你需要的处理
（n<0）
n;
）
）
0;
（）/2;
{
（*>n）
（）/2;
}
精度控制
的每条运算指令。
当初的3D也得听取他的意见，修改了不少。
最近，的开发商遵守协议，公开了的原代码，让世人有幸目睹传奇的3D引擎的原码。
这
是原代码的下载地址：
。
我们知道，越底层的函数，调用越频繁。
3D引擎归根到底还是数学运
算。
那么找到最底层的数学运算函数（在），必然是精心编写的。
里面有很多有趣的函数，很多
都令人惊奇，估计我们几年时间都学不完。
在里发现了这样一段代码。
它的作用是将一个数开平方并取倒，经测试这段代码比（）（1.0（x））快4倍：
（）
{
i；
x2,y;
=1.5F;
x2=*0.5F;
y=;
i=*（*）；
i=0x5f3759-（i>>1）;?
y=*（*）;
y=y*（-（x2*y*y））;1
y=y*（-（x2*y*y））;2,
Q3
（（y））;010122-?
y;
}
函数返回1（x），这个函数在图像处理中比（x）更有用。
注意到这个函数只用了一次叠代！
（其
实就是根本没用叠代，直接运算）。
编译，实验，这个函数不仅工作的很好，而且比标准的（）函数
快4倍！
要知道，编译器自带的函数，可是经过严格仔细的汇编优化的啊！
这个简洁的函数，最核心，也是最让人费解的，就是标注了“？
”的一句：
i=0x5f3759-
（i>>1）；
再加上y=y*（-（x2*y*y））;
两句话就完成了开方运算！
而且注意到，核心那句是定点移位运算，速度极快！
特别在很多
没有乘法指令的结构上，这样做是极其高效的。
算法的原理其实不复杂，就是牛顿迭代法，用（x）'（x）来不断的逼近f（x）的根。
没错，一般的求平方根都是这么循环迭代算的但是卡马克（3作者）真正牛B的地方是他选择
了一个神秘的常数0x5f3759来计算那个猜测值，就是我们加注释的那一行，那一行算岀的值非
常接近1（n），这样我们只需要2次牛顿迭代就可以达到我们所需要的精度。
好吧如果这个还不算，
普渡大学的数学家看了以后觉得有趣，决定要研究一下卡马克弄岀来的这个猜测值有什么
奥秘。
也是个牛人，在精心研究之后从理论上也推导出一个最佳猜测值，和卡马克的数字非常接
近，0x5f37642f。
卡马克真牛，他是外星人吗？
传奇并没有在这里结束。
计算出结果以后非常满意，于是拿自己计算出的起始值和卡马克的
神秘数字做比赛，看看谁的数字能够更快更精确的求得平方根。
结果是卡马克赢了…谁也不知道
卡马克是怎么找到这个数字的。
最后怒了，采用暴力方法一个数字一个数字试过来，终于找到一个比卡马克数字要好上那么
一丁点的数字，虽然实际上这两个数字所产生的结果非常近似，这个暴力得岀的数字是
0x5f375a86。
为此写下一篇论文，““。
论文下载地址：
，。
最后，给岀最精简的1（）函数:
这个简洁的函数，最核心，也是最让人费解的，就是标注了“?
”的一句：
i=0x5f3759-
（i>>1）;
再加上y=y*（-（x2*y*y））;
两句话就完成了开方运算！
而且注意到，核心那句是定点移位运算，速度极快！
特别在很多没有乘法指令的结构上，这样做是极其高效的。
算法的原理其实不复杂，就是牛顿迭代法，用（x）'（x）来不断的逼近f（x）的根。
没错，一般的求平方根都是这么循环迭代算的但是卡马克（3作者）真正牛B的地方是他选择
了一个神秘的常数0x5f3759来计算那个猜测值，就是我们加注释的那一行，那一行算岀的值非
常接近1（n），这样我们只需要2次牛顿迭代就可以达到我们所需要的精度。
好吧如果这个还不算，
普渡大学的数学家看了以后觉得有趣，决定要研究一下卡马克弄岀来的这个猜测值有什么奥秘。
也是个牛人，在精心研究之后从理论上也推导岀一个最佳猜测值，和卡马克的数字非常接近,0x5f37642f。
卡马克真牛，他是外星人吗？
传奇并没有在这里结束。
计算岀结果以后非常满意，于是拿自己计算岀的起始值和卡马克的神秘数字做比赛，看看谁的数字能够更快更精确的求得平方根。
结果是卡马克赢了...谁也不知道卡马克是怎么找到这个数字的。
最后怒了，采用暴力方法一个数字一个数字试过来，终于找到一个比卡马克数字要好上那么一丁点的数字，虽然实际上这两个数字所产生的结果非常近似，这个暴力得岀的数字是0x5f375a86。
为此写下一篇论文，""。
论文下载地址：
，。
最后，给岀最精简的1（）函数：
（x）{
=0.5f*x;
2.开平方根说明
人们很早就在3源代码中发现了类似如下的C代码，它可以快速的求1（x），在3D图
形向量计算方面应用很广
（x）
{
=0.5*x;
i=*（*）;
i=0x5f3759-（i>>1）;
x=*（*）;
x=x*（1.5-*x*x）;
x;
}
在分析这段代码之前，先看看传统方法是怎么求一个数的平方根的倒数的，一般采用
牛顿迭代法，为描述方便，假设输入数为a，显然需要满足a>0，是C语言的求平方
根函数，为方便起见，下面用（x）的形式代替xA（1/2）
求1（a），用迭代法，即求方程f（x）A（-2）在f（x）=0时的解，选择适当的初始值x0，代
入迭代式：
（x）/f'（x）
化简此式得：
32八3/2
这实际上就是上面函数倒数第二行，从函数注释也可以直接看出，这一步就是牛顿迭
代，一般选择一个合适的初始值开始迭代后，迭代次数越多越接近解，换句话说就是精度越高，误差越小，当误差小于可接受值，即可获得近似结果了，就这个问题而言，初始值的选择一般要在区间（0,（3）），证明从略而这个函数厉害的地方就在于，在正式迭代开始前的三行计算已经得到了一个非常接近于解的数，因此只需一次迭代，即可得到近似值，经测试，对于常用的浮点数范围，（x）与标准解1（x）的最大相对误差为1.75%0,平均相对误差为0.95%0,这个精度在很多时候已经满足的基本要求1%。
了，而（x）的速度则比直接计算1（x）快4倍，这对于和这类游戏的性能是非常重要的,而且如果需要更高的精度,则将迭代那一行再重复一次就可以了，相对误差会降到百万分之一的级别，只不过速度会慢一些，接下来我们来分析下这三行代码的原理
最令人迷惑的是这行，即对i做了移位和减法运算，不过熟悉C语言的人应该能看
出来，这个算法和浮点数的内部表示有关，分析应该从这里入手正式开始前先轻松下，讲些历史故事，人们在源码发现了这个函数，于是很自然的认为这是卡马克（）的杰作，其中0x5f3759这个数被称为卡马克密码，我们在下面称这个数为，3的一直在想到底是哪个家伙写了这些神奇的代码，于是就开始找作者，在邮件回复中明确表示不是他，也不是。
说他写过类似的高效代码，但上面的不是。
后来猜测这个来自于一些早期黑客的算法笔记，作者究竟是谁自然也难以追查了，可以肯定的是这个家伙对计算机和高数知识都有较好理解，很聪明
2003年普渡大学的数学家写了一篇文章对这段代码进行了分析。
论文是英文的，地址在：
在这篇12页的论文中，对这个算法做了分析，并从推导出了一个理论上最优的
0x5f37642f，有意思的是，这个数居然没有里的0x5f3759效果好，最大相对误差达
到1.78%。
，一怒之下，用暴力搜索枚举了所有可能的，终于找到一个最优的
0x5f375a86，只比0x5f3759效果好一点点，至于的作者究竟如何找到0x5f3759的，也就是个迷了
开始正式分析，这三行代码是把在内存中的表示作为一个整数i看待，然后对i进行一次移位和减法，然后再将i的值作为一个看待，所以我们先看看在内存中的表示，一般计算机的浮点数遵循754标准，采用以2为底数的科学计数法，例如二进制的11010.11001记为1.101011001*10X00，和都是32位，占4个字节（注意，这
个函数早期的代码中整数类型应该是，因为那时候在下，是16位的）：
最高位d31：
符号位，0表示非负，1表示非正，为什么不直接说正负呢，因为有数值0的存在，浮点数有+0和-0的区别，这个位用S表示d3023：
指数域，存放一个整数，表示127，E为指数，由于指数域的范围是0~255，因此理论上可以表示的指数范围是-127~128，不过0和255有特殊含义，所以范围实际要稍微小一点，这个先按下不表，我们认为常用浮点数不包括这两种极端情况d220：
有效数字域，只是小数部分，由于科学计数法的规定，整数部分肯定是1，就省略了，这样可以避免不必要的精度浪费，为描述方便，这个域所表示的小数设为F。
当然有人会问，那0怎么办，+0和-0有自身的特殊表示法，S位表示符号，其他位都为0的时候是+0或-0于是除去0和754规定的特殊值，一个常用浮点数的表示可以看做：
（-1）AS*
（1）*2AE，具体到我们需要分析的问题，由于输入是正数，S位肯定是0，就不做考虑了，简化为：
（1）*2AE
好，现在我们需要求
（1）*2AE的平方根的倒数，即求1（
（1）*2AE），求得的结果当然也
要用这个浮点数表示法，有效数字必须在[1,2），指数域为整数，则结果分两种情况推导出结果：
E为奇数：
⑵
（1））*2八（-
（1）/2）
E为偶数：
2
（1）*2八（2-1）
先看指数，如果我们需要通过计算机的整数运算（移位、位运算和加减法等）来逼近解，首先要在数量级上尽量靠近，因为只要数量级一样，两个数的误差范围是最小的，也就是说，我们需要：
E为奇数时，将127变成127-
（1）/2
E为偶数时，将127变成1272-1
于是，通过右移一位来实现除以二，通过用一个数减去指数域来将E变成负的，这样
中的那句就很容易理解了：
E为奇数时，127为偶数，右移等于除以二，190-（127）/2=190-63-
（1）/2=127-
（1）/2
E为偶数时，127为奇数，右移等于先减一再除以二，189-（1271）/2=189-632=
1272-1
然后我们把中的0x5f3759用的形式展开，则其指数域为0x5f<<1，也就是190，那当E在偶数时怎么生成189呢，注意到当E为偶数时，i>>1这个操作将指数域最后一位的1（即上面说的“先减一”）也向右移了一位，i右移后d22位为1，这样一来只要被减数的d22这一位是0，就会因为不够减而产生借位，指数域被借了1，自然就变成189了
细心的童鞋应该发现了，当E为偶数时，减法做完后，指数域一定是1272-1，但是如果E为奇数，则不保证指数域是127-
（1）/2，因为这时候被减数和减数的d22位都是0，但如果减数的d21到d0这个域的数字比被减数的大，就会产生借位而使得指
数域比预期的127-
（1）/2要小1，这个问题会导致一定的误差，但是在最后的迭代中误差会被缩小，这个误差具体有多大，这里就不详细讨论了，有兴趣的童鞋可以自己
算算看
我们还是先证明用这种方法得到的x0是落在上述区间（0,（3））的，这里a就是
（1）*29由于输入是一个非负数，则S为0，指数域肯定不为0（右移后不可能刚好为190），因此x0肯定大于0，我们将（3）展开成期望的解的指数的乘法形式：
E为奇数时，展开为⑹
（1））*2（
（1）/2），如果按上面说的那种情况产生借位，则展开
为（24/
（1））*2A（-（3）/2）
E为偶数时，展开为（12心））*2八（2-1）
可以看到，无论是哪种情况，在指数相同的情况下，有效数字都大于2，反过来说，用上述算法得到的x0是小于（3）的，而且还小了很多，非常接近解，这时候只需要一次迭代，就得到了误差很小的近似结果
到这里，基本原理都清楚了，只要我们保证x0在这个区间中，再做迭代总是能进一步接近解的，现在的问题就在于中d21到d0这个域的值应该怎么取了，这个取值关系到每次迭代的误差，比如说，我们全取1，这样也避免了E为奇数时的借位情况，
这样就是0x5f3，用这个测试，结果最大误差超过1%，平均误差超过6%。
，显然效
果太差了
我们假设将作为看时，小数部分的值是M，由于d22位已确定是0，则0<<0.5，在（i>>1）的减法运算中，d22到d0域的运算可看做是定点小数减法，分三种情况讨论：
E为奇数时，减数的d22位为0，则小数部分的值为2，因为右移对小数来说也是除以二，d0位如果是1则会舍弃，这个因为太小而忽略，假设M>2，则不需要向指数域借位，计算结果的小数部分为2，指数域符合结果预期，此时的相对误差为：
1（）1-（12）（2/
（1））|，0<<=2M假设M<2，则需要向指数域借位，计算结果小数部分为12，指数位比预期低1，计算误差的时候需要将指数域差值补回去，此时的相对误差：
2（）1-（22）/2（2/
（1））|，2ME为偶数时，减数的d22位为1，则小数部分的值为2+1/2，此时必定借位，相对误差为：
3（）1-（22-1/2）/2
（1）|，0<<1
然后，我们构造一个M的函数，映射M和此M下最大相对误差：
（M），这个函数的算法是对每个M，分别求1、2和3三个函数的最大值，并取其中最大的值。
于是，我们的最后问题就是找到一个M，使（M）最小，就得到最优了
用的推导方法类似，当然更严密些，推导到了这一步后，他的选择是继续用数学方法来求极值，这大概是因为他是个数学家的缘故。
不过悲剧的是他最后推出来的结果不是最优，计算机科学是一门应用科学，作为工科生，到这一步后我就准备选择穷举了，再往后的数学我就不懂了，毕竟哥的微积分才刚及格所以，让我们抛开那些高深的数学来看这个问题，通过前面的推导，我们基本可以将的范围确定在[0x5f000000,0x5f3]，只要在这个范围内找到一个，使其对应的函数
对于所有常用浮点数的计算结果的最大相对误差最小，就可以了，用上面的话讲，就是（）的最小值，由于取值是离散有限的，而所有常用浮点数个数也是有限的，所以至少理论上讲是可通过穷举计算，不过可惜两者的个数都太大，全部算一遍不切实际在的取值范围内均匀地取一些数，用统计的办法遍历所有常用浮点数计算（），可以看到曲线是一个波谷的样子，即前半段单调递减，后半段单调递增，于是我们近似地认为（）的曲线就是个波谷，然后可以迭代求极值：
1定义和两个变量，表示取值范围[,]，自然一开始为[0x5f000000,0x5f3]
2将范围平均分成32段（由于整数除法有误差，最后一段稍长），则有032，计算
33个值对应的（），找到其中的最小值对应的
3将
（1）和
（1）作为新的和，如果范围比较大则重复第2步，范围比较小则直接遍历范
围中的每个得到结果
经过若干次迭代，我们得到的最优为0x5f375a85，刚好比的最优结果小1当然了，这个方法虽然简单但是不够严密，我们没有证明（）的曲线是先单调递减后单
调递增，也没有严格证明的取值在[0x5f000000,0x5f3]之外的话误差会更大，但我们毕竟是得到结果了，解决了应用问题
然后我们讨论下特殊的浮点数，输入一个0是无意义的，因为0不能做除数，但是对输入的0会返回一个比较大的结果，754规定的值和正负无穷在实际中都不太可能出现，需要注意的是当输入数非常小，例如指数域为0的时候，E为-127，这时候由于值很小，相对误差会达到很多倍，在实际应用中要尽量避免极小数字的计算
（a）返回1（a），如果我们需要快速地近似计算（a），可能很多人会自然而然想到1（a）,
实际上，（a）*a更快，也更准确，因为在计算机中除法比乘法要慢很多，这也是（a）能比直接计算1（a）快那么多的原因，中没有除法运算，而的迭代不能避免除法，取倒数又得做一次除法（其实除法和取倒数也可以用迭代法来规避除法，但这又得有额外开销了）
用上面的办法可以推导出取倒数的迭代函数：
（x）
{
a=x;
i=0x7311c3-i;
x=*（*）;
x=x*（2-a*x）;
x;
}
但是这个效果比较令人失望，不但精度差，而且速度比直接算1慢，基本没用虽然可以通过（a）*a计算a的平方根，但是我们可以推导出一个更直接的函数：
（x）
{
a=x;
i=*（*）;
i=（i+0x3f7662）>>1;
x=*（*）;
x=（x+a/x）*0.5;
x;
}
推导过程从略，有兴趣的童鞋可以自行研究，注意这里是先加再右移，所以用防止
负数右移，这个计算平方根速度比（a）*a快，而且最大误差只有0.6%。
，那么，有没有更快的算法呢，如果单纯用计算，可能很难超越了，想要更快，得从另外的方向想办法
比较直接的想法是，造一个巨大的，储存a到（a）的映射关系，这样不需要计算，只要查表就行，而且由于指数域可以通过整数加减得到，只用做有效数字部分的映射即可，
内存消耗约为33M，这似乎是个好办法，而且当从小到大顺序生成常用浮点数是，其速度比稍慢一点点但是，如果我们随机生成常用浮点数，这个算法的耗时就惨不忍睹了，几乎是顺序生成浮点数时耗时的7倍，在实际应用中，每次计算输入的数都是随机的，这说明这个查表的办法没有实用价值，因为如果我们单纯的计算，浮点数运算是在协处理器中进行的，使用x87浮点数运算指令，整数运算则是在中，存储使用寄存器，非常快，而访问内存的速度是要慢很多的，那为什么顺序生成浮点数的时候速度没那么慢呢，因为这时候的一二三级发挥了巨大的作用，而随机生成的时候内存也要随机访问，则很高，速度自然慢了很多了所以说，查表法不可行的原因在于占用内存太大，我们要想办法将内存降下来，考虑函数（X），这是一条连续曲线，当然对于来讲，其实是离散的一个个点，数量还是有限的，查表法是每个点的值都记录，误差为0，那么我们可以考虑用牺牲精度的办法，将这条曲线近似成一条条线段组成的折线，然后在内存中记录每条线段的斜率，于是我们将［1,2）这个区间分散成若干段，事先计算每段的平均斜率，计算（a）的时候，先通过整数运算确定指数域的值，然后查表得到对应点的斜率，做一次浮点乘法即可得到近似值，为了保证运算速度，分段的段数需要保证用一次移位运算即可得到，避免整数除法（这个比浮点数除法更费时间）：
（X）
{
a=X;
i=*（*）;
i=（i+0X3f800000）>>1;
x=*（*）;
x*=[（i&0x7）>>];
x;
}
其中是有效数字域右移的位数，储存平均斜率，当为16的时候，存放了128个整数，占内存512字节，已经足以放在一级里了（我的测试机器一级是双路64k，一般个人最少也有8k左右），而且此时的精度也还可以接受，越小，占内存越多，精度越高，不过，貌似比还是快不了太多
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